적분 상수는 부정적분 또는 적분의 계산에 부가 가치이며, 그 함수의 기본 구성하는 용액을 표현하는 역할을한다. 함수에 무한한 수의 프리미티브가있는 고유 한 모호성을 표현합니다.
예를 들어, f (x) = 2x + 1 함수를 사용하고 역도 함수를 얻는 경우 :
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; 여기서 C 는 통합 상수이며 원시의 무한한 가능성 사이의 수직 변환을 그래픽으로 나타냅니다. (x 2 + x)가 f (x)의 기본 요소 중 하나 라고 말하는 것이 맞습니다 .
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비슷하게 (x 2 + x + C )를 f (x)의 기본 요소로 정의 할 수 있습니다 .
리버스 속성
(x 2 + x) 식을 도출하면 함수 f (x) = 2x + 1이 얻어지는 것을 알 수 있는데, 이는 함수의 유도와 적분 사이에 존재하는 역 속성 때문입니다. 이 속성을 사용하면 미분에서 시작하는 적분 공식을 얻을 수 있습니다. 동일한 도함수를 통해 적분을 확인할 수 있습니다.
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그러나 (x 2 + x) 미분이 (2x + 1)과 같은 유일한 함수는 아닙니다.
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1
여기서 1, 2, 3 및 4는 f (x) = 2x + 1의 특정 원시를 나타냅니다. 반면 5는 f (x) = 2x + 1의 부정적 또는 원시 적분을 나타냅니다.
출처 : 저자
함수의 프리미티브는 역도 분 또는 적분 과정을 통해 달성됩니다. 다음이 참인 경우 F는 f의 프리미티브가됩니다.
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = 적분 상수
- F '(x) = f (x)
통합으로 인한 무한 프리미티브와 달리 함수에는 단일 미분이 있음을 알 수 있습니다.
부정적분
∫ f (x) dx = F (x) + C
이는 각 점 (x, y)의 이미지 값에서 불일치를 경험하는 동일한 패턴의 곡선 군에 해당합니다. 이 패턴을 충족하는 각 함수는 개별 프리미티브가되고 모든 함수의 집합은 무한 적분으로 알려져 있습니다.
적분 상수의 값은 실제로 각 기능을 차별화 하는 값 이 될 것입니다.
적분 상수는 함수의 모든 프리미티브를 나타내는 그래프에서 수직 시프트를 의미한다. 그들 사이의 평 행성이 관찰되고 C 가 변위의 값 이라는 사실 .
일반적인 관행에 따르면, 적분 상수는 덧셈 뒤에 문자 "C"로 표시되지만, 실제로 상수가 더해 지거나 뺄지는 중요하지 않습니다. 실제 가치는 다른 초기 조건 에서 다양한 방법으로 찾을 수 있습니다 .
통합 상수의 다른 의미
적분 미적분 분야에서 적분 상수가 어떻게 적용 되는지는 이미 논의되었습니다 . 무한 적분을 정의하는 곡선 패밀리를 나타냅니다. 그러나 다른 많은 과학과 분야 에서는 통합 상수에 대한 매우 흥미롭고 실용적인 가치를 할당 하여 여러 연구의 개발을 촉진했습니다.
에서는 물리 통합 상수는 데이터의 특성에 따라 여러 값을 취할 수있다. 매우 일반적인 예는 입자 의 속도 대 시간 t 를 나타내는 함수 V (t) 를 아는 것 입니다. V (t)의 프리미티브를 계산할 때 입자 의 위치 대 시간 을 나타내는 함수 R (t)가 얻어진 다는 것이 알려져 있습니다.
적분 상수는 것이다 시간 t = 0 인 초기 위치의 값을 나타낸다.
같은 방식으로 시간에 대한 입자 의 가속도 를 나타내는 함수 A (t) 가 알려진 경우. A (t)의 프리미티브는 V (t) 함수를 생성하며, 여기서 적분 상수 는 초기 속도 V 0 의 값이 됩니다.
경제학 에서는 비용 함수의 원시를 통합하여 얻습니다. 통합의 상수는 것이다 고정 비용을 나타냅니다. 그리고 미분 및 적분 미적분을 활용할 수있는 많은 다른 응용 프로그램이 있습니다.
적분 상수는 어떻게 계산됩니까?
적분 상수 를 계산하려면 항상 초기 조건 을 알아야합니다 . 가능한 프리미티브 중 대응하는 프리미티브를 정의하는 책임이 있습니다.
많은 응용 분야에서 상수 C 가 특정 경우 의 초기 조건 을 정의하는 값을 취하는 시간 (t)에서 독립 변수로 처리됩니다 .
초기 예를 들어 보면 : ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
유효한 초기 조건은 그래프가 특정 좌표를 통과하도록 조건을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 원시 (x 2 + x + C) 가 점 (1, 2)을 통과 한다는 것을 알고 있습니다.
F (x) = x 2 + x + C; 이것은 일반적인 해결책입니다
F (1) = 2
이 평등에서 일반적인 솔루션을 대체합니다.
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
C = 0을 쉽게 따르는 곳에서
이런 식으로이 경우에 해당하는 프리미티브는 F (x) = x 2 + x입니다.
적분 상수로 작업하는 몇 가지 유형의 수치 연습이 있습니다 . 사실, 미분 및 적분 미적분은 현재 조사에 적용되는 것을 멈추지 않습니다. 다른 학업 수준에서 찾을 수 있습니다. 초기 계산부터 물리학, 화학, 생물학, 경제학까지.
