유클리드 거리가 유클리드의 기하학의 공리와 정리가 실현되는 공간에서 두 점 사이의 거리를 나타내는 양수이다.
유클리드 공간에서 두 점 A와 B 사이의 거리는 이러한 점을 통과하는 유일한 선에 속하는 벡터 AB 의 길이입니다 .
그림 1. 선 (OX)에 의해 형성된 1 차원 유클리드 공간. 해당 공간, 좌표 및 거리에 여러 점이 표시됩니다. (Ricardo Pérez 작성).
인간이인지하고 움직이는 공간은 유클리드 기하학의 공리와 정리가 충족되는 3 차원 공간입니다. 2 차원 부분 공간 (평면)과 1 차원 부분 공간 (선)이이 공간에 포함됩니다.
유클리드 공간은 1 차원 (1-D), 2 차원 (2-D), 3 차원 (3-D) 또는 n 차원 (nD) 일 수 있습니다.
1 차원 공간 X의 점은 방향 선 (OX)에 속하는 점이며 O에서 X까지의 방향은 양의 방향입니다. 이 선에서 점을 찾기 위해 선의 각 점에 숫자를 할당하는 데카르트 시스템이 사용됩니다.
공식
선에있는 점 A와 B 사이의 유클리드 거리 d (A, B)는 X 좌표 차이 제곱의 제곱근으로 정의됩니다.
d (A, B) = √ ((XB-XA) ^ 2)
이 정의는 다음을 보장합니다. 두 점 사이의 거리는 항상 양수입니다. 그리고 A와 B 사이의 거리는 B와 A 사이의 거리와 같습니다.
그림 1은 선 (OX)과 해당 선의 여러 점에 의해 형성된 1 차원 유클리드 공간을 보여줍니다. 각 점에는 좌표가 있습니다.
점 A는 좌표 XA = 2.5, 점 B 좌표 XB = 4 및 점 C 좌표 XC = -2.5입니다.
d (A, B) = √ ((4-2.5) 2) = 1.5
d (B, A) = √ ((2.5-4) 2) = 1.5
d (A, C) = √ ((-2.5-2.5) 2) = 5.0
2 차원의 유클리드 거리
2 차원 유클리드 공간은 평면입니다. 유클리드 평면의 점은 유클리드 기하학의 공리를 충족합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
-하나의 선이 두 점을 통과합니다.
-평면의 세 점이 삼각형을 형성하며 내부 각도는 항상 180º가됩니다.
-직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.
2 차원에서 점은 X 및 Y 좌표를 갖습니다.
예를 들어 점 P에는 좌표 (XP, YP)와 점 Q 좌표 (XQ, YQ)가 있습니다.
점 P와 Q 사이의 유클리드 거리는 다음 공식으로 정의됩니다.
d (P, Q) = √ ((XQ-XP) ^ 2 + (YQ-YP) ^ 2)
이 공식은 그림 2에 표시된 피타고라스 정리와 동일합니다.
그림 2. 평면에서 두 지점 P와 Q 사이의 거리는 피타고라스 정리를 충족합니다. (Ricardo Pérez 작성).
비 유클리드 표면
모든 2 차원 공간이 유클리드 기하학을 따르는 것은 아닙니다. 구의 표면은 2 차원 공간입니다.
구형 표면의 삼각형 각도는 180º까지 합산되지 않으며이 경우 피타고라스 정리가 충족되지 않으므로 구형 표면은 유클리드의 공리를 충족하지 못합니다.
n 차원의 유클리드 거리
좌표의 개념은 더 큰 차원으로 확장 할 수 있습니다.
-2 차원 점에서 P는 좌표 (XP, YP)를가집니다.
-3 차원에서 점 Q에는 좌표 (XQ, YQ, ZQ)가 있습니다.
-4-D에서 점 R은 좌표 (XR, YR, ZR, WR)를 갖습니다.
