입방체 의 차이는 a 3 -b 3 형식의 이항 대수 표현식입니다. 여기서 용어 a와 b는 실수 또는 다양한 유형의 대수 표현식이 될 수 있습니다. 큐브 차이의 예는 8-x 3 입니다. 8 은 2 3 으로 쓸 수 있기 때문입니다 .
기하학적으로 우리는 그림 1과 같이 측면 b를 가진 작은 입방체를 빼는면 a가있는 큰 입방체를 생각할 수 있습니다.
그림 1. 큐브의 차이. 출처 : F. Zapata.
결과 그림의 부피는 정확히 큐브의 차이입니다.
V = a 3 -b 3
대체 표현을 찾기 위해이 그림은 아래와 같이 세 개의 프리즘으로 분해 될 수 있습니다.
그림 2. 큐브의 차이 (동일 함의 왼쪽)는 부분 볼륨의 합 (오른쪽)과 같습니다. 출처 : F. Zapata.
프리즘은 너비 x 높이 x 깊이의 3 차원의 곱으로 주어진 부피를가집니다. 이러한 방식으로 결과 볼륨은 다음과 같습니다.
V = a 3 -b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
요인 b는 오른쪽에 공통입니다. 또한 위에 표시된 그림에서 특히 다음 사항이 사실입니다.
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다. b = a-b. 그러므로:
이 큐브의 차이를 표현하는 방법은 많은 응용 프로그램에서 매우 유용하며 모서리에있는 누락 된 큐브의 측면이 b = a / 2와 다르더라도 동일한 방식으로 얻을 수 있습니다.
두 번째 괄호는 합의 제곱의 주목할만한 제품과 매우 유사하지만 교차 항에 2를 곱하지 않습니다. 독자는 오른쪽을 확장하여 a 3 -b 3 이 실제로 얻어 졌는지 확인할 수 있습니다.
예
큐브에는 몇 가지 차이점이 있습니다.
1-m 6
6 B 3 - 8Z 12 및 6
(1/125)은 .X 6 - 27.y 9
그들 각각을 분석하자. 첫 번째 예에서 1은 1 = 1 3 이고 용어 m 6 은 (m 2 ) 3이 됩니다. 두 용어 모두 완벽한 큐브이므로 차이점은 다음과 같습니다.
1-m 6 = 1 3- (m 2 ) 3
두 번째 예에서는 용어가 다시 작성됩니다.
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2z 4 y 2 ) 3
이 큐브들의 차이점은 다음과 같습니다 : (a 2 b) 3- (2z 4 y 2 ) 3 .
마지막으로 분수 (1/125)는 (1/5 3 ), x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3, y 9 = (y 3 ) 3 입니다. 이 모든 것을 원래 표현식으로 대체하면 다음을 얻을 수 있습니다.
(1/125)은 .X 6 - 27Y 9 = 3 - (3Y 3 ) (3)
큐브의 차이 팩토링
큐브의 차이를 팩토링하면 많은 대수 연산이 단순화됩니다. 이렇게하려면 위에서 추론 한 공식을 사용하십시오.
그림 3. 큐브의 차이에 대한 인수 분해 및 놀라운 몫의 표현. 출처 : F. Zapata.
이제이 공식을 적용하는 절차는 세 단계로 구성됩니다.
-먼저 차이의 각 항의 세제곱근을 얻습니다.
-그런 다음 공식의 오른쪽에 나타나는 이항식과 삼항식이 구성됩니다.
-마지막으로 이항식과 삼항식을 대체하여 최종 분해를 얻습니다.
위에서 제안한 각 큐브 차이 예제와 함께 이러한 단계의 사용을 설명하여 그에 상응하는 인수를 얻습니다.
예 1
설명 된 단계에 따라 식 1-m 6을 인수 분해합니다 . 식을 1-m 6 = 1 3- (m 2 ) 3 으로 다시 작성하여 각 항의 각 세제곱근을 추출합니다.
