부울 대수 : 역사, 정리 및 가정, 예 - 수학 - 2026

부울 대수 또는 부울 대수는 이진 변수의 치료에 사용 대수 표기법입니다. 2 가지 가능한 결과 (보완 적이며 상호 배타적) 만있는 모든 변수에 대한 연구를 다룹니다. 예를 들어, 유일한 가능성이 참 또는 거짓, 정확하거나 부정확, 켜짐 또는 꺼짐 인 변수는 부울 대수 연구의 기초가됩니다.

부울 대수는 디지털 전자 공학의 기초를 구성하며 오늘날 매우 존재합니다. 그것은 전통적인 대수학에서 알려진 연산이 현저하게 영향을받는 논리 게이트의 개념에 의해 관리됩니다.

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역사

부울 대수는 1854 년 당시 독학 학자였던 영국 수학자 George Boole (1815-1864)에 의해 도입되었습니다. 그의 우려는이 논리 시스템을 정의하는 매개 변수에 대한 Augustus De Morgan과 William Hamilton 간의 기존 분쟁에서 비롯되었습니다.

George Boole은 논리 분야에서 숫자 값 0과 1의 정의가 각각 Nothing과 Universe 해석에 해당한다고 주장했습니다.

George Boole의 의도는 대수의 속성을 통해 이진 유형의 변수를 처리하는 데 필요한 명제 논리의 표현을 정의하는 것이 었습니다.

1854 년에 부울 대수의 가장 중요한 부분이 "논리와 확률의 수학적 이론의 기반이되는 사고의 법칙에 대한 조사"라는 책에 실 렸습니다.

이 호기심 많은 제목은 나중에 "사고의 법칙"( "사고의 법칙")으로 요약됩니다. 이 제목은 당시 수학적 커뮤니티로부터 즉각적인 관심을 받았기 때문에 명성을 얻었습니다.

1948 년 Claude Shannon은이를 쌍 안정 전기 스위칭 회로 설계에 적용했습니다. 이는 전체 전자-디지털 체계 내에서 부울 대수를 적용하는 방법을 소개하는 역할을했습니다.

구조

이 유형의 대수에서 기본 값은 0과 1이며 각각 FALSE와 TRUE에 해당합니다. 부울 대수의 기본 연산은 다음과 같습니다.

-AND 연산 또는 접속. 마침표 (.)로 표시됩니다. 제품의 동의어입니다.

-또는 작동 또는 분리. 십자 (+)로 표시됩니다. 합계의 동의어입니다.

-작동 또는 부정이 아닙니다. 접두사 NOT (NOT A)으로 표시됩니다. 보완이라고도합니다.

집합에서 내부 구성의 A 2 법칙이 곱과 합 (. +)으로 표시되면 트리플 (A. +)은 해당 트리플이 격자가되는 조건을 충족하는 경우에만 부울 대수라고합니다. 분배.

분배 격자를 정의하려면 주어진 연산 사이에 분배 조건이 충족되어야합니다.

. 합계 + a에 대해 분배됩니다 . (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ 는 제품과 관련하여 배포됩니다. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

집합 A를 구성하는 요소는 이진이어야하므로 유니버스 또는 무효 값이 있어야합니다.

응용

주요 애플리케이션 시나리오는 관련된 논리 연산을 구성하는 회로를 구성하는 역할을하는 디지털 분기입니다. 프로세스 최적화에 유리한 회로 단순성의 기술은 부울 대수의 올바른 적용과 실행의 결과입니다.

전기 패널의 정교함에서 데이터 전송을 거쳐 다른 언어로 프로그래밍 할 때까지 모든 종류의 디지털 응용 프로그램에서 부울 대수를 자주 찾을 수 있습니다.

부울 변수는 프로그래밍 구조에서 매우 일반적입니다. 사용되는 프로그래밍 언어에 따라 이러한 변수를 사용하는 코드에 구조적 작업이 있습니다. 각 언어의 조건 및 인수는 프로세스를 정의하는 부울 변수를 허용합니다.

가정

부울 대수의 구조적 논리 법칙을 지배하는 정리가 있습니다. 같은 방식으로 수행되는 작업에 따라 다른 이진 변수 조합에서 가능한 결과를 아는 가정이 있습니다.

합계 (+)

논리 요소가 합집합 (U) 인 OR 연산자 는 다음과 같이 이진 변수에 대해 정의됩니다.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

제품 (.)

