용어를 그룹화하여 공통 요인은 당신이 요소의 형태로 일부 대수식을 작성할 수 있습니다 대수 절차입니다. 이 목적을 달성하려면 먼저 표현을 적절하게 그룹화해야하며 이렇게 형성된 각 그룹이 사실상 공통 요소를 가지고 있음을 관찰해야합니다.
기술을 올바르게 적용하려면 약간의 연습이 필요하지만 금방 익힐 수 있습니다. 먼저 단계별로 설명 된 예시적인 예를 살펴 보겠습니다. 그런 다음 독자는 나중에 나타날 각 연습에서 배운 내용을 적용 할 수 있습니다.
그림 1. 용어를 그룹화하여 공통 요소를 사용하면 대수식 작업이 더 쉬워집니다. 출처 : Pixabay.
예를 들어 다음 식을 인수 분해해야한다고 가정합니다.
2x 2 + 2xy-3zx-3zy
이 대수식은 + 및-기호로 구분 된 4 개의 단항식 또는 항으로 구성됩니다.
2x 2 , 2xy, -3zx, -3zy
자세히 보면 x는 처음 세 개에 공통이지만 마지막은 아니지만 y는 두 번째와 네 번째에 공통이고 z는 세 번째와 네 번째에 공통입니다.
따라서 원칙적으로 동시에 4 개의 용어에 공통 요소는 없지만 다음 섹션에서 볼 수 있듯이 그룹화하면 두 개 이상의 결과로 표현을 작성하는 데 도움이되는 하나가 나타날 수 있습니다. 요인.
예
식 인수 분해하기 : 2x 2 + 2xy-3zx-3zy
1 단계 : 그룹
2x 2 + 2xy-3zx-3zy = (2x 2 + 2xy) + (-3zx-3zy)
2 단계 : 각 그룹의 공약수 찾기
2x 2 + 2xy-3zx-3zy =
= (2x 2 + 2xy)-(3zx + 3zy) =
= 2x (x + y)-3z (x + y)
나는 mportant : 음의 기호 또한 고려되어야 공통 요인이다.
이제 괄호 (x + y)가 그룹화하여 얻은 두 항에서 반복됩니다. 그것이 추구되는 공통 요소입니다.
3 단계 : 전체 표현식 인수 분해
2x 2 + 2xy-3zx-3zy = (x + y) (2x-3z)
이전 결과를 통해 인수 분해의 목표에 도달했습니다. 이는 항의 덧셈과 뺄셈을 기반으로 한 대수식을 다음 예에서 두 개 이상의 요인의 곱으로 변환하는 것입니다. (x + y) 및 (2x-3z).
그룹화에 의한 공통 요소에 대한 중요한 질문
질문 1 : 결과가 올바른지 어떻게 알 수 있습니까?
답 : 얻은 결과에 분배 성 (distributive property)을 적용하고 축소하고 단순화 한 후 이렇게 얻은 표현은 원본과 일치해야하며 그렇지 않으면 오류가 있습니다.
이전 예에서는 결과와 반대로 작업하여 올바른지 확인합니다.
(x + y) (2x-3z) = 2x 2 -3zx + 2xy-3zy
덧셈의 순서가 합을 변경하지 않기 때문에 분배 속성을 적용한 후 모든 원래 항이 반환되고 부호가 포함되므로 인수 분해가 정확합니다.
질문 2 : 다른 방식으로 그룹화되었을 수 있습니까?
답 : 하나 이상의 그룹화 형식을 허용하는 대수식과 그렇지 않은 다른 형식이 있습니다. 선택한 예에서 독자는 다음과 같은 그룹화와 같은 다른 가능성을 스스로 시도 할 수 있습니다.
2 × 2 + 마찬가지로 Y - 3zx - 3zy = (2 × 2 - 3zx) + (마찬가지로 Y - 3zy)
그리고 결과가 여기에서 얻은 것과 동일한 지 확인할 수 있습니다. 최적의 그룹을 찾는 것은 연습 문제입니다.
질문 3 : 왜 대수적 표현에서 공통 요소를 취해야합니까?
