구면 좌표 로 이루어진 3 차원 위치의 점의 집합 좌표 극성라는 두 개의 각도 좌표 좌표 및 방위각 좌표 반경.
아래에서 볼 수있는 그림 1은 점 M의 구형 좌표 (r, θ, φ)를 보여줍니다. 이러한 좌표는 원점 O의 데카르트 축 X, Y, Z의 직교 시스템을 참조합니다.
그림 1. 점 M의 구면 좌표 (r, θ, φ). (wikimedia commons)
이 경우, 점 M의 좌표 r은 해당 점에서 원점 O까지의 거리입니다. 극좌표 θ는 양의 반축 Z와 반경 벡터 OM 사이의 각도를 나타냅니다. 방위각 좌표 φ는 양의 반축 X와 반경 벡터 OM '사이의 각도이며, 여기서 M'은 XY 평면에서 M의 직교 투영입니다.
반경 좌표 r은 양수 값만 사용하지만 점이 원점에 있으면 r = 0입니다. 극좌표 θ는 양의 반축 Z에있는 점에 대해 최소값 0º를 취하고 점에 대한 최대 값 180º는 음의 반축 Z에 위치합니다. 마지막으로 방위각 좌표 φ는 최소값 0º와 최대 높이 360º를 취합니다.
0 ≤ r <∞
0 ≤ θ ≤ 180º
0 ≤ φ <360º
좌표 변경
다음으로, 점 M의 직교 좌표 (x, y, z)를 구할 수있는 공식은 동일한 (r, θ, φ) 점의 구면 좌표를 알고 있다고 가정합니다.
x = r Sen (θ) Cos (φ)
y = r 센 (θ) 센 (φ)
z = r Cos (θ)
같은 방식으로 주어진 지점의 데카르트 좌표 (x, y, z)에서 해당 지점의 구형 좌표로 이동할 관계를 찾는 것이 유용합니다.
r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)
φ = Arctan (y / x)
구형 좌표의 벡터베이스
구면 좌표에서 Ur , Uθ , Uφ 로 표시되는 기본 벡터의 직교 근 기준이 정의됩니다 . 그림 1에는 다음과 같은 특성을 가진 세 개의 단위 벡터가 표시됩니다.
- 우르 래디얼 라인 θ = ctte 및 φ = ctte의 단위 접선 벡터이고;
- Uθ는 행 단위 접선 벡터는 아크 φ = ctte 및 R = ctte;
- Uφ은 원호 R = ctte 및 θ = ctte의 단위 접선 벡터이다.
구형 좌표의 선 및 체적 요소
구형 좌표의 공간에있는 한 점의 위치 벡터는 다음과 같이 작성됩니다.
r = r 우르
그러나 이러한 좌표에서 3 차원 공간에서 점의 극소 변화 또는 변위는 다음 벡터 관계로 표현됩니다.
d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ
마지막으로, 구형 좌표의 극소 부피 dV는 다음과 같이 작성됩니다.
dV = r ^ 2 센 (θ) dr dθ dφ
이러한 관계는 구형 대칭이있는 물리적 상황에서 선 및 체적 적분을 계산하는 데 매우 유용합니다.
지리적 좌표와의 관계
지리적 좌표는 지구 표면의 위치를 찾는 데 사용되는 좌표로 이해됩니다. 이 시스템은 위도와 경도 좌표를 사용하여 지구 표면의 위치를 찾습니다.
지리 좌표계에서 지구 표면은 극점에서 평평해진 것으로 알려져 있지만 반경 Rt를 가진 구형으로 가정하고 평행선과 자오선이라고하는 가상의 선 세트를 고려합니다.
그림 2. 지구 표면에서 관찰자의 경도 α와 위도 β.
위도 β는 지구 중심에서 시작하여 위치를 지정하려는 지점까지 반경으로 형성된 각도입니다. 이것은 그림 2와 같이 적도 평면에서 측정됩니다. 반면에 경도 α는 제로 자오선 (그리니치 자오선이라고 함)에 대해 위치하는 지점의 자오선이 형성되는 각도입니다.