논리 요소가 교차 (∩) 인 AND 연산자 는 다음과 같이 이진 변수에 대해 정의됩니다.

0. 0 = 0

0. 1 = 0

하나. 0 = 0

하나. 1 = 1

반대 (NOT)

논리 요소가 보수 (X) '인 NOT 연산자 는 다음과 같이 이진 변수에 대해 정의됩니다.

아님 0 = 1

아님 1 = 0

대부분의 가정은 기존 대수에서 대응하는 것과 다릅니다. 이것은 변수의 도메인 때문입니다. 예를 들어 부울 대수 (1 + 1)에서 유니버스 요소를 추가하면 이진 집합의 요소에 속하지 않기 때문에 기존 결과 2를 얻을 수 없습니다.

정리

제로와 통일의 법칙

이진 변수가있는 요소를 포함하는 모든 간단한 작업은 다음과 같이 정의됩니다.

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

하나. A = A

동등한 힘 또는 멱 등성

동일한 변수 간의 연산은 다음과 같이 정의됩니다.

A + A = A

에. A = A

보완

변수와 그 보수 사이의 모든 연산은 다음과 같이 정의됩니다.

A + 아님 A = 1

에. 아님 A = 0

Involution 또는 이중 부정

이중 부정은 자연 변수로 간주됩니다.

NOT (아님) = A

교환

A + B = B + A; 합계의 교환 성.

에. B = B. TO; 제품의 교환 성.

연관

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; 합계의 연관성.

에. (B. C) = (A. B). C = A. 비. 씨; 제품 연관성.

분배

A + (B. C) = (A + B). (A + C); 제품에 대한 합계의 분포.

에. (B + C) = (A. B) + (A + C); 합계에 대한 제품의 분포.

흡수 법칙

여러 참조 간에는 많은 흡수 법칙이 있으며 가장 잘 알려진 일부는 다음과 같습니다.

에. (A + B) = A

에. (A + B 아님) = A. 비

NOT A (A + B) = NOT A. 비

(A + B). (A + B 아님) = A

A + A. B = A

A + 아님 A. B = A + B

A + A가 아닙니다. B = 아님 A + B

에. B + A. 아님 B = A

모건의 정리

그것들은 부울 대수 (+.)의 정의 된 연산 사이에서 상호 작용하는 변수 쌍을 처리하는 변환 법칙입니다.

NOT (A. B) = NOT A + NOT B

아님 (A + B) = 아님 A. B 아님

A + B = 아님 (아님 A + 아님 B)

에. B = 아님 (A 아님. B 아님)

이중성

모든 가정과 정리는 이중성의 기능을 가지고 있습니다. 이것은 변수와 연산을 교환함으로써 결과 명제가 검증된다는 것을 의미합니다. 즉, 0을 1로, AND를 OR로 또는 그 반대로 교환 할 때; 완전히 유효한 표현식이 생성됩니다.

예를 들어 가정이 취해진 경우

하나. 0 = 0

그리고 이중성이 적용됩니다

0 + 1 = 1

또 다른 완벽하게 유효한 가정이 얻어집니다.

Karnaugh지도

Karnaugh 맵은 논리 함수를 단순화하기 위해 부울 대수에서 사용되는 다이어그램입니다. 명제 논리의 진리표와 유사한 2 차원 배열로 구성됩니다. 진리표의 데이터는 Karnaugh지도에서 직접 캡처 할 수 있습니다.

Karnaugh 맵은 최대 6 개의 변수 프로세스를 수용 할 수 있습니다. 변수 수가 많은 함수의 경우 프로세스를 단순화하기 위해 소프트웨어를 사용하는 것이 좋습니다.

1953 년 Maurice Karnaugh가 제안한이 도구는 인간의 잠재력과 디지털 프로세스의 유동성의 핵심 요소 인 부울 표현을 단순화 할 필요성을 동기화하기 때문에 부울 대수 분야에서 고정 된 도구로 확립되었습니다.

예

부울 대수는 회로의 논리 게이트를 줄이는 데 사용되며, 우선 순위는 회로의 복잡성 또는 수준을 가능한 가장 낮은 표현으로 가져 오는 것입니다. 이것은 각 게이트가 가정하는 계산 지연 때문입니다.

