대수 유도체는 대수 함수의 경우 유도체의 연구로 구성된다. 미분 개념의 기원은 고대 그리스로 거슬러 올라갑니다. 이 개념의 발전은 두 가지 중요한 문제, 하나는 물리학에서 다른 하나는 수학에서 해결해야 할 필요성에 의해 동기가 부여되었습니다.
물리학에서 미분은 움직이는 물체의 순간 속도를 결정하는 문제를 해결합니다. 수학에서는 주어진 지점에서 곡선에 대한 접선을 찾을 수 있습니다.
도함수와 일반화를 사용하여 해결되는 문제가 실제로 더 많이 있지만 개념 도입 이후에 나온 결과입니다.
미적분학의 선구자는 Newton과 Leibniz입니다. 공식적인 정의를하기 전에, 우리는 수학적, 물리적 관점에서 그 뒤에 숨은 아이디어를 개발할 것입니다.
곡선에 대한 접선의 기울기로서의 미분
함수 y = f (x)의 그래프가 (피크 나 꼭지점 또는 갭이없는) 연속 그래프이고 A = (a, f (a))를 고정 점이라고 가정합니다. 우리는 점 A에서 함수 f의 그래프에 접하는 선의 방정식을 찾고 싶습니다.
그래프에서 점 A에 가까운 다른 점 P = (x, f (x))를 가져 와서 A와 P를 통과하는 시컨트 선을 그립니다. 시컨트 선은 곡선의 그래프를 1 씩 자르는 선입니다. 또는 더 많은 포인트.
원하는 접선을 얻으려면 이미 선에 점 A가 있으므로 기울기 만 계산하면됩니다.
그래프를 따라 점 P를 이동하고 점 A에 가까워지면 이전에 언급 한 시컨트 선이 찾고자하는 접선에 접근합니다. "P가 A에 가까워 질 때"한계를 정하면 두 선이 일치하므로 기울기도 일치합니다.
시컨트 라인의 기울기는 다음과 같습니다.
P가 A에 접근한다고 말하는 것은 "x"가 "a"에 접근한다고 말하는 것과 같습니다. 따라서 점 A에서 f의 그래프에 대한 접선의 기울기는 다음과 같습니다.
위의 표현은 f '(a)로 표시되고 "a"지점에서 함수 f의 미분으로 정의됩니다. 따라서 분석적으로는 한 지점에서 함수의 미분이 한계이지만 기하학적으로는 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 기울기입니다.
이제 우리는 물리학의 관점에서이 개념을 살펴볼 것입니다. 우리는 비록 다른 경로에 의해 이전 한계의 동일한 표현에 도달하여 정의의 만장일치를 얻을 것입니다.
움직이는 물체의 순간 속도로서의 미분
순간 속도의 의미에 대한 간단한 예를 살펴 보겠습니다. 예를 들어 목적지에 도착하는 자동차가 시속 100km의 속도로 이동했다고 말하면 1 시간 내에 100km를 이동했음을 의미합니다.
이것은 반드시 전체 시간 동안 자동차가 항상 100km 였고 자동차의 속도계가 어떤 순간에는 더 적거나 더 많이 표시 할 수 있다는 것을 의미하지는 않습니다. 신호등에서 멈춰야 할 필요가 있다면 그 당시의 속도는 0km였습니다. 그러나 한 시간 후 여행은 100km였습니다.
이것은 평균 속도로 알려져 있으며 방금 살펴본 것처럼 이동 거리와 경과 시간의 몫으로 제공됩니다. 반면 순간 속도는 주어진 순간 (시간)에 자동차 속도계의 바늘을 표시하는 속도입니다.
이제 좀 더 일반적으로 살펴 보겠습니다. 물체가 선을 따라 이동하고이 변위가 방정식 s = f (t)로 표현된다고 가정합니다. 여기서 변수 t는 시간을 측정하고 변수 s는 변위를 순간 t = 0, 이때 또한 0, 즉 f (0) = 0입니다.
이 함수 f (t)를 위치 함수라고합니다.
고정 된 순간 "a"에서 물체의 순간 속도에 대한 표현을 찾습니다. 이 속도에서 우리는 V (a)로 표시합니다.
t를 순간 "a"에 가까운 순간이라고합시다. “a”와“t”사이의 시간 간격에서 물체의 위치 변화는 f (t) -f (a)로 주어집니다.
이 시간 간격의 평균 속도는 다음과 같습니다.