위도는 위치가 북반구에 있는지 남반구에 있는지에 따라 북위 또는 남위가 될 수 있습니다. 마찬가지로 경도는 위치가 제로 자오선의 서쪽인지 동쪽인지에 따라 서쪽 또는 동쪽이 될 수 있습니다.
지역에서 구형으로 변경하는 공식
이러한 공식을 얻으려면 먼저 좌표계를 설정해야합니다. XY 평면은 적도 평면과 일치하도록 선택되며, 양의 X 반 축은 지구 중심에서 제로 자오선을 통과하는 평면입니다. 차례로 Y 축은 90º E 자오선을 통과하고 지표면의 반경은 Rt입니다.
이 좌표계를 사용하면 지리적에서 구형으로의 변환은 다음과 같습니다.
αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)
αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)
αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)
αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)
예
예 1
팔마 데 마요르카 (스페인)의 지리적 좌표는 다음과 같습니다.
동경 38.847º 및 북위 39.570º. Palma de Mallorca에 해당하는 구형 좌표를 결정하기 위해 이전 섹션의 공식 중 첫 번째 공식이 적용됩니다.
38,847ºE39,570ºN → (r = 6371km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)
따라서 구형 좌표는 다음과 같습니다.
팔마 데 마요르카 : (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)
이전 답변에서 r은 지구의 평균 반경과 동일합니다.
예 2
Malvinas (포클랜드) 섬의 지리적 좌표가 59ºO 51.75ºS임을 알고 해당 극좌표를 결정합니다. X 축은 지구 중심에서 0º 자오선과 적도면으로 이동합니다. Y 축은 적도면에서도 90º 서쪽 자오선을 통과합니다. 마지막으로 남북 방향의 지구 회전축의 Z 축입니다.
해당 구면 좌표를 찾기 위해 이전 섹션에 제시된 공식을 사용합니다.
59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) 즉
말 비나 스 : (r = 6371km, θ = 141.75º, φ = 301º)
식
연습 1
그림 2에 표시된 XYZ 데카르트 참조 시스템에서 팔마 데 마요르카의 데카르트 좌표를 찾으십시오.
솔루션 : 이전 예 1에서는 팔마 데 마요르카의 지리적 좌표에서 시작하여 구형 좌표를 얻었습니다. 따라서 위에 제시된 공식을 사용하여 구형에서 카티 시안으로 이동할 수 있습니다.
x = 6371km Sen (50.43º) Cos (38.85º)
y = 6371km Sen (50.43º) Sen (38.85º)
z = 6371km Cos (50.43º)
해당 계산을 수행하면 다음과 같습니다.
팔마 데 마요르카 : (x = 3825km, y = 3081km, z = 4059)
연습 2
그림 2에 표시된 XYZ 데카르트 참조 시스템에서 포클랜드 제도의 데카르트 좌표를 찾으십시오.
솔루션 : 이전에 예제 2에서는 Malvinas 섬의 지리적 좌표에서 시작하여 구형 좌표를 얻었습니다. 따라서 위에 제시된 공식을 사용하여 구형에서 카티 시안으로 이동할 수 있습니다.
x = 6371km Sen (141.75º) Cos (301º)
y = 6371km Sen (141.75º) Sen (301º)
z = 6371km Cos (141.75º)
해당 계산을 수행하면 다음을 얻습니다.
포클랜드 제도 : (x = 2031km, y = -3381km, z = -5003)
참고 문헌
- Arfken G 및 Weber H. (2012). 물리학자를위한 수학적 방법. 포괄적 인 가이드. 7 판. 학술 보도. ISBN 978-0-12-384654-9
- 계산 cc. 원통형 및 구형 좌표 문제를 해결했습니다. 출처 : calculo.cc
- 천문학 워크샵. 위도와 경도. 출처 : tarifamates.blogspot.com/
- Weisstein, Eric W. "구형 좌표." MathWorld-A Wolfram Web에서 제공합니다. 출처 : mathworld.wolfram.com
- 위키 백과. 구면 좌표계. 출처 : en.wikipedia.com
- 위키 백과. 원통형 및 구형 좌표의 벡터 필드. 출처 : en.wikipedia.com