선형 보간은 일반적 뉴턴 보간 주어진 두 숫자 사이 미지 값을 결정하는 근사를 발신하는 방법이다; 즉, 중간 값이 발견됩니다. 또한 f (a) 및 f (b) 값 이 알려져 있고 f (x) 의 중간 값을 알고 싶은 근사 함수에도 적용됩니다 .
선형, 2 차, 3 차 및 더 높은 각도와 같은 다양한 유형의 보간이 있으며, 가장 간단한 것은 선형 근사입니다. 선형 보간으로 지불해야하는 대가는 결과가 더 높은 수준의 함수를 사용하는 근사치만큼 정확하지 않다는 것입니다.
정의
선형 보간은 테이블 또는 선 그래프에있을 수있는 두 개의 잘 정의 된 값 사이의 값을 추론 할 수있는 프로세스입니다.
예를 들어, 우유 3 리터가 $ 4의 가치가 있고 5 리터가 $ 7의 가치가 있다는 것을 알고 있지만 우유 4 리터의 가치가 무엇인지 알고 싶다면 중간 값을 결정하기 위해 보간합니다.
방법
함수의 중간 값을 추정하기 위해 함수 f (x) 는 라인 r (x) 을 통해 근사화 됩니다. 즉 , 함수가«x = a»및«x = 섹션에 대해«x»에 따라 선형 적으로 변함을 의미합니다. b "; 즉, 간격 (x 0 , x 1 ) 및 (y 0 , y 1 )의 값 "x"에 대해 "y"값은 점 사이의 선으로 지정되며 다음 관계로 표현됩니다.
(y-y 0 ) ÷ (x-x 0 ) = (y 1 -y 0 ) ÷ (x 1 -x 0 )
보간이 선형이 되려면 보간 다항식이 1 차 (n = 1) 여야하므로 x 0 및 x 1 의 값에 맞습니다 .
선형 보간은 삼각형의 유사성을 기반으로하며, 이전 표현식에서 기하학적으로 파생되어 "x"에 대해 알려지지 않은 값을 나타내는 "y"값을 얻을 수 있습니다.
이렇게하면 다음을 수행해야합니다.
a = tan Ɵ = (반대 다리 1 ÷ 인접 다리 1 ) = (반대 다리 2 ÷ 인접 다리 2 )
다른 방식으로 표현하면 다음과 같습니다.
(y-y 0 ) ÷ (x-x 0 ) = (y 1 -y 0 ) ÷ (x 1 -x 0 )
표현식에서«and»를 풀면 다음과 같습니다.
(y-y 0 ) * (x 1 -x 0 ) = (x-x 0 ) * (y 1 -y 0 )
(y-y 0 ) = (y 1 -y 0 ) *
따라서 선형 보간에 대한 일반 방정식을 얻습니다.
y = y 0 + (y 1 -y 0 ) *
일반적으로 선형 보간은 실제 함수의 실제 값에 약간의 오류를 제공하지만, 찾고자하는 숫자에 가까운 숫자를 직관적으로 선택하는 경우에 비해 오류가 최소화됩니다.
이 오류는 직선으로 곡선의 값을 근사하려고 할 때 발생합니다. 이러한 경우 근사치를 더 정확하게 만들기 위해 간격의 크기를 줄여야합니다.
근사에 대한 더 나은 결과를 얻으려면 2 차, 3 차 또는 더 높은 차수의 함수를 사용하여 보간을 수행하는 것이 좋습니다. 이러한 경우에 Taylor 정리는 매우 유용한 도구입니다.
해결 된 운동
연습 1
x 시간 후 배양에 존재하는 단위 부피당 박테리아 수는 다음 표에 나와 있습니다. 3.5 시간 동안 박테리아의 양이 얼마인지 알고 싶습니다.
해결책
참고 표는 3.5 시간 동안 세균의 양을 나타내는 값을 설정하지 않지만, 각각 3 시간과 4 시간에 해당하는 상한값과 하한값이 있습니다. 그런 식으로:
x 0 = 3 및 0 = 91
x = 3.5 y =?
x 1 = 4 및 1 = 135
이제 다음과 같은 보간 된 값을 찾기 위해 수학 방정식이 적용됩니다.
y = y 0 + (y 1 -y 0 ) * .
그런 다음 해당 값이 대체됩니다.
y = 91 + (135-91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0.5
y = 113.
따라서 3.5 시간 동안 박테리아의 수는 113 개로, 3 시간에서 4 시간 동안 존재하는 박테리아의 부피 사이의 중간 수준을 나타냅니다.
연습 2
Luis는 아이스크림 공장을 운영하고 있으며 지출 한 비용을 바탕으로 8 월에 벌어 들인 수입을 결정하기 위해 연구를하고 싶습니다. 회사의 관리자는이 관계를 나타내는 그래프를 만들지 만 Luis는 다음을 알고 싶어합니다.
$ 55,000의 비용이 발생한 경우 8 월의 소득은 얼마입니까?
해결책
수입과 지출의 가치와 함께 그래프가 제공됩니다. Luis는 공장의 비용이 $ 55,000 인 경우 8 월 수입이 얼마인지 알고 싶어합니다. 이 값은 그래프에 직접 반영되지 않지만 값은 이보다 높고 낮습니다.
먼저 값을 쉽게 연결할 수있는 테이블이 만들어집니다.
이제 보간 공식을 사용하여 y의 값을 결정합니다.
y = y 0 + (y 1 -y 0 ) *
그런 다음 해당 값이 대체됩니다.
y = 56,000 + (78,000-56,000) *
y = 56,000 + (22,000) *
y = 56,000 + (22,000) * (0.588)
y = 56,000 + 12,936
y = 68,936 달러.
8 월에 $ 55,000의 비용이 발생했다면 소득은 $ 68,936입니다.
참고 문헌
- Arthur Goodman, LH (1996). 분석 기하학을 사용한 대수 및 삼각법. 피어슨 교육.
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