분석 기하학 의 역사적 선행은 피에르 드 페르마와 르네 데카르트가 근본적인 아이디어를 정의했던 17 세기로 거슬러 올라갑니다. 그의 발명은 François Viète의 대수와 대수 표기법의 현대화를 따랐습니다.
이 분야는 고대 그리스, 특히이 수학 분야에 큰 영향을 미친 Apollonius와 Euclid의 작품에서 그 기반을 가지고 있습니다.
분석 기하학의 기본 아이디어는 하나가 다른 변수의 함수 인 두 변수 간의 관계가 곡선을 정의한다는 것입니다.
이 아이디어는 Pierre de Fermat에 의해 처음 개발되었습니다. 이 필수적인 프레임 워크 덕분에 Isaac Newton과 Gottfried Leibniz는 미적분을 개발할 수있었습니다.
프랑스 철학자 데카르트는 기하학에 대한 대수적 접근 방식을 스스로 발견했습니다. 기하학에 대한 데카르트의 작업은 그의 유명한 저서 Discourse on Method에 나타납니다.
이 책은 나침반과 직선 모서리의 기하학적 구조가 더하기, 빼기, 곱하기 및 제곱근을 포함한다고 지적합니다.
분석 기하학은 수학에서 두 가지 중요한 전통의 결합을 나타냅니다. 형태를 연구하는 기하학과 수량 또는 숫자와 관련된 산술 및 대수입니다. 따라서 분석 기하학은 좌표계를 사용하여 기하학 분야를 연구하는 것입니다.
역사
분석 기하학의 배경
기하학과 대수 사이의 관계는 기하학이 성숙의 초기 단계에 도달했지만 수학 역사를 통해 진화했습니다.
예를 들어 그리스의 수학자 Euclid는 그의 고전적인 책 The Elements에서 많은 결과를 정리할 수있었습니다.
그러나 그의 책 Conics에서 분석 기하학의 발전을 예측 한 것은 고대 그리스 페르가의 Apollonius였습니다. 그는 원뿔을 원뿔과 평면 사이의 교차점으로 정의했습니다.
유사한 삼각형과 원의 시컨트에 대한 Euclid의 결과를 사용하여 그는 원뿔의 모든 지점 "P"에서 두 개의 수직선, 원뿔의 장축, 축의 끝점에서의 접선까지의 거리로 주어진 관계를 발견했습니다. Apollonius는이 관계를 사용하여 원뿔 곡선의 기본 속성을 추론했습니다.
수학에서 좌표계의 후속 개발은 이슬람과 인도 수학자 덕분에 대수가 성숙해진 후에야 나타났습니다.
르네상스까지 기하학은 대수 문제에 대한 해결책을 정당화하는 데 사용되었지만 대수가 기하학에 기여할 수있는 것은 많지 않았습니다.
이 상황은 대수 관계에 대한 편리한 표기법을 채택하고 이제 가능했던 수학적 함수 개념의 개발로 변경 될 것입니다.
세기 XVI
16 세기 말 프랑스의 수학자 François Viète는 알려 지거나 알려지지 않은 숫자를 나타내는 문자를 사용하여 최초의 체계적인 대수 표기법을 도입했습니다.
그는 또한 대수식 작업과 대수 방정식 풀기위한 강력한 일반 방법을 개발했습니다.
이 덕분에 수학자들은 문제를 해결하기 위해 기하학적 수치와 기하학적 직관에 완전히 의존하지 않았습니다.
일부 수학자조차도 길이와 사각형의 선형 변수가 면적에 해당하고 입방 변수가 부피에 해당하는 표준 기하학적 사고 방식을 버리기 시작했습니다.
이 단계를 가장 먼저 수행 한 사람은 철학자이자 수학자 인 René Descartes와 변호사이자 수학자 인 Pierre de Fermat입니다.
분석 기하학의 기초
Descartes와 Fermat는 1630 년대에 독립적으로 분석 기하학을 설립하여 Viète의 대수학을 이용하여 궤적을 연구했습니다.
