대수 함수는 수학적 관계하는 염기는 A의 대수 (Y)와 동료 각 포지티브 실수 X있다. 이 관계는 함수가되기위한 요구 사항을 충족합니다. 도메인에 속하는 각 요소 x에는 고유 한 이미지가 있습니다.
그러므로:
숫자 x에 기초한 로그는 x를 얻기 위해 밑수 a를 올려야하는 숫자 y이기 때문입니다.
-밑의 로그는 항상 1입니다. 따라서 f (x) = log a x 의 그래프는 항상 점 (1,0)에서 x 축과 교차합니다.
-로그 함수는 초월 적이며 다항식이나 몫으로 표현할 수 없습니다. 로그 외에도이 그룹에는 삼각 함수와 지수 등이 포함됩니다.
예
대수 함수는 다양한 밑으로 설정할 수 있지만 가장 많이 사용되는 것은 10과 e입니다. 여기서 e는 2.71828…과 같은 오일러 수입니다.
밑 수가 10 인 경우 로그를 십진 로그, 일반 로그, Briggs '또는 일반 로그라고합니다.
그리고 숫자 e를 사용하면 대수를 발견 한 스코틀랜드 수학자 John Napier의 이름을 따서 자연 대수라고합니다.
각각에 사용되는 표기법은 다음과 같습니다.
-10 진수 로그 : log 10 x = log x
-네 페리 안 로그 : ln x
다른 밑을 사용하려면 사용할 밑수에 따라 각 숫자의 로그가 다르기 때문에 반드시 첨자로 표시해야합니다. 예를 들어, 밑이 2 인 로그라면 다음과 같이 작성하십시오.
y = 로그 2 x
이 점을 설명하기 위해 세 개의 다른 밑에서 숫자 10의 로그를 살펴 보겠습니다.
로그 10 = 1
ln 10 = 2.30259
로그 2 10 = 3.32193
일반적인 계산기는 십진 로그 (로그 함수)와 자연 로그 (ln 함수) 만 가져옵니다. 인터넷에는 다른 기지가있는 계산기가 있습니다. 어쨌든 독자는 도움을 받아 이전 값이 만족되는지 확인할 수 있습니다.
10 1 = 10
전자 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
소수의 작은 차이는 로그 계산에 사용 된 소수 자릿수 때문입니다.
로그의 장점
로그 사용의 장점 중 하나는 숫자 대신 로그를 직접 사용하여 큰 숫자로 작업 할 수 있다는 것입니다.
그래프에서 볼 수 있듯이 로그 함수는 숫자가 커질수록 더 느리게 증가하기 때문에 가능합니다.
따라서 매우 큰 수의 경우에도 로그는 훨씬 더 작고 작은 수를 조작하는 것이 항상 더 쉽습니다.
또한 로그에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
- 제품 : log (ab) = log a + log b
- 몫 : log (a / b) = log a-log b
- 전력 : log a b = b.log a
이런 식으로 곱과 몫은 더 작은 숫자의 덧셈과 뺄셈이되고, 힘이 높더라도 권한 부여는 단순한 제품이됩니다.
그렇기 때문에 로그를 사용하면 소리의 강도, 용액의 pH, 별의 밝기, 전기 저항 및 리히터 규모의 지진 강도와 같이 매우 넓은 범위의 값에서 다양한 숫자를 표현할 수 있습니다.
그림 2. 지진의 크기를 정량화하기 위해 리히터 척도에서 로그가 사용됩니다. 이미지는 2010 년 지진 당시 칠레 Concepción에서 붕괴 된 건물을 보여줍니다. 출처 : Wikimedia Commons.
로그 속성 처리의 예를 살펴 보겠습니다.
예
다음 식에서 x 값을 찾습니다.
댓글
알 수없는 것이 로그의 인수에 있기 때문에 여기에 로그 방정식이 있습니다. 등식의 각 변에 단일 로그를 남기면 해결됩니다.
먼저 "x"를 포함하는 모든 용어를 등식 왼쪽에 배치하고 숫자 만 포함하는 용어는 오른쪽에 배치합니다.
로그 (5x + 1)-로그 (2x-1) = 1
왼쪽에는 몫의 로그로 쓸 수있는 두 로그의 뺄셈이 있습니다.
로그 = 1
그러나 오른쪽에는 숫자 1이 있는데, 앞에서 본 것처럼 로그 10으로 표현할 수 있습니다. 그래서:
로그 = 로그 10
같음이 참이 되려면 로그의 인수가 같아야합니다.
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x-1)
5x + 1 = 20 x-10
-15 x = -11
x = 11/15
적용 실습 : 리히터 척도
1957 년 멕시코에서 리히터 규모 7.7의 지진이 발생했습니다. 1960 년 칠레에서 9.5의 또 다른 규모의 지진이 발생했습니다.
리히터 규모의 M R 규모가 다음 공식에 의해 주어진다는 것을 알고 칠레의 지진이 멕시코의 지진보다 몇 번 더 강렬했는지 계산 하십시오.
M R = 로그 (10 4 I)
해결책
지진의 리히터 규모의 규모는 로그 함수입니다. 우리는 리히터 규모를 가지고 있기 때문에 각 지진의 강도를 계산할 것입니다. 단계별로 해보겠습니다.
- 멕시코 : 7.7 = log (10 4 I)
로그 함수의 역이 지수이기 때문에, 우리는 로그의 인수에서 발견되는 I를 풀려는 의도로 등식의 양쪽에 이것을 적용합니다.
10 진수 로그이므로 밑은 10입니다. 그런 다음 :
(10) 7.7 = 10 (4) I
멕시코 지진의 강도는 다음과 같습니다.
나는 M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- 칠레 : 9.5 = log (10 4 I)
같은 절차가 칠레 I Ch 지진의 강도로 이어집니다 .
나는 Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
이제 두 강도를 비교할 수 있습니다.
I 채널 / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
나는 Ch = 63.1. 나는 M
칠레의 지진은 멕시코의 지진보다 약 63 배 더 강했습니다. 크기가 로그이기 때문에 강도보다 느리게 증가하므로 크기 차이가 1이면 지진파의 진폭이 10 배 더 크다는 것을 의미합니다.
두 지진의 크기 차이는 1.8이므로 실제로 발생했듯이 강도 차이가 10보다 100에 가까울 것으로 예상 할 수 있습니다.
사실 그 차이가 정확히 2 였다면 칠레 지진은 멕시코 지진보다 100 배 더 강했을 것입니다.
참고 문헌
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. 국립 문학 대학.
- Figuera, J. 2000. 수학 1st. 다각화 된 연도. CO-BO 에디션.
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- Larson, R. 2010. 변수 계산. 9 일. 판. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus : Mathematics for Calculus. 5 일. 판. Cengage 학습.