- 벡터에 의한 실수 α의 곱 V : α V 다른 벡터를 제공 과 에 속하는 V .

벡터 공간의 예술적 비전. 출처 : Pixabay

벡터를 표시하기 위해 굵게 ( v 는 벡터)를 사용하고 스칼라 또는 숫자에는 그리스 문자 (α는 숫자)를 사용합니다.

공리와 속성

벡터 공간을 지정하려면 다음 8 개의 공리가 유지되어야합니다.

1- 교환 성 : u + v = v + u

2-Transitivity : ( u + v ) + w = u + ( v + w )

널 벡터 3- 유 0 이되도록 0 + V = V

대향 4- 유무 : 반대 V는 인 (- V ) 보낸 V + (- V ) = 0

벡터 합에 대한 곱의 5- 분포 : α ( u + v ) = α u + α v

스칼라 합에 대한 곱의 6- 분포 : (α + β) v = α v + β v

7- 스칼라 곱의 연관성 : α (β v ) = (α β) v

8- 숫자 1은 중립 요소입니다. 1 v = v

벡터 공간의 예

예 1

(R²) 평면의 벡터는 벡터 공간의 예입니다. 평면의 벡터는 크기와 방향이있는 기하학적 객체입니다. 그것은 상기 평면에 속하고 그 크기에 비례하는 크기로 배향 된 세그먼트로 표현된다.

평면에서 두 벡터의 합은 첫 번째 벡터 이후 두 번째 벡터의 기하학적 변환 연산으로 정의 할 수 있습니다. 합계의 결과는 첫 번째 원점에서 시작하여 두 번째 끝에 도달하는 방향이 지정된 세그먼트입니다.

그림에서 R²의 합이 교환적임을 알 수 있습니다.

그림 2. 평면의 벡터는 벡터 공간을 형성합니다. 출처 : 자체 제작.

숫자 α와 벡터의 곱도 정의됩니다. 숫자가 양수이면 원래 벡터의 방향이 유지되고 크기는 원래 벡터의 α 배입니다. 숫자가 음수이면 방향은 반대이고 결과 벡터의 크기는 숫자의 절대 값입니다.

벡터 v 반대의 벡터 는 -v = (-1) v 입니다.

널 벡터는 R² 평면의 한 점이며 벡터에 0을 곱한 숫자는 널 벡터를 제공합니다.

지금까지 설명한 모든 내용이 그림 2에 나와 있습니다.

예 2

차수 0을 포함하여 차수가 2보다 작거나 같은 모든 다항식의 집합 P 는 벡터 공간의 모든 공리를 충족하는 집합을 형성합니다.

다항식 P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

두 다항식의 합이 정의됩니다 : P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

집합 P에 속하는 다항식의 합 은 교환적이고 전 이적입니다.

집합 P 에 속하는 null 다항식 은 모든 계수가 0 인 다항식입니다 .

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

다항식에 의한 스칼라 α의 합은 다음과 같이 정의됩니다. α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

P (x)의 반대 다항식은 -P (x) = (-1) P (x)입니다.

위의 모든 것에서 2보다 작거나 같은 차수의 모든 다항식의 집합 P 는 벡터 공간입니다.

예제 3

요소가 실수 인 m 행 xn 열의 모든 행렬 집합 M 은 행렬에 의한 행렬과 숫자 곱의 연산과 관련하여 실수 벡터 공간을 형성합니다.

예 4

실수 변수의 연속 함수 집합 F는 두 함수의 합, 함수에 의한 스칼라 곱셈, 널 함수 및 대칭 함수를 정의 할 수 있기 때문에 벡터 공간을 형성합니다. 또한 벡터 공간을 특성화하는 공리를 충족합니다.

벡터 공간의 기준 및 차원

베이스

벡터 공간의베이스는 선형으로 독립적 인 벡터의 집합으로 정의되어 이들의 선형 조합에서 해당 벡터 공간의 모든 벡터를 생성 할 수 있습니다.

두 개 이상의 벡터를 선형으로 결합하는 것은 벡터에 일부 스칼라를 곱한 다음 벡터로 더하는 것으로 구성됩니다.

예를 들어, R³로 구성된 3 차원 벡터의 벡터 공간에서 단위 벡터 (크기 1) i , j , k로 정의되는 표준 기저 가 사용됩니다 .

여기서 i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). 이들은 데카르트 또는 정규 벡터입니다.

R³에 속하는 벡터 V 는 V = a i + b j + c k 로 작성되며 , 이는 기본 벡터 i , j , k 의 선형 조합입니다 . 스칼라 또는 숫자 a, b, c는 V의 데카르트 성분으로 알려져 있습니다.

벡터 공간의 기본 벡터는 벡터 공간의 생성기 세트를 형성한다고도합니다.

치수

벡터 공간의 차원은 해당 공간에 대한 벡터 기반의 기본 번호입니다. 즉,베이스를 구성하는 벡터의 수입니다.