-nD에서 점 P는 좌표 (P1, P2, P3,… .., Pn)를 갖습니다.
n 차원 유클리드 공간의 두 점 P와 Q 사이의 거리는 다음 공식으로 계산됩니다.
d (P, Q) = √ ((Q1-P1) ^ 2 + (Q2-P2) ^ 2 + …… .. + (Qn-Pn) ^ 2)
다른 고정 점 P (중심)에서 등거리에있는 n 차원 유클리드 공간에서 모든 점 Q의 궤적은 n 차원 초구를 형성합니다.
유클리드 거리를 계산하는 방법
다음은 유클리드 3 차원 공간에있는 두 점 사이의 거리를 계산하는 방법을 보여줍니다.
A :( 2, 3, 1)에 의해 주어진 데카르트 좌표 x, y, z의 점 A와 좌표 B :( -3, 2, 2)의 점 B를 가정합니다.
우리는 일반적인 관계를 사용하는 이러한 점 사이의 거리를 결정하려고합니다.
d (A, B) = √ ((-3-2) 2 + (2-3) 2 + (2-1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196
예
두 점 P와 Q가 있습니다. P :( 2, 3, 1)에 의해 주어진 데카르트 좌표 x, y, z의 점 P와 Q :( -3, 2, 1) 좌표의 점 Q.
두 점을 연결하는 세그먼트의 중간 점 M의 좌표를 찾아야합니다.
알려지지 않은 점 M은 좌표 (X, Y, Z)를 가지고 있다고 가정합니다.
M이의 중간 점이므로 d (P, M) = d (Q, M)가 참이어야합니다. 따라서 d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2도 참이어야합니다.
(X-2) ^ 2 + (Y-3) ^ 2 + (Z-1) ^ 2 = (X-(-3)) ^ 2 + (Y-2) ^ 2 + (Z-1) ^ 2
이 경우와 같이 세 번째 항은 두 멤버 모두에서 동일하며 이전 표현식은 다음과 같이 단순화됩니다.
(X-2) ^ 2 + (Y-3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y-2) ^ 2
그런 다음 두 개의 미지수 X와 Y가있는 방정식이 있습니다. 문제를 해결하려면 또 다른 방정식이 필요합니다.
점 M은 점 P와 Q를 통과하는 선에 속하며 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
먼저 라인 의 디렉터 벡터 PQ 를 찾습니다 : PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
그런 다음 PM = OP + a PQ , 여기서 OP 는 점 P의 위치 벡터이며 실수에 속하는 매개 변수입니다.
위의 방정식은 직선의 벡터 방정식으로 알려져 있으며 데카르트 좌표에서 다음과 같은 형식을 취합니다.
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2-5a, 3-a, 0>
우리가 가진 해당 구성 요소를 동일시하십시오.
X-2 = 2-5 a; Y-3 = 3 -a; Z-1 = 0
즉, X = 4-5a, Y = 6-a, 마지막으로 Z = 1입니다.
X와 Y를 연관시키는 2 차 표현식으로 대체됩니다.
(4-5a-2) ^ 2 + (6-a-3) ^ 2 = (4-5a + 3) ^ 2 + (6-a-2) ^ 2
간단합니다.
(2-5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7-5a) ^ 2 + (4-a) ^ 2
이제 펼쳐집니다.
4 + 25 a ^ 2-20a + 9 + a ^ 2-6a = 49 + 25 a ^ 2-70a + 16 + a ^ 2-8a
두 멤버의 조건과 같이 취소되어 단순화됩니다.
4-20a + 9-6a = 49-70a + 16-8a
매개 변수 a가 지워집니다.
52 a = 49 + 16-4-9 = 52 결과 a = 1입니다.
즉, X = 4-5, Y = 6-1, 마지막으로 Z = 1입니다.
마지막으로 세그먼트의 중간 점 M의 데카르트 좌표를 얻습니다.
M : (-1, 5, 1).
참고 문헌
- Lehmann C. (1972) 분석 기하학. UTEHA.
- Superprof. 두 지점 사이의 거리. 출처 : superprof.es
- UNAM. 아핀 하위 선형 매니 폴드 사이의 거리. 출처 : prometeo.matem.unam.mx/
- 위키 백과. 유클리드 거리. 출처 : es.wikipedia.com
- 위키 백과. 유클리드 공간. 출처 : es.wikipedia.com