이것은 순간 속도 V (a)의 근사치입니다. 이 근사는 t가 "a"에 가까워 질수록 더 좋습니다. 그러므로,
이 표현은 이전 사례에서 얻은 것과 동일하지만 관점이 다릅니다. 이것은 점 "a"에서 함수 f의 미분으로 알려져 있으며 위에서 언급 한대로 f '(a)로 표시됩니다.
h = xa를 변경하면 "x"가 "a"가되고 "h"가 0이되고 이전 한계가 (동등하게) 다음과 같이 변환됩니다.
두 표현은 동일하지만 경우에 따라 다른 표현 대신 하나를 사용하는 것이 더 낫습니다.
그 도메인에 속하는 "x"지점에서 함수 f의 미분은 다음과 같이보다 일반적인 방식으로 정의됩니다.
함수 y = f (x)의 미분을 나타내는 가장 일반적인 표기법은 방금 본 것입니다 (f '또는 y'). 그러나 널리 사용되는 또 다른 표기법은 다음 표현 중 하나로 표현되는 라이프니츠 표기법입니다.
미분은 본질적으로 한계이므로 한계가 항상 존재하는 것은 아니기 때문에 존재하거나 존재하지 않을 수 있습니다. 존재한다면 해당 기능은 주어진 지점에서 미분 할 수 있다고합니다.
대수 함수
대수 함수는 더하기, 빼기, 곱, 몫, 거듭 제곱 및 근호를 사용하는 다항식의 조합입니다.
다항식은 다음 형식의 표현입니다.
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
여기서 n은 자연수이고 i = 0,1, …, n 인 모든 a i 는 유리수이고 n ≠ 0입니다. 이 경우이 다항식의 차수는 n이라고합니다.
다음은 대수 함수의 예입니다.
지수, 로그 및 삼각 함수는 여기에 포함되지 않습니다. 다음에 보게 될 유도 규칙은 일반적으로 함수에 유효하지만 대수 함수의 경우에는 우리 자신을 제한하고 적용 할 것입니다.
우회 규칙
상수의 미분
상수의 미분이 0임을 나타냅니다. 즉, f (x) = c이면 f '(x) = 0입니다. 예를 들어, 상수 함수 2의 미분은 0과 같습니다.
힘의 미분
만약 F (X) = X N 다음 '(x)는 F = NX N-1 . 예를 들어, x 3 의 미분 은 3x 2 입니다. 그 결과, 항등 함수 f (x) = x의 미분은 f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1이라는 것을 알 수 있습니다.
또 다른 예는 다음과 같습니다 : let f (x) = 1 / x 2 , then f (x) = x -2 and f '(x) =-2x -2-1 = -2x -3 .
이 속성은 또한 유효한 뿌리입니다. 뿌리는 합리적 힘이고 그 경우에도 위의 것이 적용될 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 제곱근의 미분은 다음과 같이 주어집니다.
덧셈과 뺄셈의 미분
f와 g가 x에서 미분 할 수있는 함수라면 f + g의 합도 미분 할 수 있으며 (f + g) '(x) = f'(x) + g '(x)로 만족됩니다.
마찬가지로 (fg) '(x) = f'(x) -g '(x)가 있습니다. 즉, 합의 미분 (빼기)은 도함수의 합 (또는 빼기)입니다.
예
h (x) = x 2 + x-1이면
h '(x) = (x 2 ) + (x)'-(1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
제품에서 파생
f와 g가 x에서 미분 할 수있는 함수라면 제품 fg도 x에서 미분 할 수 있으며
(fg) '(x) = f'(x) g (x) + f (x) g '(x).
결과적으로 c가 상수이고 f가 x에서 미분 가능한 함수이면 cf는 x에서도 미분 가능하며 (cf) '(x) = cf'(X)입니다.
예
f (x) = 3x (x 2 +1)이면
f '(x) = (3x)'(x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)'(x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
몫의 미분
f와 g가 x와 g (x) ≠ 0에서 미분 할 수 있다면 f / g도 x에서 미분 할 수 있으며
예 : h (x) = x 3 / (x 2 -5x)이면
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2 .
연쇄 법칙
이 규칙은 기능의 구성을 유도 할 수 있습니다. 다음을 설명하십시오. y = f (u)가 u에서 미분 할 수 있고 yu = g (x)가 x에서 미분 할 수있는 경우 복합 함수 f (g (x))는 x에서 미분 할 수 있으며 '= f '(g (x)) g'(x).
즉, 복합 함수의 미분은 외부 함수의 미분 (외부 미분)과 내부 함수의 미분 (내부 미분)의 곱입니다.
예
만약 F (X) = (X (4) -2X) (3) 다음,
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)'= 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
함수의 역 도함수를 계산하고 고차 도함수로 일반화하는 결과도 있습니다. 응용 프로그램은 광범위합니다. 그 중에서 최적화 문제와 최대 및 최소 기능에 대한 유용성이 두드러집니다.
참고 문헌
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