하이퍼 큐브는 차원 n의 큐브입니다. 4 차원 하이퍼 큐브의 특별한 경우를 tesseract라고합니다. 하이퍼 큐브 또는 n- 큐브는 정점에서 직교하는 길이가 모두 동일한 직선 세그먼트로 구성됩니다.
인간은 폭, 높이, 깊이의 3 차원 공간을인지하지만 차원이 3보다 큰 하이퍼 큐브를 시각화하는 것은 불가능합니다.
그림 1. 0- 큐브는 포인트입니다. 만약 그 포인트가 한 방향으로 연장되면 a 거리가 1- 큐브를 형성하고, 그 1- 큐브가 직교 방향으로 거리 a를 연장한다면 우리는 2- 큐브를 갖게됩니다. 측면 x에서 a), 2- 큐브가 직교 방향으로 거리 a를 확장하면 우리는 3- 큐브를 갖게됩니다. 출처 : F. Zapata.
기껏해야 우리는 그것을 표현하기 위해 큐브를 평면에 투영하는 것과 비슷한 방식으로 그것을 표현하기 위해 3 차원 공간에서 그것을 투영 할 수 있습니다.
차원 0에서 유일한 그림은 점이므로 0 큐브는 점입니다. 1- 큐브는 직선 세그먼트로, 한 방향으로 a 거리만큼 점을 이동하여 형성됩니다.
부분적으로 2- 큐브는 정사각형입니다. 1 큐브 (길이 a의 세그먼트)를 x 방향, 거리 a에 직교하는 y 방향으로 이동하여 구성됩니다.
3 큐브는 일반적인 큐브입니다. 정사각형에서 x 및 y 방향에 직교하는 세 번째 방향 (z)으로 이동하여 a 거리를 만듭니다.
그림 2. 4 큐브 (tesseract)는 3 개의 기존 공간 방향에 대해 직교 방향으로 3 큐브를 확장 한 것입니다. 출처 : F. Zapata.
4-cube는 tesseract로, 우리가 인식 할 수없는 4 차원 (또는 4 방향)을 향해 직각 (거리 a)으로 움직이는 3- 큐브에서 만들어졌습니다.
tesseract에는 모든 직각이 있고 16 개의 꼭지점이 있으며 모든 가장자리 (전체 18 개)의 길이는 a입니다.
n 차원의 n 큐브 또는 하이퍼 큐브의 가장자리 길이가 1이면 가장 긴 대각선이 √n을 측정하는 단위 하이퍼 큐브입니다.
그림 3. n-cube는 다음 차원에서 직각으로 확장되는 (n-1) -cube에서 얻습니다. 출처 : wikimedia commons.
치수는 무엇입니까?
치수는 자유도 또는 객체가 이동할 수있는 가능한 방향입니다.
차원 0에서는 변환 할 가능성이 없으며 가능한 유일한 기하학적 개체는 점입니다.
유클리드 공간의 차원은 X 축이라고하는 해당 차원을 정의하는 방향이 지정된 선 또는 축으로 표시됩니다. 두 점 A와 B 사이의 간격은 유클리드 거리입니다.
d = √.
2 차원에서 공간은 X 축과 Y 축이라고하는 서로 직교하는 두 개의 선으로 표현됩니다.
이 2 차원 공간에서 어떤 점의 위치는 데카르트 좌표 (x, y) 쌍으로 지정되며 두 점 A와 B 사이의 거리는 다음과 같습니다.
d = √
유클리드의 기하학이 완성 된 공간이기 때문입니다.
3 차원 공간
3 차원 공간은 우리가 움직이는 공간입니다. 너비, 높이 및 깊이의 세 가지 방향이 있습니다.
빈 방에서 수직 모서리는 이러한 세 방향을 제공하고 각 방향에 X, Y, Z 축을 연결할 수 있습니다.
이 공간도 유클리드이며 두 점 A와 B 사이의 거리는 다음과 같이 계산됩니다.
d = √
인간은 3 개 이상의 공간 (또는 유클리드) 차원을 인식 할 수 없습니다.