이 카디널은 해당 벡터 공간의 선형 독립 벡터의 최대 수와 동시에 해당 공간의 생성기 세트를 형성하는 벡터의 최소 수입니다.

벡터 공간의 기준은 고유하지 않지만 동일한 벡터 공간의 모든 기준은 동일한 차원을 갖습니다.

벡터 부분 공간

벡터 공간 V의 벡터 부분 공간 S는 ​​V에서와 동일한 연산이 정의되고 모든 벡터 공간 공리를 충족하는 V의 부분 집합입니다. 따라서 부분 공간 S도 벡터 공간이됩니다.

벡터 부분 공간의 예는 XY 평면에 속하는 벡터입니다. 이 부분 공간은 3 차원 공간 XYZ에 속하는 벡터 세트보다 큰 차원 벡터 공간의 서브 세트입니다.

실수 요소가있는 모든 2 × 2 행렬로 구성된 벡터 공간 S의 벡터 부분 공간 S1의 또 다른 예는 다음과 같습니다.

반면 아래 정의 된 S2는 S의 하위 집합이지만 벡터 부분 공간을 형성하지 않습니다.

해결 된 운동

-연습 1

벡터 V1 = (1, 1, 0); R³에서 V2 = (0, 2, 1) 및 V3 = (0, 0, 3).

a) 선형 적으로 독립적임을 보여줍니다.

b) 모든 트리플 (x, y, z)은 V1, V2, V3의 선형 조합으로 쓸 수 있으므로 R³에서 기저를 형성 함을 보여줍니다.

c) 밑이 V1 , V2 , V3 인 삼중 V = (-3,5,4) 의 성분을 찾으십시오 .

해결책

선형 독립성을 입증하는 기준은 α, β 및 γ에서 다음 방정식 세트를 설정하는 것입니다.

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

이 시스템에 대한 유일한 해가 α = β = γ = 0 인 경우 벡터는 선형 적으로 독립적이고 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.

α, β 및 γ의 값을 얻기 위해 다음 방정식 시스템을 제안합니다.

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

첫 번째는 α = 0, 두 번째는 α = -2 ∙ β이지만 α = 0이므로 β = 0입니다. 세 번째 방정식은 γ = (-1/3) β를 의미하지만 β = 0이므로 γ = 0입니다.

답장

R³에서 선형으로 독립된 벡터 세트라는 결론을 내립니다.

답변 b

이제 트리플 (x, y, z)을 V1, V2, V3의 선형 조합으로 작성해 봅시다.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

어디에 있습니까 :

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

첫 번째는 α = x, 두 번째 β = (yx) / 2 및 세 번째 γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. 이런 식으로 우리는 R³의 트리플 중 α, β 및 γ의 생성자를 찾았습니다.

답변 됨 c

베이스 V1 , V2 , V3 에서 트리플 V = (-3,5,4) 의 구성 요소를 찾기 위해 계속 진행하겠습니다 .

위에서 찾은 식의 해당 값을 생성기로 대체합니다.

이 경우 우리는 α = -3; β = (5-(-3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (-3) / 2) / 3 = 0

그건:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

마지막으로 :

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

우리는 V1, V2, V3 이 차원 3의 벡터 공간 R³에서 기저를 형성 한다고 결론을 내립니다 .

-운동 2

다항식 P (t) = t² + 4t -3을 P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t 및 P3 (t) = t + 3의 선형 조합으로 표현합니다.

해결책

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

숫자 x, y, z가 결정됩니다.

t에서 동일한 차수로 항을 곱하고 그룹화하여 다음을 얻습니다.

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

이는 다음 방정식 시스템으로 이어집니다.

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

이 연립 방정식의 해는 다음과 같습니다.

x = -3, y = 2, z = 4.

그건:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-운동 3

벡터 v1 = (1, 0, -1, 2); R⁴의 v2 = (1, 1, 0, 1) 및 v3 = (2, 1, -1, 1)은 선형 적으로 독립적입니다.

해결책

세 벡터 v1 , v2 , v3을 선형으로 결합 하고이 조합이 R⁴의 null 요소를 추가하도록 요구합니다.

a v1 + b v2 + c v3 = 0

즉 말하자면,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

이것은 다음과 같은 방정식 시스템으로 이어집니다.

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a-c = 0

2 a + b + c = 0

첫 번째와 네 번째를 빼면 -a + c = 0, a = c를 의미합니다.

그러나 세 번째 방정식을 보면 a = -c가됩니다. a = c = (-c)가 유지하는 유일한 방법은 c가 0이므로 a도 0이됩니다.

a = c = 0

이 결과를 첫 번째 방정식에 대입하면 b = 0이라는 결론을 내립니다.

마지막으로 a = b = c = 0이므로 벡터 v1, v2 및 v3이 선형 적으로 독립적이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

참고 문헌

1. Lipschutz, S. 1993. 선형 대수. 두번째 버전. McGraw-Hill. 167-198.