벡터 대수 : 기본, 크기, 벡터 - 수학

벡터 대수 수학 분기되는 선형 방정식, 벡터, 행렬, 벡터 공간과 선형 변형의 연구 시스템. 공학, 미분 방정식 풀기, 기능 분석, 운영 연구, 컴퓨터 그래픽 등과 같은 영역과 관련이 있습니다.

선형 대수가 채택한 또 다른 영역은 물리학입니다.이를 통해 물리 현상에 대한 연구를 개발하고 벡터를 사용하여 설명 할 수 있었기 때문입니다. 이것은 우주에 대한 더 나은 이해를 가능하게했습니다.

기초

벡터 대수는 쿼터니언 (실수의 확장) 1, i, j 및 k에 대한 연구와 Gibbs와 Heaviside가 추진 한 데카르트 기하학에서 비롯되었습니다. 다양한 물리적 현상을 나타냅니다.

벡터 대수는 다음 세 가지 기본 사항을 통해 연구됩니다.

기하학적으로

벡터는 방향이있는 선으로 표현되며, 더하기, 빼기, 실수 곱하기 등의 연산은 기하학적 방법을 통해 정의됩니다.

분석적으로

벡터와 그 연산에 대한 설명은 구성 요소라고하는 숫자로 수행됩니다. 이러한 유형의 설명은 좌표계가 사용되기 때문에 기하학적 표현의 결과입니다.

공리적으로

좌표계 또는 모든 유형의 기하학적 표현에 관계없이 벡터에 대한 설명이 작성됩니다.

공간의 그림에 대한 연구는 하나 이상의 차원이 될 수있는 참조 시스템에서의 표현을 통해 수행됩니다. 주요 시스템은 다음과 같습니다.

-한 점 (O)이 원점을 나타내고 다른 점 (P)이 축척 (길이)과 방향을 결정하는 직선 인 일차원 시스템 :

-점 (O) 원점을 통과하는 x 축과 y 축이라고하는 두 개의 수직선으로 구성된 직사각형 좌표계 (2 차원) 이런 식으로 평면은 사분면이라고하는 4 개의 영역으로 나뉩니다. 이 경우 평면의 점 (P)은 축과 P 사이에 존재하는 거리로 지정됩니다.

-극 좌표계 (2 차원). 이 경우 시스템은 극이라고하는 점 O (원점)와 극축이라고하는 O의 원점을 가진 광선으로 구성됩니다. 이 경우 극점과 극축을 기준으로하는 평면의 점 P는 원점과 점 P 사이에 존재하는 거리에 의해 형성되는 각도 (Ɵ)로 지정됩니다.

-원점이 공간에서 점 O 인 3 개의 수직선 (x, y, z)으로 구성된 직사각형 3 차원 시스템. 세 개의 좌표 평면이 형성됩니다 : xy, xz 및 yz; 공간은 8 분원이라고하는 8 개의 영역으로 나뉩니다. 공간에서 점 P의 참조는 평면과 P 사이에 존재하는 거리에 의해 제공됩니다.

크기

크기는 어떤 물리적 현상의 경우와 같이 숫자 값을 통해 계산하거나 측정 할 수있는 물리적 양입니다. 그러나 이러한 현상을 수치 이외의 요인으로 설명 할 수 있어야하는 경우가 많습니다. 이것이 크기가 두 가지 유형으로 분류되는 이유입니다.

스칼라 크기

그것들은 수치로 정의되고 표현되는 양입니다. 즉, 측정 단위와 함께 모듈별로. 예를 들면 :

a) 시간 : 5 초.

b) 질량 : 10kg.

c) 부피 : 40ml.

d) 온도 : 40ºC.

벡터 크기

그것들은 감각과 방향뿐만 아니라 단위와 함께 모듈로 정의되고 표현되는 양입니다. 예를 들면 :

a) 속도 : (5ȋ-3ĵ) m / s.

b) 가속도 : 13 m / s ² ; S 45º E.

c) 힘 : 280 N, 120º.

d) 무게 : -40 ĵ kg-f.

벡터 수량은 벡터로 그래픽으로 표시됩니다.

벡터 란 무엇입니까?

벡터는 벡터 수량의 그래픽 표현입니다. 즉, 마지막 끝이 화살표 끝인 선분입니다.

