첨도 : 정의, 유형, 공식, 예 - DUDAS - 2025

첨도 또는 첨도는 중앙 측정 값 주변 농도의 정도를 나타내는 확률 변수의 확률 분포를 특성화하는 데 사용되는 통계적 파라미터이다. 이것은 "최고 등급"이라고도합니다.

이 용어는 아치형을 의미하는 그리스어 "kurtos"에서 유래되었으므로 첨도는 다음 그림에서 볼 수 있듯이 분포를 가리 키거나 평평하게하는 정도를 나타냅니다.

그림 1. 다양한 유형의 첨도. 출처 : F. Zapata.

랜덤 변수의 거의 모든 값은 평균과 같은 중심 값을 중심으로 군집하는 경향이 있습니다. 그러나 일부 분포에서는 값이 다른 분포보다 더 분산되어 곡선이 더 평평하거나 더 얇아집니다.

정의

첨도는 각 빈도 분포의 전형적인 숫자 값으로, 평균 주변 값의 농도에 따라 세 그룹으로 분류됩니다.

- Leptokurtic : 분포가 (왼쪽 그림 1) 매우 뾰족하고 날씬한 있도록하는 값은 매우, 평균에 모여있다.

- Mesocúrtic : 그것은 평균 (중앙도 1) 주위 값의 적당한 농도를 갖는다.

- Platicúrtica : 값이 이상 (오른쪽 그림 1)에 분산되는 경향이 보낸 분포가 넓은 형상을 갖는다.

공식 및 방정식

첨도는 제한없이 모든 값을 가질 수 있습니다. 계산은 데이터가 전달되는 방식에 따라 수행됩니다. 각 경우에 사용되는 표기법은 다음과 같습니다.

첨도 계수 : g ₂

-산술 평균 : X 또는 x (막대 포함)

-i 번째 값 : x _i

-표준 편차 : σ

-데이터 수 : N

-i 번째 값의 주파수 : f _i

클래스 브랜드 : mx _i

이 표기법을 사용하여 첨도를 찾는 데 가장 많이 사용되는 몇 가지 공식을 제시합니다.

-데이터 표현에 따른 첨도

빈도로 그룹화되거나 그룹화되지 않은 데이터

간격으로 그룹화 된 데이터

과잉 첨도

Fisher의 타겟팅 계수 또는 Fisher의 측도라고도하며 연구중인 분포를 정규 분포와 비교하는 데 사용됩니다.

초과 첨도가 0이면 정규 분포 또는 가우스 종이있는 것입니다. 이런 식으로 분포의 초과 첨도를 계산할 때마다 실제로 정규 분포와 비교합니다.

그룹화되지 않은 데이터와 풀링 된 데이터 모두에 대해 Fisher의 지시 계수 (K로 표시됨)는 다음과 같습니다.

K = g ₂ - 3

이제 정규 분포의 첨도가 3이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 Fisher 포인팅 계수가 0이거나 0에 가까우며 중 십자 분포가 있습니다. K> 0이면 분포는 leptokurtic이고 K <0이면 platicúrtic입니다.

첨도는 무엇입니까?

첨도는 분포의 형태를 특성화하는 데 사용되는 가변성의 척도입니다. 이러한 방식으로 평균과 분산이 동일한 대칭 분포 (표준 편차로 제공됨)를 비교할 수 있습니다.

변동성 측도를 사용하면 평균을 신뢰할 수 있고 분포의 변동을 제어하는 ​​데 도움이됩니다. 예를 들어,이 두 가지 상황을 살펴 보겠습니다.

3 개 부서의 급여

다음 그래프가 같은 회사의 3 개 부서의 급여 분포를 보여 준다고 가정합니다.

그림 2. 첨도가 다른 세 가지 분포는 실제 상황을 보여줍니다. (Fanny Zapata 작성)

곡선 A는 가장 얇은 것으로, 그 형태에서 해당 부서의 대부분의 급여가 평균에 매우 가깝기 때문에 대부분의 직원이 비슷한 보상을받는다고 추론 할 수 있습니다.

그 부분의 경우 B 부서에서 임금 곡선은 정규 분포를 따릅니다. 그 곡선은 임금이 무작위로 분포되어 있다고 가정하는 메소 큐틱이기 때문입니다.

그리고 마지막으로 우리는 매우 평평한 곡선 C를 가지고 있습니다. 이것은이 부서의 급여 범위가 다른 부서보다 ​​훨씬 넓다는 신호입니다.

시험 결과

이제 그림 2의 세 곡선이 동일한 과목의 세 그룹의 학생에게 적용된 시험 결과를 나타낸다고 가정합니다.

등급이 A leptokurtic 곡선으로 표시되는 그룹은 매우 동 질적이며 대다수는 평균 또는 가까운 등급을 얻었습니다.

시험 문제의 난이도가 다소 비슷했기 때문에 결과가 나올 수도 있습니다.

반면에, 그룹 C의 결과는 그룹에서 더 큰 이질성을 나타내며, 아마도 평균 학생, 일부 더 고급 학생 및 확실히 덜 세심한 학생을 포함합니다.

또는 시험 문제의 난이도가 매우 다르다는 의미 일 수 있습니다.

곡선 B는 중절 형으로 검정 결과가 정규 분포를 따 랐음을 나타냅니다. 이것은 일반적으로 가장 빈번한 경우입니다.

첨도의 작동 예

학생들의 그룹에 대한 물리학 시험에서 얻은 다음 등급에 대한 Fisher의 점수 계수를 1에서 10까지의 척도로 찾습니다.

해결책

다음 표현식은 이전 섹션에 제공된 그룹화되지 않은 데이터에 사용됩니다.

K = g ₂ - 3

이 값을 사용하면 분포 유형을 알 수 있습니다.

g ₂ 를 계산하려면 여러 산술 연산을 해결해야하므로 순서대로 단계별로 수행 _하는 것이 편리합니다.

1 단계

먼저 성적의 평균을 계산합니다. N = 11 데이터가 있습니다.

2 단계

이 방정식이 사용되는 표준 편차가 있습니다.

σ = 1.992

또는 다음 단계에도 필요하고 (x _i -X), (x _i -X) ^2로 시작하여 필요한 합산의 각 항이 기록되는 테이블을 작성할 수도 있습니다. 그리고 (x _i -X) ⁴ :

3 단계

g ₂ 에 대한 공식의 분자에 표시된 합계를 수행하십시오 . 이를 위해 이전 테이블의 오른쪽 열 결과가 사용됩니다.

∑ (x _i -X) ⁴ = 290.15

그러므로:

g ₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1.675

Fisher의 포인팅 계수는 다음과 같습니다.

K = g _2-3 = 1.675-3 = -1.325

흥미로운 것은 결과의 부호입니다. 음수는 platicúrtic 분포에 해당하며, 이는 이전 예에서 수행 된 것처럼 해석 될 수 있습니다. 다양한 수준의 난이도.

Excel과 같은 스프레드 시트를 사용하면 이러한 유형의 문제를 쉽게 해결할 수 있으며 분포를 그래프로 표시하는 옵션도 제공됩니다.

참고 문헌

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