확률 의 공리는 증명할 가치가없는 확률 이론을 언급하는 수학적 명제입니다. 공리는 1933 년 러시아 수학자 Andrei Kolmogorov (1903-1987)가 확률 이론의 기초에서 확립했으며 확률에 대한 수학적 연구의 토대를 마련했습니다.
특정 무작위 실험 ξ을 수행 할 때 샘플 공간 E는 이벤트라고도하는 실험의 가능한 모든 결과 집합입니다. 모든 이벤트는 A로 표시되고 P (A)는 발생 확률입니다. 그런 다음 Kolmogorov는 다음과 같이 설정했습니다.
그림 1. 확률 공리를 통해 룰렛과 같은 우연한 게임을 칠 확률을 계산할 수 있습니다. 출처 : Pixabay.
- 공리 1 (비음) : 모든 이벤트 A가 발생하는 확률 P (A) ≥0 항상 양수 또는 제로. 이벤트 확률이 0 일 때 불가능한 이벤트라고합니다.
- 공리 2 (확실성) : E에 속하는 어떤 사건이 발생할 때마다 발생 확률은 1이며,이를 P (E) = 1로 표현할 수 있습니다. 이것은 실험을 수행 할 때 확실히 결과가 있기 때문에 특정 이벤트로 알려져 있습니다.
- 공리 3 (추가) : 두 개 이상의 호환되지 않는 사건이 호출 된 두 가지에 의해의 경우 1 , 이 하는 3 …, 확률은 이벤트 • 그래도 1 더하기 2 더하기 3은 것이다 발생 등 연속적으로 개별적으로 발생하는 확률의 합계입니다.
이것은 다음과 같이 표현됩니다 : P (A 1 AU 2 AU 3 U…) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) +…
그림 2. 공리적 확률의 토대를 마련한 주목할만한 러시아 수학자 Andrei Kolmogorov (1903-1987). 출처 : Wikimedia Commons.
예
확률 공리는 다양한 응용 분야에서 널리 사용됩니다. 예를 들면 :
압정이나 압정이 공중으로 던져지고 바닥에 떨어질 때 포인트 업 (U) 또는 포인트 다운 (D)으로 착지 할 수 있습니다 (다른 가능성은 고려하지 않음). 이 실험의 샘플 공간은 다음 이벤트로 구성되며 E = {U, D}입니다.
그림 3. 압정 던지기 실험에는 확률이 다른 두 가지 이벤트가 있습니다. 지점이 위로 향하거나지면을 향한 착지입니다. 출처 : Pixabay.
공리를 적용하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
위아래로 똑같이 착륙 할 가능성이있는 경우 P (U) = P (D) = ½ (공리 1)입니다. 그러나 압정의 구조와 디자인으로 인해 어떤 식 으로든 떨어질 가능성이 더 높아질 수 있습니다. 예를 들어, P (U) = ¾ 인 반면 P (D) = ¼ (원칙 1) 일 수 있습니다.
두 경우 모두 확률의 합은 1을 제공합니다. 그러나 공리는 적어도 완전히는 아니지만 확률을 할당하는 방법을 나타내지 않습니다. 그러나 그들은 0과 1 사이의 숫자이며이 경우에서와 같이 모든 합이 1이라고 말합니다.
확률을 할당하는 방법
확률 공리는 확률 값을 할당하는 방법이 아닙니다. 이를 위해 공리와 호환되는 세 가지 옵션이 있습니다.
라플라스의 규칙
각 이벤트에는 동일한 발생 확률이 할당되고 발생 확률은 다음과 같이 정의됩니다.
예를 들어, 프랑스 카드 한 벌에서 에이스를 뽑을 확률은 얼마입니까? 덱에는 52 장의 카드, 각 슈트 13 장, 4 장의 슈트가 있습니다. 각 슈트에는 1 개의 에이스가 있으므로 총 4 개의 에이스가 있습니다.
P (as) = 4/52 = 1/13
라플라스의 규칙은 각 사건이 똑같이 확률이 높은 유한 한 표본 공간으로 제한됩니다.
상대 빈도
이 방법은 많은 반복을 수행하는 것을 기반으로하기 때문에 여기서 실험은 반복 가능해야합니다.
