적 : 속성, 적을 만드는 방법, 예 - 수학

에 네곤 은 9 개의면과 9 개의 꼭지점이있는 다각형으로, 규칙적이지 않을 수도 있습니다. eneágono라는 이름은 그리스어에서 유래되었으며 그리스어 ennea (9)와 gonon (각도)으로 구성됩니다.

9면 다각형의 대체 이름은 nonagon이며 라틴어 nonus (9)와 gonon (vertex)에서 유래되었습니다. 반면에,에 네곤의 측면이나 각도가 서로 같지 않으면 불규칙한 에너 곤이 있습니다. 반면에,에 네곤의 아홉 변과 아홉 각도가 모두 같으면 그것은 일반에 네곤입니다.

그림 1. 일반에 네곤과 불규칙에 네곤. (자신의 정교함)

에 네곤의 특성

n 개의면이있는 다각형의 경우 내부 각도의 합은 다음과 같습니다.

(n-2) * 180º

에 네곤에서는 n = 9이므로 내부 각도의 합은 다음과 같습니다.

Sa = (9-2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

모든 다각형에서 대각선 수는 다음과 같습니다.

D = n (n-3) / 2이고에 네곤의 경우 n = 9이므로 D = 27입니다.

일반에 네곤

일반 에너 곤 또는 노 나곤에는 동일한 측정의 9 개의 내부 각도가 있으므로 각 각도는 내부 각도의 총합의 1/9를 측정합니다.

에 네곤의 내부 각도 측정 값은 1260º / 9 = 140º입니다.

그림 2. 일반에 네곤의 아포 헴, 반경, 측면, 각도 및 꼭지점. (자신의 정교함)

측면 d가있는 일반 에너지의 면적에 대한 공식을 도출하려면 그림 2에 표시된 것과 같은 일부 보조 구조를 만드는 것이 편리합니다.

중심 O는 인접한 두 측면의 이등분선을 추적하여 찾습니다. 정점에서 등거리에있는 중심 O.

길이 r의 반경은 중심 O에서에 네곤의 꼭지점까지의 세그먼트입니다. 그림 2는 길이 r의 반경 OD 및 OE를 보여줍니다.

아포 헴은에 네곤 한쪽의 중심에서 중간 점으로 이어지는 세그먼트입니다. 예를 들어 OJ는 길이가 a 인 아포 헴입니다.

측면과 아포 헴을 알려진에 네곤의 영역

우리는 그림 2에서 삼각형 ODE를 고려합니다.이 삼각형의 면적은 기본 DE와 높이 OJ를 2로 나눈 곱입니다.

ODE 면적 = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

에 네곤에는 동일한 면적의 삼각형이 9 개 있으므로 동일한 면적은 다음과 같다고 결론을 내립니다.

Enegon 영역 = (9/2) (d * a)

알려진 enegon의 영역

에 네곤 변의 길이 d 만 알고있는 경우 이전 섹션의 공식을 적용하기 위해 아포 헴의 길이를 찾아야합니다.

J의 직각 삼각형 OJE를 고려합니다 (그림 2 참조). 접선 삼각비가 적용되면 다음을 얻습니다.

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

각도 ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, EO는에 네곤 내부 각도의 이등분이기 때문입니다.

반면에 OJ는 길이 a의 종말입니다.

그러면 J가 ED의 중간 점이므로 EJ = d / 2가됩니다.

탄젠트 관계에서 이전 값을 대체하면 다음과 같습니다.

tan (70º) = a / (d / 2).

이제 아포 헴의 길이를 지 웁니다.

a = (d / 2) tan (70º).

이전 결과는 면적 공식에서 대체되어 다음을 얻습니다.

에 네곤의 면적 = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

마지막으로, 변의 길이 d 만 알고있는 경우 일반 에너지의 면적을 구할 수있는 공식을 찾습니다.

