통계 의 상관 계수 는 두 양적 변수 X와 Y가 선형 또는 비례 관계를 갖는 경향을 측정하는 지표입니다.
일반적으로 변수 X와 Y의 쌍은 동일한 모집단의 두 가지 특성입니다. 예를 들어 X는 사람의 키이고 Y는 사람의 몸무게 일 수 있습니다.
그림 1. 4 개의 데이터 쌍 (X, Y)에 대한 상관 계수. 출처 : F. Zapata.
이 경우 상관 계수는 주어진 인구에서 키와 몸무게 사이의 비례 관계에 대한 추세가 있는지 여부를 나타냅니다.
Pearson의 선형 상관 계수는 소문자 r로 표시되며 최소값과 최대 값은 각각 -1과 +1입니다.
값 r = +1은 쌍 세트 (X, Y)가 완벽하게 정렬되어 있고 X가 성장할 때 Y가 동일한 비율로 성장함을 나타냅니다. 반면에 r = -1이 발생하면 쌍 집합도 완벽하게 정렬되지만이 경우 X가 증가하면 Y가 같은 비율로 감소합니다.
그림 2. 선형 상관 계수의 다른 값. 출처 : Wikimedia Commons.
반면에 r = 0 값은 변수 X와 Y 사이에 선형 상관이 없음을 나타냅니다. r = +0.8 값은 쌍 (X, Y)이 한쪽에 군집하는 경향이 있음을 나타냅니다. 특정 라인의 또 다른.
상관 계수 r을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
상관 계수를 계산하는 방법은 무엇입니까?
선형 상관 계수는 공학용 계산기, 대부분의 스프레드 시트 및 통계 프로그램에 내장 된 통계량입니다.
그러나 그것을 정의하는 공식이 어떻게 적용되는지 아는 것이 편리하며,이를 위해 작은 데이터 세트에서 수행되는 상세한 계산이 표시됩니다.
이전 섹션에서 언급했듯이 상관 계수는 변수 X에 대한 표준 편차 Sx와 변수 Y에 대한 Sy의 곱으로 나눈 공분산 Sxy입니다.
공분산 및 분산
공분산 Sxy는 다음과 같습니다.
Sxy = / (N-1)
합계가 1에서 N 쌍의 데이터 (Xi, Yi)로 이동합니다.
해당 부분의 경우 변수 X의 표준 편차는 i가 1에서 N까지 인 데이터 세트 Xi 분산의 제곱근입니다.
Sx = √
마찬가지로 변수 Y에 대한 표준 편차는 i가 1에서 N까지 인 데이터 세트 Yi 분산의 제곱근입니다.
Sy = √
예시 사례
상관 계수를 계산하는 방법을 자세히 보여주기 위해 다음 4 쌍의 데이터 세트를 사용합니다.
(X, Y) : {(1, 1); (2. 3); (3, 6) 및 (4, 7)}.
먼저 다음과 같이 X와 Y에 대한 산술 평균을 계산합니다.
그런 다음 나머지 매개 변수가 계산됩니다.
공분산 Sxy
Sxy = / (4-1)
Sxy = / (3) = 10.5 / 3 = 3.5
표준 편차 Sx
Sx = √ = √ = 1.29
표준 편차 Sy
Sx = √ =
√ = 2.75
상관 계수 r
r = 3.5 / (1.29 * 2.75) = 0.98
해석
이전 사례의 데이터 세트에서 변수 X와 Y 사이에 강한 선형 상관이 관찰되었으며, 이는 산점도 (그림 1 참조)와 상관 계수에서 모두 나타납니다. 단결에 아주 가까운 가치.
상관 계수가 1 또는 -1에 가까울수록 선형 회귀의 결과 인 선에 데이터를 맞추는 것이 더 합리적입니다.
선형 회귀
선형 회귀선은 최소 제곱 법에서 얻습니다. 회귀선의 매개 변수는 추정 된 Y 값과 N 데이터의 Yi 간의 차이 제곱의 합을 최소화하여 구합니다.
반면에 최소 제곱 법으로 얻은 회귀선 y = a + bx의 매개 변수 a와 b는 다음과 같습니다.
* b = Sxy / (Sx 2 ) : 기울기
* a =
Sxy는 위에 정의 된 공분산이고 Sx 2 는 위에 정의 된 표준 편차의 분산 또는 제곱입니다.
예
상관 계수는 두 변수 사이에 선형 상관이 있는지 확인하는 데 사용됩니다. 연구 대상 변수가 정량적 일 때 적용 할 수 있으며, 또한 정규형 분포를 따른다고 가정합니다.
예시적인 예가 아래에 나와 있습니다. 비만의 정도를 측정하는 것은 체중을 킬로그램으로 나눈 사람의 키를 제곱미터 단위로 나눈 체질량 지수입니다.
리터당 밀리몰로 측정 한 체질량 지수와 혈액 내 HDL 콜레스테롤 농도 사이에 강한 상관 관계가 있는지 알고 싶습니다. 이를 위해 533 명을 대상으로 한 연구가 진행되었으며, 다음 그래프에 요약되어 있으며, 각 점은 한 사람의 데이터를 나타냅니다.
그림 3. 533 명의 환자에서 BMI와 HDL 콜레스테롤 연구. 출처 : Aragonese Institute of Health Sciences (IACS).
그래프를주의 깊게 관찰하면 HDL 콜레스테롤 농도와 체질량 지수 사이에 특정 선형 추세 (그다지 뚜렷하지 않음)가 있음을 알 수 있습니다. 이 추세의 정량적 척도는 상관 계수이며,이 경우 r = -0.276으로 밝혀졌습니다.
참고 문헌
- González C. 일반 통계. 출처 : tarwi.lamolina.edu.pe
- IACS. Aragonese Institute of Health Sciences. 출처 : ics-aragon.com
- Salazar C. 및 Castillo S. 통계의 기본 원칙. (2018). 출처 : dspace.uce.edu.ec
- Superprof. 상관 계수. 출처 : superprof.es
- USAC. 기술 통계 매뉴얼. (2011). 출처 : statistics.ingenieria.usac.edu.gt
- Wikipedia. 피어슨의 상관 계수. 출처 : es.wikipedia.com.