이 수학자들은 대수가 기하학에서 강력한 도구라는 것을 깨달았고 오늘날 분석 기하학으로 알려진 것을 발명했습니다.
그들이 만든 한 가지 돌파구는 문자를 사용하여 고정 된 것이 아니라 가변적 인 거리를 표시함으로써 Viète를 능가하는 것입니다.
Descartes는 기하학적으로 정의 된 곡선을 연구하기 위해 방정식을 사용했으며 "x"및 "y"각도의 다항 방정식의 일반 대수 그래픽 곡선을 고려해야한다고 강조했습니다.
그의 부분에서 Fermat는 좌표 "x"와 "y"사이의 관계가 곡선을 결정한다고 강조했습니다.
이러한 아이디어를 사용하여 그는 대수 용어에 대한 Apollonius의 진술을 재구성하고 손실 된 작업의 일부를 복원했습니다.
Fermat는 "x"와 "y"의 모든 2 차 방정식이 원뿔 섹션 중 하나의 표준 형태로 배치 될 수 있다고 지적했습니다. 그럼에도 불구하고 Fermat는 주제에 대한 그의 작품을 출판하지 않았습니다.
그들의 발전 덕분에 아르키메데스가 큰 어려움으로 만 풀 수있는 문제와 분리 된 경우에 대해 Fermat와 Descartes는 많은 수의 곡선 (현재 대수 곡선이라고 함)에 대해 신속하게 해결할 수있었습니다.
그러나 그의 아이디어는 17 세기 후반에 다른 수학자들의 노력을 통해서만 일반적으로 받아 들여졌습니다.
수학자 Frans van Schooten, Florimond de Beaune 및 Johan de Witt는 Decartes의 작업을 확장하고 중요한 추가 자료를 추가하는 데 도움을주었습니다.
영향
영국에서 John Wallis는 분석 기하학을 대중화했습니다. 그는 방정식을 사용하여 원뿔 곡선을 정의하고 그 속성을 도출했습니다. 그는 음의 좌표를 자유롭게 사용했지만 평면을 4 개의 사분면으로 나누기 위해 두 개의 비스듬한 축을 사용한 것은 Isaac Newton이었습니다.
뉴턴과 독일 고트 프리트 라이프니츠는 17 세기 말 미적분의 힘을 독립적으로 입증함으로써 수학에 혁명을 일으켰습니다.
Newton은 모든 입방체 (또는 3 차 대수 곡선)가 적절한 좌표 축에 대해 3 개 또는 4 개의 표준 방정식을 가지고 있다고 주장하면서 기하학에서 분석 방법의 중요성과 미적분학에서의 역할을 보여주었습니다. Newton 자신의 도움으로 스코틀랜드의 수학자 John Stirling은 1717 년에 그것을 증명했습니다.
3 차원 이상의 분석 기하학
데카르트와 페르마 모두 공간의 곡선과 표면을 연구하기 위해 3 개의 좌표를 사용할 것을 제안했지만 3 차원 분석 기하학은 1730 년까지 천천히 발전했습니다.
수학자 Euler, Hermann 및 Clairaut는 원통, 원뿔 및 회전 표면에 대한 일반 방정식을 생성했습니다.
예를 들어 Euler는 공간에서 변환하는 방정식을 사용하여 일반 2 차 표면을 변환하여 주축이 좌표축과 일치하도록했습니다.
Euler, Joseph-Louis Lagrange 및 Gaspard Monge는 합성 (비 분석) 기하학과 독립적 인 분석 기하학을 만들었습니다.
참고 문헌
- 분석 기하학의 개발 (2001). encyclopedia.com에서 복구
- 분석 기하학의 역사 (2015). maa.org에서 복구
- 분석 (수학). britannica.com에서 복구
- 분석 기하학. britannica.com에서 복구
- 데카르트와 분석 기하학의 탄생. sciencedirect.com에서 복구