이들은 모듈 또는 세그먼트의 길이, 화살표 끝으로 표시되는 방향 및 속한 선에 따라 방향으로 결정됩니다. 벡터의 원점은 적용 지점이라고도합니다.

벡터의 요소는 다음과 같습니다.

기준 치수

원점에서 벡터 끝까지의 거리이며 단위와 함께 실수로 표시됩니다. 예를 들면 :

-OM- = -A- = A = 6cm

주소

x 축 (양수에서)과 벡터 사이에 존재하는 각도의 측정 값이며 기본 점 (북쪽, 남쪽, 동쪽 및 서쪽)이 사용됩니다.

감각

벡터의 끝에있는 화살촉으로 주어지며, 어디로 가는지 나타냅니다.

벡터 분류

일반적으로 벡터는 다음과 같이 분류됩니다.

고정 벡터

신청 지점 (원산지)이 고정 된 사람입니다. 즉, 공간의 한 지점에 연결되어 있으므로 이동할 수 없습니다.

무료 벡터

원점이 모듈, 방향 또는 방향을 변경하지 않고 어느 지점 으로든 이동하기 때문에 공간에서 자유롭게 이동할 수 있습니다.

슬라이더 벡터

모듈, 방향 또는 방향을 변경하지 않고 행동 라인을 따라 원점을 전송할 수 있습니다.

벡터의 속성

벡터의 주요 속성은 다음과 같습니다.

벡터 팀 렌즈

그것들은 동일한 모듈, 방향 (또는 평행)을 가지며 슬라이딩 벡터 또는 고정 벡터로 감지되는 자유 벡터입니다.

등가 벡터

두 벡터가 동일한 방향 (또는 평행), 동일한 의미를 가지며 모듈과 적용 지점이 다르더라도 동일한 효과를 유발할 때 발생합니다.

벡터 평등

이들은 시작점이 다르더라도 동일한 모듈, 방향 및 감각을 가지고있어 병렬 벡터가 영향을주지 않고 스스로 변환 할 수 있습니다.

반대 벡터

그들은 같은 모듈과 방향을 가지고 있지만 그 의미는 반대입니다.

단위 벡터

모듈이 단위 (1)와 동일한 것입니다. 이것은 벡터를 모듈로 나눈 값이며 다음과 같은 기본 또는 정규화 된 단위 벡터를 사용하여 평면 또는 공간에서 벡터의 방향과 감각을 결정하는 데 사용됩니다.

널 벡터

계수가 0 인 것입니다. 즉, 원점과 끝이 같은 지점에서 일치합니다.

벡터의 구성 요소

벡터의 구성 요소는 참조 시스템의 축에 대한 벡터 투영 값입니다. 2 차원 또는 3 차원 축에있을 수있는 벡터의 분해에 따라 각각 2 개 또는 3 개의 구성 요소가 얻어집니다.

벡터의 구성 요소는 실수이며 양수, 음수 또는 0 일 수 있습니다.

따라서 xy 평면 (2 차원)의 직각 좌표계에서 원점이있는 벡터 Â가있는 경우 x 축의 투영은 Âx이고 y 축의 투영은 Ây입니다. 따라서 벡터는 구성 요소 벡터의 합으로 표현됩니다.

예

첫 번째 예

원점에서 시작하는 벡터 Â가 있고 그 끝의 좌표가 주어집니다. 따라서 벡터 Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

벡터 Â가 3 차원 삼각 좌표계 (공간에서) x, y, z의 원점에서 다른 점 (P)까지 작용하는 경우 축의 투영은 Āx, Āy 및 Āz가됩니다. 따라서 벡터는 세 가지 구성 요소 벡터의 합으로 표현됩니다.

두 번째 예

원점에서 시작하는 벡터 Â가 있고 그 끝의 좌표가 주어집니다. 따라서 벡터 Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

직각 좌표를 가진 벡터는 기본 벡터로 표현할 수 있습니다. 이를 위해 각 좌표는 평면과 공간에 대해 다음과 같은 방식으로 해당 단위 벡터로만 곱해 져야합니다.

비행기의 경우 : Ā = A _x i + A _y j.

공간 : Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

벡터 연산

가속도, 속도, 변위, 힘 등과 같이 모듈, 감각 및 방향을 갖는 많은 양이 있습니다.

이들은 다양한 과학 분야에 적용되며,이를 적용하기 위해서는 벡터와 스칼라의 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기와 같은 연산을 수행해야하는 경우가 있습니다.

벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터의 덧셈과 뺄셈은 뺄셈을 합으로 쓸 수 있기 때문에 단일 대수 연산으로 간주됩니다. 예를 들어, 벡터 Ā 및 Ē의 빼기는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

Ā-Ē = Ā + (-Ē)

벡터의 덧셈과 뺄셈을 수행하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그래픽 또는 분석 방법 일 수 있습니다.

그래픽 방식

벡터에 모듈, 방향 및 방향이있을 때 사용됩니다. 이를 위해 나중에 결과를 결정하는 데 도움이되는 그림을 형성하는 선이 그려집니다. 가장 잘 알려진 것은 다음과 같습니다.

평행 사변형 방법

두 벡터를 더하거나 빼기 위해 좌표축에서 공통점을 선택합니다.이 점은 벡터의 원점을 나타내며 모듈, 방향 및 방향을 유지합니다.

그런 다음 벡터에 평행하게 선을 그려 평행 사변형을 형성합니다. 결과 벡터는 두 벡터의 원점에서 평행 사변형의 꼭지점까지 이어지는 대각선입니다.

삼각형 방법

이 방법에서 벡터는 모듈, 방향 및 방향을 유지하면서 차례로 배치됩니다. 결과 벡터는 첫 번째 벡터의 원점과 두 번째 벡터의 끝의 합집합이됩니다.

분석 방법

기하학적 또는 벡터 방법을 통해 두 개 이상의 벡터를 더하거나 뺄 수 있습니다.

기하학적 방법

두 벡터가 삼각형 또는 평행 사변형을 형성하면 m) .push ({});

-스칼라 분포 속성 : 벡터에 두 스칼라의 합을 곱하면 각 스칼라에 대한 벡터의 곱과 같습니다.

벡터의 곱셈

벡터의 곱셈 또는 곱은 덧셈 또는 뺄셈으로 수행 할 수 있지만 그렇게하면 물리적 의미를 잃고 응용 프로그램에서 거의 찾을 수 없습니다. 이러한 이유로 가장 일반적으로 사용되는 제품 유형은 스칼라 및 벡터 제품입니다.

스칼라 곱

두 벡터의 내적이라고도합니다. 두 벡터의 모듈에 두 벡터 사이에 형성된 가장 작은 각도의 코사인을 곱하면 스칼라가 얻어집니다. 두 벡터 사이에 스칼라 곱을 표현하기 위해 두 벡터 사이에 점이 배치되며 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

두 벡터 사이에 존재하는 각도의 값은 평행인지 수직인지에 따라 달라집니다. 따라서 다음을 수행해야합니다.

-벡터가 평행하고 같은 의미를 갖는 경우 코사인 0º = 1입니다.

-벡터가 평행하고 방향이 반대이면 코사인 180º = -1입니다.

-벡터가 수직이면 코사인 90º = 0입니다.

그 각도는 다음을 알고 계산할 수도 있습니다.

내적에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

-교환 속성 : 벡터의 순서는 스칼라를 변경하지 않습니다.

-분산 속성 : 스칼라에 두 벡터의 합을 곱하면 각 벡터에 대한 스칼라의 곱과 같습니다.

벡터 제품

벡터 곱셈 또는 두 벡터 A와 B의 외적은 새로운 벡터 C를 생성하고 벡터 간의 교차를 사용하여 표현됩니다.

새 벡터에는 고유 한 특성이 있습니다. 그런 식으로:

-방향 :이 새로운 벡터는 원래 벡터에 의해 결정되는 평면에 수직입니다.

-방향 : 오른손의 법칙에 따라 결정되며, 벡터 A는 B 방향으로 회전하여 손가락으로 회전 방향을 나타내며 벡터의 방향은 엄지로 표시됩니다.

-모듈 : 벡터 AxB의 모듈을이 벡터 사이에 존재하는 가장 작은 각도의 사인으로 곱하여 결정됩니다. 다음과 같이 표현됩니다.

두 벡터 사이에 존재하는 각도의 값은 평행인지 수직인지에 따라 달라집니다. 따라서 다음을 진술 할 수 있습니다.

-벡터가 평행하고 감각이 같으면 사인 0º = 0입니다.

-벡터가 평행하고 방향이 반대이면 사인 180º = 0입니다.

-벡터가 수직이면 사인 90º = 1입니다.

벡터 곱을 기본 벡터로 표현하면 다음과 같습니다.