에 네곤의 면적 = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

측면을 알고있는 규칙적인에 네곤의 둘레

다각형의 둘레는 측면의 합입니다. 에 네곤의 경우 각 변이 길이 d를 측정하므로 둘레는 9 곱하기 d의 합이됩니다. 즉,

둘레 = 9 일

반경을 알고있는에 네곤의 둘레

J의 직각 삼각형 OJE (그림 2 참조)를 고려하면 삼각 코사인 비율이 적용됩니다.

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

출처 :

d = 2r cos (70º)

이 결과를 대체하여에 네곤 반경의 함수로 둘레에 대한 공식을 얻습니다.

둘레 = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564r

규칙적인 에너지를 만드는 방법

1- 통치자와 나침반을 사용하여 일반 적을 만들려면 적을 둘러싼 원주 c에서 시작하십시오. (그림 3 참조)

2- 원주의 중심 O를 통해 두 개의 수직선이 그려집니다. 그런 다음 선 중 하나의 교차점 A와 B가 원주로 표시됩니다.

3- 나침반을 사용하여 절편 B를 중심으로하고 반경 BO와 동일한 개구부를 사용하면 점 C에서 원래 원주를 가로 지르는 호가 그려집니다.

그림 3. 일반 에너지를 구축하는 단계. (자신의 정교함)

4- 이전 단계가 반복되지만 A와 반경 AO에서 중심을 만들고 점 E에서 원주 c를 가로 지르는 호가 그려집니다.

5- AC를 열고 A의 중심을 열면 원주의 호가 그려집니다. BE와 중심 B를 여는 것과 마찬가지로 또 다른 호가 그려집니다. 이 두 호의 교차점은 점 G로 표시됩니다.

6- G를 중심으로하고 GA를 열면 점 H에서 보조 축 (이 경우 수평)을 가로 지르는 호가 그려집니다. 보조 축과 원래 원주 c의 교차는 I로 표시됩니다.

7- 세그먼트 IH의 길이는에 네곤 측면의 길이 d와 같습니다.

8- 나침반 개방 IH = d를 사용하면 중심 A 반경 AJ, 중심 J 반경 AK, 중심 K 반경 KL 및 중심 L 반경 LP의 호가 연속적으로 그려집니다.

9- 마찬가지로, A부터 오른쪽에서 시작하여 원래 원주 c에서 점 M, N, C 및 Q를 표시하는 반경 IH = d의 호가 그려집니다.

10- 마지막으로 세그먼트 AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ 및 마지막으로 PB가 그려집니다.

마지막 측 PB가 다른 측보다 0.7 % 길다는 것을 확인할 수 있기 때문에 시공 방법이 완전히 정확하지는 않다는 점에 유의해야합니다. 현재까지 100 % 정확한 눈금자와 나침반을 사용한 알려진 구성 방법은 없습니다.

예

다음은 몇 가지 해결 된 예입니다.

예 1

우리는 변이 2cm 인 일반에 네곤을 만들고 싶습니다. 이전에 설명한 구성을 적용하여 원하는 결과를 얻으려면 어떤 반경이 그것을 둘러싸는 원주를 가져야합니까?

이전 섹션에서 외접원의 반지름 r을 일반에 네곤의 측면 d와 관련시키는 공식이 추론되었습니다.

d = 2r cos (70º)

이전 표현식에서 r을 구하면 다음과 같습니다.

r = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * d

이전 공식에서 d = 2cm 값을 대체하면 반지름 r이 2.92cm가됩니다.

예 2

측면이 2cm 인 일반에 네곤의 면적은 얼마입니까?

이 질문에 답하려면 이전에 표시된 공식을 참조해야합니다.이 공식을 사용하면 측면의 길이 d로 알려진에 네곤의 면적을 찾을 수 있습니다.

에 네곤의 면적 = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

이전 공식에서 d를 2cm 값으로 대체하면 다음을 얻습니다.

적 영역 = 24.72cm

참고 문헌

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Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). 수학 2. Grupo Editorial Patria.
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Miller, Heeren 및 Hornsby. (2006). 수학 : 추론 및 응용 (제 10 판). 피어슨 교육.
Patiño, M. (2006). 수학 5. 편집 Progreso.

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