이 문제에서 수행되는 다중 유도 및 통합으로 인해 적분 상수 가 다른 값과 솔루션을 취할 수 있는 미분 방정식 연구에서도 높이 평가됩니다 .
예
예 1
- 30 미터 높이에 위치한 대포가 수직으로 발사체를 발사합니다. 발사체의 초기 속도는 25m / s로 알려져 있습니다. 결정 :
- 시간에 따른 발사체의 위치를 정의하는 함수입니다.
- 비행 시간 또는 입자가지면에 닿는 순간입니다.
직선 운동에서 균일하게 변화하는 가속도는 일정한 값이라는 것이 알려져 있습니다. 가속이 중력이되는 발사체 발사의 경우입니다.
g =-10m / s 2
가속도는 위치의 2 차 도함수이며, 이는 운동 해상도에서 이중 통합을 나타내므로 두 개의 통합 상수 를 얻습니다 .
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
운동의 초기 조건은 초기 속도가 V 0 = 25 m / s 임을 나타냅니다 . 이것은 시간 t = 0 순간의 속도입니다. 이런 식으로 다음을 만족합니다.
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 및 C 1 = 25
속도 함수가 정의 된 경우
V (t) = -10t + 25; 유사성은 MRUV 공식 (V f = V 0 + axt) 으로 관찰 할 수 있습니다.
상동적인 방식으로 속도 함수가 통합되어 위치를 정의하는 표현식을 얻습니다.
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (프리미티브 위치)
초기 위치 R (0) = 30m가 알려져 있습니다. 그런 다음 발사체의 특정 기본 요소가 계산됩니다.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . 여기서 C 2 = 30
예 2
- 초기 조건을 만족하는 원시 f (x)를 찾으십시오.
- f ''(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
이차 미분 f ''(x) = 4의 정보로 역 유도 프로세스가 시작됩니다.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
그런 다음 조건 f '(2) = 2를 알면 다음을 진행합니다.
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 및 f '(x) = 4x-8
두 번째 통합 상수에 대해 동일한 방식으로 진행합니다.
F (X) = ∫f '(x)는 DX
∫ (4X - 8) DX = 2 × 2 - 8X + C 2
초기 조건 f (0) = 7이 알려져 있으며 계속 진행합니다.
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7, F (X) = 2 × 2 - 7 + 8 배
- f ''(x) = x 2 ; f '(0) = 6; f (0) = 3
이전 문제와 유사한 방식으로 초기 조건에서 1 차 도함수와 원래 함수를 정의합니다.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (X 2 ) = DX (X 3 / 3) + C (1)
조건 f '(0) = 6으로 진행합니다.
(0 3/3 ) + C 1 = 6; 여기서 C 1 = 6이고 f '(x) = (x 3 / 3) + 6
그런 다음 두 번째 통합 상수
f (x) = ∫f '(x) dx
DX = ∫ (X 4 / 12) + (6X) C + (2)
초기 조건 f (0) = 3이 알려져 있으며 계속 진행합니다.
+ 6 (0) + C 2 = 3; 여기서 C 2 = 3
따라서 우리는 원시 특정
F (X) = (X 4 / 12) + (6X) + (3)
예제 3
- 그래프의 미분과 점이 주어지면 기본 함수를 정의하십시오.
- dy / dx = 2x-점 (3, 2)을 통과하는 2
도함수는 주어진 지점에서 곡선에 접하는 선의 기울기를 나타냄을 기억하는 것이 중요합니다. 미분의 그래프가 표시된 점에 닿았다고 가정하는 것이 정확하지 않은 경우, 이것은 원시 함수의 그래프에 속하기 때문입니다.
이런 식으로 우리는 다음과 같이 미분 방정식을 표현합니다.
∫dy = ∫ (2x-2) dx
초기 조건 적용 :
= 2 (3) 2 - 2 (3) C +
C = -1
그것은 얻어진다 F (X) = X (2) - 2 × 1 -
- dy / dx = 점 (0, 2)을 통과하는 3x 2-1
우리는 미분 방정식을 다음과 같이 표현합니다.
초기 조건 적용 :
(2) = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
우리는 다음을 얻습니다 : f (x) = x 3 -x + 2
제안 된 운동
연습 1
- 초기 조건을 만족하는 원시 f (x)를 찾으십시오.
- f ''(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f ''(x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f ''(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f ''(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
연습 2
- 16ft / s의 속도로 상승하는 풍선은지면에서 64ft 높이에서 모래 주머니를 떨어 뜨립니다.
- 비행 시간 정의
- 벡터 V f가 땅에 닿을 때 무엇이 될까요?
연습 3
- 그림은 x 축에서 양의 방향으로 움직이는 자동차의 가속 시간 그래프를 보여줍니다. 운전자가 10 초 만에 브레이크를 밟았을 때 자동차는 54km / h의 일정한 속도로 주행하고있었습니다. 결정:
- 자동차의 초기 가속
- t = 5s에서 자동차의 속도
- 제동 중 차량의 변위
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연습 4
- 그래프의 미분과 점이 주어지면 기본 함수를 정의하십시오.
- dy / dx = 점 (-1, 4)을 통과하는 x
- dy / dx = -x 2 + 1 점 (0, 0)을 통과
- dy / dx = -x + 1 점 (-2, 2)을 통과합니다.
참고 문헌
- 적분 미적분. 무기한 적분 및 통합 방법. Wilson, Velásquez Bastidas. 막달레나 대학교 2014
- Stewart, J. (2001). 변수 계산. 초기 초월. 멕시코 : Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). 수학 VI. 적분 미적분. 멕시코 : Pearson Education.
- 물리학 I. Mc Graw 언덕