답 : 인수 분해 된식이 계산을 더 쉽게 만드는 응용 프로그램이 있기 때문입니다. 예를 들어 2x 2 + 2xy-3zx-3zy를 0 으로 설정한다고 가정합니다 . 가능성은 무엇입니까?
이 질문에 답하기 위해 팩토링 된 버전이 원래 개발보다 훨씬 유용합니다. 다음과 같이 명시됩니다.
(x + y) (2x-3z) = 0
표현식의 가치가 0 일 가능성은 z의 값에 관계없이 x = -y입니다. 다른 하나는 y 값에 관계없이 x = (3/2) z입니다.
식
- 연습 1
용어를 그룹화하여 다음 표현식의 공약수를 추출하십시오.
ax + ay + bx + by
해결책
처음 두 개는 공통 인자 "a"로 그룹화되고 마지막 두 개는 공통 인자 "b"로 그룹화됩니다.
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)
이 작업이 완료되면 (x + y)라는 새로운 공통 요소가 표시됩니다.
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)
그룹화하는 또 다른 방법
이 표현식은 다른 그룹화 방법을 지원합니다. 용어를 재 배열하고 x를 포함하는 그룹과 y를 포함하는 그룹으로 그룹을 구성하면 어떻게되는지 살펴 보겠습니다.
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)
이런 식으로 새로운 공통 인자는 (a + b)입니다.
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)
테스트 된 첫 번째 그룹에서 동일한 결과를 얻습니다.
-연습 2
다음 대수식은 두 요소의 곱으로 작성해야합니다.
3A 3 - (3A) (2) B + 9ab 2 -a 2 + AB-3B 2
해결책
이 표현은 6 개의 용어를 포함합니다. 첫 번째와 네 번째, 두 번째와 세 번째, 마지막으로 다섯 번째와 여섯 번째를 그룹화 해 보겠습니다.
3A 3 - (3A) (2) B + 9ab 2 -a 2 + AB 3B- 2 = (3A 3 -a 2 ) + (- 3A 2 B 9ab + 2 ) + (AB-3B 2 )
이제 각 괄호가 인수 분해됩니다.
= (3a 3 -a 2 ) + (-3a 2 b + 9ab 2 ) + (ab -3b 2 ) = a 2 (3a-1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)
언뜻보기에 상황이 복잡해 보이지만 마지막 용어를 다시 쓸 것이기 때문에 독자는 낙담해서는 안됩니다.
a 2 (3a-1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a 2 (3a-1) + 3ab (3b-a)-b (3b-a)
마지막 두 항은 이제 (3b-a)라는 공통 인자를 가지므로 인수 분해 할 수 있습니다. 첫 번째 용어 a 2 (3a-1) 를 놓치지 않는 것이 매우 중요합니다. a 2 (3a-1)는 작업하지 않더라도 모든 것을 추가로 계속 동반해야합니다.
a 2 (3a-1) + 3ab (3b-a)-b (3b-a) = a 2 (3a-1) + (3b-a) (3ab-b)
이 표현은 두 항으로 축소되었으며 마지막 항목 인 "b"에서 새로운 공통 요소가 발견되었습니다. 이제 남아 있습니다.
a 2 (3a-1) + (3b-a) (3ab-b) = a 2 (3a-1) + b (3b-a) (3a-1)
다음으로 나타날 공통 요소는 3a-1입니다.
a 2 (3a-1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a-1)
또는 대괄호없이 원하는 경우 :
(3a-1) = (3a-1) (a 2 –ab + 3b 2 )
독자가 이와 동일한 결과로 이어지는 다른 그룹화 방법을 찾을 수 있습니까?
그림 2. 제안 된 팩토링 연습. 출처 : F. Zapata.
참고 문헌
- Baldor, A. 1974. 초등 대수. 문화 베네 졸라 나 SA
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- 인수 분해의 주요 사례. 출처 : julioprofe.net.
- UNAM. 기초 수학 : 용어 그룹화에 의한 분해. 회계 및 행정 학부.
- Zill, D. 1984. 대수와 삼각법. 맥그로 힐.