실험 ξ의 i 반복을 만들어 보겠습니다. 여기서 n은 특정 이벤트 A가 발생하는 횟수이며,이 이벤트가 발생할 확률은 다음과 같습니다.
P (A) = lim i → ∞ (n / i)
여기서 n / i는 이벤트의 상대 빈도입니다.
이러한 방식으로 P (A)를 정의하는 것은 Kolmogorov의 공리를 충족하지만 적절한 확률을 위해 많은 테스트를 수행해야한다는 단점이 있습니다.
주관적인 방법
한 개인 또는 그룹은 자신의 판단을 통해 이벤트에 확률을 할당하는 데 동의 할 수 있습니다. 이 방법은 다른 사람이 동일한 이벤트에 다른 확률을 할당 할 수 있다는 단점이 있습니다.
운동이 해결됨
3 개의 정직한 코인을 동시에 던지는 실험에서 설명 된 이벤트의 확률을 얻습니다.
a) 2 개의 머리와 꼬리.
b) 머리 1 개와 꼬리 2 개
c) 3 개의 십자가.
d) 적어도 1 개의 얼굴.
솔루션
머리는 C로 표시되고 꼬리는 X로 표시됩니다. 그러나 두 개의 머리와 꼬리를 얻는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 예를 들어, 처음 두 개의 동전은 앞면을 내고 세 번째 동전은 뒷면을 내릴 수 있습니다. 또는 첫 번째는 앞면, 두 번째 꼬리 및 세 번째 앞면이 떨어질 수 있습니다. 마지막으로 첫 번째는 꼬리와 나머지 머리가 될 수 있습니다.
질문에 답하려면 트리 다이어그램 또는 확률 트리라는 도구에 설명 된 모든 가능성을 알아야합니다.
그림 4. 세 개의 정직한 동전을 동시에 던지기위한 트리 다이어그램. 출처 : F. Zapata.
어떤 동전이 앞면이 될 확률은 ½이며, 동전이 정직하기 때문에 뒷면도 마찬가지입니다. 오른쪽 열에는 던지기의 모든 가능성, 즉 샘플 공간이 나열됩니다.
얼굴이 나타나는 순서가 중요하지 않기 때문에 샘플 공간에서 요청 된 이벤트에 응답하는 조합이 선택됩니다. CCX, CXC 및 XCC의 세 가지 유리한 이벤트가 있습니다. 각 이벤트가 발생할 확률은 다음과 같습니다.
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
CXC 및 XCC 이벤트에서도 동일하게 발생하며 각 이벤트는 1/8 확률로 발생합니다. 따라서 정확히 2 개의 앞면을 얻을 확률은 모든 유리한 이벤트의 확률의 합입니다.
P (양면) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375
솔루션 b
정확히 두 개의 교차가 발생할 확률을 찾는 것은 이전 교차와 유사한 문제이며 샘플 공간에서 가져온 세 가지 유리한 이벤트 (CXX, XCX 및 XXC)도 있습니다. 그러므로:
P (2 개의 십자가) = 3/8 = 0.375
솔루션 c
직관적으로 우리는 3 개의 꼬리 (또는 3 개의 앞면)를 얻을 확률이 더 낮다는 것을 알고 있습니다. 이 경우 검색된 이벤트는 오른쪽 열 끝에있는 XXX이며 확률은 다음과 같습니다.
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.
솔루션 d
최소 1 개의 얼굴을 획득해야합니다. 즉, 3 개의 얼굴, 2 개의 얼굴 또는 1 개의 얼굴이 나올 수 있습니다. 이것과 호환되지 않는 유일한 사건은 3 개의 꼬리가 나오는 사건이며 확률은 0.125입니다. 따라서 구할 확률은 다음과 같습니다.
P (최소한 헤드 1 개) = 1-0.125 = 0.875.
참고 문헌
- Canavos, G. 1988. 확률 및 통계 : 응용 프로그램 및 방법. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. 공학 및 과학에 대한 확률 및 통계. 8 일. 판. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Schaum 시리즈 : 확률. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. 확률 이론. 편집 Limusa.
- Walpole, R. 2007. 공학 및 과학을위한 확률 및 통계. 피어슨.