이산 확률 분포 함수임을 X (S) = 각 요소에 할당 {X1, X2, …, XI, …}, X는 소정의 이산 확률 변수이고, S는 샘플 스페이스 확률이 어디에 상기 이벤트가 발생합니다. f (xi) = P (X = xi)로 정의 된 X (S)의이 함수 f를 확률 질량 함수라고도합니다.
이 확률의 질량은 일반적으로 표 형식으로 표시됩니다. X는 이산 형 랜덤 변수이므로 X (S)는 유한 한 수의 이벤트 또는 셀 수있는 무한대를 갖습니다. 가장 일반적인 이산 확률 분포 중에는 균일 분포, 이항 분포 및 포아송 분포가 있습니다.
형질
확률 분포 함수는 다음 조건을 충족해야합니다.
또한 X가 유한 한 수의 값만 취하면 (예 : x1, x2,…, xn), i> ny이면 p (xi) = 0이므로 조건 b의 무한 급수는 a가됩니다. 유한 시리즈.
이 기능은 다음 속성도 충족합니다.
B를 랜덤 변수 X와 관련된 이벤트라고합니다. 이는 B가 X (S)에 포함되어 있음을 의미합니다. 특히 B = {xi1, xi2, …}라고 가정합니다. 그러므로:
즉, 사건 B의 확률은 B와 관련된 개별 결과의 확률의 합과 같습니다.
이것으로부터 우리는 만약 a <b, 사건 (X ≤ a)과 (a <X ≤ b)가 상호 배타적이며 더 나아가 그들의 합이 사건 (X ≤ b)이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
종류
n 개 점에 걸쳐 균일 한 분포
랜덤 변수 X는 각 값에 동일한 확률이 할당되면 n 개 지점에서 균일 한 분포를 따른다고합니다. 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.
두 가지 가능한 결과가있는 실험이 있다고 가정합니다. 가능한 결과가 앞면 또는 뒷면 인 동전 던지기 또는 결과가 짝수 또는 홀수 일 수있는 정수의 선택 일 수 있습니다. 이러한 유형의 실험을 Bernoulli 테스트라고합니다.
일반적으로 두 가지 가능한 결과를 성공과 실패라고합니다. 여기서 p는 성공 확률이고 1-p는 실패 확률입니다. 다음 분포를 사용하여 서로 독립적 인 n 개의 Bernoulli 검정에서 x 개의 성공 확률을 확인할 수 있습니다.
이항 분포
성공 확률이 p 인 n 개의 독립적 인 베르누이 테스트에서 x 개의 성공 확률을 나타내는 함수입니다. 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.
다음 그래프는 이항 분포의 매개 변수 값에 대한 확률 질량 함수를 나타냅니다.
다음 분포는 이항 분포의 한계로 얻은 프랑스 수학자 Simeon Poisson (1781-1840)에게 그 이름을 붙였습니다.
푸 아송 분포
랜덤 변수 X는 다음 확률로 양의 정수 값 0,1,2,3, …을 취할 수있을 때 매개 변수 λ의 포아송 분포를 갖는다 고합니다.
이 식에서 λ는 각 시간 단위에 대한 이벤트 발생에 해당하는 평균 수이고 x는 이벤트가 발생한 횟수입니다.
확률 질량 함수는 다음과 같습니다.
다음은 푸 아송 분포의 매개 변수 값에 대한 확률 질량 함수를 나타내는 그래프입니다.
성공 횟수가 적고 이항 분포에 대해 수행되는 검정 수가 많으면 포아송 분포가 이항 분포의 한계이므로 항상 이러한 분포를 근사 할 수 있습니다.
이 두 분포의 주요 차이점은 이항이 두 매개 변수, 즉 n과 p에 의존하는 반면, 포아송은 때때로 분포의 강도라고도하는 λ에만 의존한다는 것입니다.
지금까지 우리는 서로 다른 실험이 서로 독립적 인 경우에 대한 확률 분포에 대해서만 이야기했습니다. 즉, 하나의 결과가 다른 결과의 영향을받지 않는 경우입니다.
독립적이지 않은 실험을하는 경우에는 초기 하 분포가 매우 유용합니다.
초기 하 분포
N을 유한 집합의 총 객체 수라고합시다.이 중 k 개를 어떤 식 으로든 식별 할 수 있으므로 나머지 Nk 요소에 의해 보완이 형성되는 부분 집합 K를 형성합니다.
n 개의 객체를 무작위로 선택하면 해당 선택 항목에서 K에 속하는 객체의 수를 나타내는 무작위 변수 X는 매개 변수 N, n 및 k의 초기 하 분포를 갖습니다. 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.
다음 그래프는 초기 하 분포 매개 변수의 다양한 값에 대한 확률 질량 함수를 나타냅니다.
해결 된 운동
첫 번째 운동
라디오 튜브 (특정 유형의 장비에 배치)가 500 시간 이상 작동 할 확률이 0.2라고 가정합니다. 20 개의 튜브를 테스트하면 정확히 k 개의 튜브가 500 시간 이상 작동 할 확률은 얼마입니까? k = 0, 1,2,…, 20?
해결책
X가 500 시간 이상 작동하는 튜브의 수이면 X에 이항 분포가 있다고 가정합니다. 그래서
그래서 :
k≥11의 경우 확률은 0.001보다 작습니다.
따라서 우리는 이들 중 k가 최대 값 (k = 4)에 도달 한 다음 감소하기 시작할 때까지 500 시간 이상 작동 할 확률이 어떻게 증가하는지 관찰 할 수 있습니다.
두 번째 운동
동전을 6 번 던졌습니다. 결과가 비싸면 성공이라고 말할 것입니다. 두 개의 앞면이 정확히 나올 확률은 얼마입니까?
해결책
이 경우 n = 6이고 성공 및 실패 확률은 모두 p = q = 1/2입니다.
따라서 두 개의 앞면이 주어질 확률 (즉, k = 2)은 다음과 같습니다.
세 번째 운동
적어도 네 개의 앞면을 찾을 확률은 얼마입니까?
해결책
이 경우 k = 4, 5 또는 6
세 번째 운동
공장에서 생산 된 품목의 2 %가 불량이라고 가정합니다. 100 개 항목의 표본에 3 개의 불량 항목이있을 확률 P를 구합니다.
해결책
이 경우 n = 100 및 p = 0.02에 대한 이항 분포를 적용하여 결과를 얻을 수 있습니다.
그러나 p가 작기 때문에 λ = np = 2 인 포아송 근사를 사용합니다. 그래서,
참고 문헌
- Kai Lai Chung. 확률 적 과정이있는 기본 확률 이론. Springer-Verlag New York Inc
- 케네스 H. Rosen 이산 수학 및 그 응용. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- 폴 L. 마이어. 확률 및 통계적 응용. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 년 이산 수학 문제 해결. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 이론 및 확률 문제. McGRAW-HILL.