다음으로 이항식과 삼항식이 구성됩니다.
a = 1
b = m 2
그래서:
a-b = 1-m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 12 + 1.m 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
마지막으로 공식 a 3 -b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 ) 로 대체됩니다 .
1-m 6 = (1-m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
예 2
분해 :
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3- (2z 4 y 2 ) 3
이것들은 완벽한 입방체이기 때문에 입방체 뿌리는 즉각적입니다 : a 2 b 및 2z 4 및 2 , 따라서 다음과 같습니다.
-이항 : a 2 b-2z 4 및 2
-삼항식 : (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
이제 원하는 분해가 구성됩니다.
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b-2z 4 y 2 ). =
= (a 2 b-2z 4 y 2 ).
원칙적으로 인수 분해가 준비되었지만 각 용어를 단순화해야하는 경우가 많습니다. 그런 다음 끝에 나타나는 놀라운 제품 (합의 제곱)이 개발되고 유사한 용어가 추가됩니다. 합계의 제곱은 다음과 같습니다.
오른쪽의 주목할만한 제품은 다음과 같이 개발되었습니다.
(a 2 b + 2z 4 및 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 및 2 + 4z 8 및 4
큐브 차이의 분해에서 얻은 확장을 대체합니다.
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b-2z 4 y 2 ). =
마지막으로 용어와 같이 그룹화하고 모두 균등 한 수치 계수를 인수 분해하면 다음을 얻을 수 있습니다.
(a 2 b-2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b-2z 4 y 2 ).
예제 3
인수 분해 (1/125)는 X 6 - 27Y (9)는 앞의 경우보다 훨씬 쉽습니다. 먼저 a와 b의 등가물이 식별됩니다.
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
그런 다음 공식에서 직접 대체됩니다.
(1/125)은 .X 6 - 27Y 9 =.
운동이 해결됨
큐브의 차이는 우리가 말했듯이 대수학에서 다양한 응용을 가지고 있습니다. 몇 가지를 보자 :
연습 1
다음 방정식을 풉니 다.
a) X 5 - 125 X 2 = 0
b) 64-729 x 3 = 0
솔루션
먼저 방정식은 다음과 같이 인수 분해됩니다.
X 2 (X 3 - 125) = 0
125는 완벽한 큐브이므로 괄호는 큐브의 차이로 작성됩니다.
x 2 . (X 3 - 5 (3) ) = 0
첫 번째 솔루션은 X = 0,하지만 우리가 할 경우 우리는 배까지 찾아 3 - 5 3 = 0, 다음 :
x 3 = 5 3 → x = 5
솔루션 b
방정식의 좌변은 64-729 x 3 = 4 3- (9x) 3 로 다시 작성됩니다 . 그러므로:
4 3- (9x) 3 = 0
지수가 동일하기 때문에 :
9x = 4 → x = 9/4
연습 2
식을 인수 분해하십시오.
(x + y) 3- (x-y) 3
해결책
팩토링 공식에서 다음 사항에 유의하면이 표현식은 큐브의 차이입니다.
a = x + y
b = x- y
그런 다음 이항식이 먼저 생성됩니다.
a-b = x + y-(x- y) = 2y
그리고 이제 삼항식 :
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
주목할만한 제품이 개발되었습니다.
다음으로 같은 용어를 대체하고 줄여야합니다.
2 + AB + B 2 = X 2 + Y 마찬가지로 Y + 2 + X 2 - (Y) 2 + X 2 - 마찬가지로 Y + y 2 = (3X) 2 + Y (2)
팩토링 결과 :
(x + y) 3- (x-y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2 )
참고 문헌
- Baldor, A. 1974. 대수. 편집 문화 Venezolana SA
- CK-12 재단. 큐브의 합과 차이. 출처 : ck12.org.
- 칸 아카데미. 큐브의 차이 팩토링. 출처 : es.khanacademy.org.
- 수학은 재미있는 고급입니다. 두 큐브의 차이. 출처 : mathsisfun.com
- UNAM. 큐브의 차이를 고려합니다. 출처 : dcb.fi-c.unam.mx.