다음 예에서는 부울 대수의 정리와 가정을 사용하여 논리 표현식을 최소 표현식으로 단순화하는 것을 관찰합니다.

NOT (AB + A + B). 아님 (A + 아님 B)

아니. 아님 (A + 아님 B); 공약수로 A 인수 분해하기.

아니. 아님 (A + 아님 B); 정리 A + 1 = 1로.

아님 (A + B). 아님 (A + 아님 B); 정리 A. 1 = A

(A가 아니라 B가 아닙니다). ;

모건의 정리 NOT (A + B) = NOT A. B 아님

(A가 아니라 B가 아닙니다). (A. B 아님); 이중 부정 정리 NOT (NOT A) = A

A가 아닙니다. B가 아닙니다. A가 아닙니다. 비; 대수적 그룹화.

A가 아닙니다. A가 아닙니다. B가 아닙니다. 비; 제품 A의 교환 성. B = B. 에

A가 아닙니다. B가 아닙니다. 비; 정리 A. A = A

A가 아닙니다. 0; 정리 A. 아님 A = 0

0; 정리 A. 0 = 0

에. 비. C + 아님 A + A. B가 아닙니다. 씨

에. 씨. (B + NOT B) + NOT A; 공약수로 분해 (A. C).

에. 씨. (1) + 아님 A; 정리 A + NOT A = 1

에. C + NOT A; 제로 정리와 통일의 법칙 A = A

NOT A + C ; Morgan A + NOT A의 법률에 따라. B = A + B

이 솔루션의 경우 Morgan의 법칙을 확장하여 다음을 정의해야합니다.

아님 (아님). C + 아님 A = 아님 A + C

왜냐하면 NOT (NOT A) = A by involution.

논리 기능 단순화

A가 아닙니다. B가 아닙니다. 아님 C + 아님 A. B가 아닙니다. C + A가 아닙니다. 최소한의 표현까지 NOT C

A가 아닙니다. B가 아닙니다. (C + C 아님) + 아님 A. C가 아닙니다. 공약수로 팩토링 (NOT A. NOT B)

A가 아닙니다. B가 아닙니다. (1) + 아님 A. C가 아닙니다. 정리 A + NOT A = 1

(아님 A. 아님 B) + (아님 A. 아님 C); 제로 정리와 통일의 법칙 A = A

NOT A (NOT B + NOT C); 공약수로 NOT A 인수 분해하기

A가 아닙니다. NOT (B.C); 모건 법률에 의해 NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT 모건의 법칙으로 NOT (A. B는) NOT A + NOT B를 =

굵게 표시된 4 가지 옵션 중 하나는 회로 수준을 낮추는 가능한 솔루션을 나타냅니다.

논리 함수를 가장 단순한 형태로 단순화

(A. NOT B. C + A. NOT B. B. D + NOT A. NOT B). 씨

(A. NOT B. C + A. 0. D + NOT A. NOT B). 씨; 정리 A. 아님 A = 0

(A. NOT B. C + 0 + NOT A. NOT B). 씨; 정리 A. 0 = 0

(A. NOT B. C + NOT A. NOT B). 씨; 정리 A + 0 = A

에. B가 아닙니다. 씨. C + A가 아닙니다. B가 아닙니다. 씨; 합계에 대한 제품의 분포

에. B가 아닙니다. C + A가 아닙니다. B가 아닙니다. 씨; 정리 A. A = A

B가 아닙니다. C (A + NOT A) ; 공약수로 분해 (B. C 아님)

B가 아닙니다. C (1); 정리 A + NOT A = 1

B가 아닙니다. 씨; 제로 정리와 통일의 법칙 A = A

참고 문헌

1. 부울 대수 및 그 응용 J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980 년.
2. 컴퓨터 과학의 수학과 공학. Christopher J. Van Wyk. 컴퓨터 과학 및 기술 연구소. National Bureau of Standards. 워싱턴 DC 20234
3. 컴퓨터 과학을위한 수학. 에릭 리먼. Google Inc.
   F Thomson Leighton 매사추세츠 공과 대학의 수학과 컴퓨터 과학 및 AI 연구소; Akamai Technologies.
4. 추상 분석의 요소. Mícheál O'Searcoid PhD. 수학학과. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5. 논리 및 연역 과학의 방법론 소개. 알프레드 타르 스키, 뉴욕 옥스포드. 옥스포드 대학 출판부.