이항 분포가 성공 또는 실패 : 이벤트의 발생 확률을 계산들은 두 양상에서 발생하는 것이 설치되어있는 확률 분포이다.
이러한 지정 (성공 또는 실패)은 반드시 좋은 것이나 나쁜 것을 의미하지는 않으므로 완전히 임의적입니다. 이 기사에서는 이항 분포의 수학적 형태를 표시 한 다음 각 용어의 의미를 자세히 설명합니다.
그림 1. 주사위 굴림은 이항 분포를 사용하여 모델링 할 수있는 현상입니다. 출처 : Pixabay.
방정식
방정식은 다음과 같습니다.
x = 0, 1, 2, 3… .n, 여기서 :
-P (x)는 n 번의 시도 또는 시행 사이에 정확히 x 번 성공할 확률입니다.
-x는 성공 횟수에 해당하는 관심 현상을 설명하는 변수입니다.
-n 시도 횟수
-p는 1 회 시도 성공 확률
-q는 1 회 시도에서 실패 할 확률이므로 q = 1-p
느낌표 "!" 계승 표기법에 사용됩니다.
0! = 1
하나! = 1
두! = 2.1 = 2
삼! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
등등.
개념
이항 분포는 이벤트가 발생하거나 발생하지 않는 상황을 설명하는 데 매우 적합합니다. 그것이 발생하면 성공이고 그렇지 않으면 실패입니다. 또한 성공 확률은 항상 일정해야합니다.
예를 들어 동전 던지기와 같이 이러한 조건에 맞는 현상이 있습니다. 이 경우 "성공"이 얼굴을 얻는다고 말할 수 있습니다. 확률은 ½이며 동전을 몇 번 던져도 변하지 않습니다.
정직한 주사위의 굴림은 또 다른 좋은 예이며, 특정 생산물을 좋은 조각과 결함 조각으로 분류하고 바퀴를 돌릴 때 검은 색 대신 빨간색을 얻습니다.
형질
이항 분포의 특성을 다음과 같이 요약 할 수 있습니다.
-모든 사건 또는 관찰은 대체가없는 무한 집단 또는 대체가있는 유한 집단에서 추출됩니다.
-처음에 설명한대로 성공 또는 실패라는 두 가지 옵션 만 상호 배타적으로 고려됩니다.
-성공 확률은 모든 관찰에서 일정해야합니다.
-이벤트의 결과는 다른 이벤트와 무관합니다.
-이항 분포의 평균은 np입니다.
-표준 편차는 다음과 같습니다.
적용 사례
정직한 주사위를 3 번 굴려서 앞면 2 개 5 개를 얻는 간단한 이벤트를 보겠습니다. 3 번 던질 때 5 번의 앞면 2 개를 얻을 확률은 얼마입니까?
이를 달성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
-처음 두 개의 발사는 5 개이고 마지막은 그렇지 않습니다.
-첫 번째와 마지막은 5이지만 중간은 아닙니다.
-마지막 두 번은 5 번 던지고 첫번은 그렇지 않습니다.
예제로 설명한 첫 번째 시퀀스를 사용하여 발생 확률을 계산해 보겠습니다. 첫 번째 롤에서 5 개의 앞면을 얻을 확률은 1/6이고 두 번째 롤에서도 독립적 인 이벤트이기 때문입니다.
마지막 롤에서 5가 아닌 다른 머리를 얻을 확률은 1-1/6 = 5/6입니다. 따라서이 시퀀스가 나올 확률은 확률의 곱입니다.
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023
다른 두 시퀀스는 어떻습니까? 확률은 0.023입니다.
그리고 총 3 개의 성공적인 시퀀스가 있으므로 총 확률은 다음과 같습니다.
예 2
한 대학은 대학 농구 팀 학생의 80 %가 졸업한다고 주장합니다. 조사는 얼마 전 대학에 등록한 농구 팀 소속 학생 20 명의 학업 기록을 조사했다.
이 20 명의 학생 중 11 명이 학업을 마쳤고 9 명이 중퇴했습니다.
그림 2. 대학 팀 졸업생을 위해 뛰는 거의 모든 학생들. 출처 : Pixabay.
대학의 진술이 사실이라면 농구를하고 졸업하는 학생의 수는 20 명 중 n = 20이고 p = 0.8 인 이항 분포를 가져야합니다. 20 명의 플레이어 중 정확히 11 명이 졸업 할 확률은 얼마입니까?
해결책
이항 분포에서 :
예제 3
연구원들은 특별 프로그램을 통해 입학 한 의대생과 정규 입학 기준을 통해 입학 한 의대생간에 졸업률에 유의 한 차이가 있는지 알아보기 위해 연구를 수행했습니다.
특별 프로그램을 통해 입학 한 학생 의사의 졸업률은 94 %로 나타났습니다 (미국 의학 협회 저널의 데이터에 근거).
10 명의 특별 프로그램 학생이 무작위로 선택되면 그들 중 최소 9 명이 졸업 할 확률을 찾으십시오.
b) 특별 프로그램에서 10 명의 학생을 무작위로 선택하고 그 중 7 명만 졸업 한 것을 발견하는 것은 드문 일입니까?
해결책
특별 프로그램을 통해 입학 한 학생이 졸업 할 확률은 94/100 = 0.94입니다. 우리는 특별 프로그램에서 n = 10 명의 학생을 선택하고 그들 중 적어도 9 명이 졸업 할 확률을 알고 싶습니다.
그런 다음 이항 분포에서 다음 값이 대체됩니다.
비)
참고 문헌
- Berenson, M. 1985. 경영과 경제를위한 통계. Interamericana SA
- MathWorks. 이항 분포. 출처 : es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. 경영 및 경제 통계. 셋째. 판. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. 응용 기본 통계. 2 위. 판.
- Triola, M. 2012. 초등 통계. 11 일. 에드 피어슨 교육.
- Wikipedia. 이항 분포. 출처 : es.wikipedia.org