그러나 엄격하게 수학적 관점에서 n 차원 유클리드 공간을 정의하는 것이 가능합니다.
이 공간에서 점은 좌표 (x1, x2, x3,… .., xn)를 가지며 두 점 사이의 거리는 다음과 같습니다.
d = √.
네 번째 차원과 시간
실제로 상대성 이론에서 시간은 하나 이상의 차원으로 취급되고 좌표는 그와 연관됩니다.
그러나 시간과 관련된이 좌표는 허수라는 것을 명확히해야합니다. 따라서 시공간에서 두 지점 또는 사건의 분리는 유클리드가 아니라 Lorentz 메트릭을 따릅니다.
4 차원 하이퍼 큐브 (테서 랙트)는 시공간에 살지 않고 4 차원 유클리드 하이퍼 스페이스에 속합니다.
그림 4. 그림을 앞에서 왼쪽으로, 뒤에서 오른쪽으로, 위에서 아래로 나누는 평면을 중심으로 간단한 회전으로 4 차원 하이퍼 큐브의 3D 투영. 출처 : Wikimedia Commons.
하이퍼 큐브의 좌표
원점을 중심으로하는 n 큐브의 꼭지점 좌표는 다음 식의 가능한 모든 순열을 수행하여 얻습니다.
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
여기서 a는 가장자리의 길이입니다.
- 가장자리 a의 n 입방체의 부피 는 다음과 같습니다 : (a / 2) n (2 n ) = a n .
- 가장 긴 대각선 은 반대쪽 정점 사이의 거리입니다.
-다음은 정사각형의 반대 정점입니다 : (-1, -1) 및 (+1, +1).
-그리고 큐브에서 : (-1, -1, -1) 및 (+1, +1, +1).
년 - 긴 대각선 의 n-큐브 조치 :
d = √ = √ = 2√n
이 경우 측면은 a = 2로 가정되었습니다. n 큐브의 경우 다음과 같습니다.
d = a√n.
-tesseract에는 4 개의 가장자리에 연결된 16 개의 정점이 있습니다. 다음 그림은 tesseract에서 정점이 연결되는 방식을 보여줍니다.
그림 5. 4 차원 하이퍼 큐브의 16 개 꼭지점과 연결 방식이 표시됩니다. 출처 : Wikimedia Commons.
하이퍼 큐브의 전개
예를 들어 다면체와 같은 규칙적인 기하학적 도형은 더 작은 차원의 여러 도형으로 펼쳐질 수 있습니다.
2 큐브 (정사각형)의 경우 4 개의 세그먼트, 즉 4 개의 1 큐브로 나눌 수 있습니다.
유사하게 3 큐브를 6 개의 2 큐브로 펼칠 수 있습니다.
그림 6. n-cube는 여러 개의 (n-1) -cube로 펼칠 수 있습니다. 출처 : Wikimedia Commons.
4 큐브 (테서 랙트)는 8 개의 3 큐브로 펼칠 수 있습니다.
다음 애니메이션은 tesseract의 전개를 보여줍니다.
그림 7. 4 차원 하이퍼 큐브는 8 개의 3 차원 큐브로 펼칠 수 있습니다. 출처 : Wikimedia Commons.
그림 8. 2 개의 직교 평면을 중심으로 이중 회전을 수행하는 4 차원 하이퍼 큐브의 3 차원 투영. 출처 : Wikimedia Commons.
참고 문헌
- 과학 문화. 4 차원을 시각화하는 하이퍼 큐브. 출처 : culturacientifica.com
- 엡실론. 4 차원 하이퍼 큐브 또는 테서 랙트. 출처 : epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. 하이퍼 큐브 (4D)의 개발에서 tesseract를 얻는 방법. 출처 : researchgate.net
- 위키 북. 수학, 다면체, 하이퍼 큐브. 출처 : es.wikibooks.org
- Wikipedia. 하이퍼 큐브. 출처 : en.wikipedia.com
- Wikipedia. 테서 랙트. 출처 : en.wikipedia.com