타원체는 일반 식 형태이다 사절 표면의 그룹에 속하는 공간의 표면이다 :
일부 특수한 경우에는 타원형 및 원형 트레이스를 갖는 것이 특징 인 타원의 3 차원 등가물입니다. 트레이스는 타원체를 평면과 교차하여 얻은 곡선입니다.
그림 1. 세 개의 다른 타원체 : 상단에는 세 개의 반축이 동일한 구형, 왼쪽 하단에는 두 개의 동일한 반축과 다른 하나의 스페 로이드가 있으며, 마지막으로 오른쪽 하단에는 세 개의 다른 축이있는 삼축 스페 로이드가 있습니다. 길이. 출처 : Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)
타원체 외에도 5 개의 쿼드 릭이 있습니다. 1 시트 및 2 시트 쌍곡선, 두 가지 유형의 포물선 (쌍곡선 및 타원형), 타원형 원뿔입니다. 그 흔적도 원추형입니다.
타원체는 데카르트 좌표의 표준 방정식으로 표현할 수도 있습니다. 원점 (0,0,0)을 중심으로하고 이렇게 표현 된 타원체는 타원과 비슷하지만 추가 용어가 있습니다.
a, b, c의 값은 0보다 큰 실수이며 타원체의 세 반 축을 나타냅니다.
타원체 특성
-표준 방정식
점 (h, k, m)을 중심으로하는 타원에 대한 데카르트 좌표의 표준 방정식은 다음과 같습니다.
-타원체의 파라 메트릭 방정식
구면 좌표에서 타원체는 다음과 같이 설명 할 수 있습니다.
x = sin θ. cos φ
y = b sin θ. 센 φ
z = c cos θ
타원체의 반 축은 a, b 및 c로 유지되고 매개 변수는 다음 그림의 각도 θ 및 φ입니다.
그림 2. 구면 좌표계. 타원체는 표시된 각도 theta 및 phi를 매개 변수로 사용하여 매개 변수화 할 수 있습니다. 출처 : Wikimedia Commons. Andeggs / 퍼블릭 도메인.
-타원체의 흔적
공간에서 표면의 일반 방정식은 F (x, y, z) = 0이고 표면의 흔적은 곡선입니다.
-x = c; F (c, y, z) = 0
-y = c; F (x, c, z) = 0
-z = c; F (x, y, c) = 0
타원체의 경우 이러한 곡선은 타원이며 때로는 원입니다.
-볼륨
타원체의 부피 V는 3 개의 반축 곱의 (4/3) π 곱하기로 제공됩니다.
V = (4/3) π. 알파벳
타원체의 특수한 경우
-타원체는 모든 반축이 같은 크기 일 때 구체가됩니다. a = b = c ≠ 0 중심선.
-스페 로이드는 두 개의 반축이 동일하고 세 번째가 다른 타원체입니다. 예를 들어 a = b ≠ c 일 수 있습니다.
회전 타원체는 축을 중심으로 타원을 회전하여 생성 할 수 있기 때문에 회전 타원체라고도합니다.
회전축이 장축과 일치하면 스페 로이드는 연장되지만 단축과 일치하면 편평합니다.
그림 3. 왼쪽의 편원 스페 로이드와 오른쪽의 편평 스페 로이드. 출처 : Wikimedia Commons.
스페 로이드의 평탄화 측정 (타원도)은 분수 형식으로 표현되는 두 개의 반축 사이의 길이 차이에 의해 제공됩니다. 즉, 다음과 같이 단위 평탄화입니다.
f = (a-b) / a
이 방정식에서 a는 반장 축을 나타내고 b는 반 단축을 나타냅니다. 세 번째 축은 스페 로이드의 경우 이들 중 하나와 같다는 점을 기억하십시오. f의 값은 0과 1 사이이며 스페 로이드의 경우 0보다 커야합니다 (0과 같으면 단순히 구를 갖게됩니다).
참조 타원체
행성과 일반적으로 별은 축을 중심으로 한 회전 운동이 극에서 몸을 평평하게하고 적도에서 부풀리기 때문에 일반적으로 완벽한 구체가 아닙니다.
그렇기 때문에 지구는 이전 그림 에서처럼 과장되지는 않았지만 편 구형 스페 로이드처럼 판명되었으며, 가스 거인 토성은 태양계에서 가장 평평한 행성입니다.
따라서 행성을 표현하는보다 현실적인 방법은 반장 축이 적도 반경이고 반 단축이 극 반경 인 회전 타원체 또는 타원체와 같다고 가정하는 것입니다.
지구에서 세심한 측정을 통해 지구를 수학적으로 작업하는 가장 정확한 방법으로 지구 기준 타원체를 만들 수있었습니다.
별은 또한 다소 평평한 모양을 제공하는 회전 운동을합니다. 남쪽 별자리 Eridanus에있는 밤하늘에서 여덟 번째로 밝은 별인 빠른 별 Achernar는 대부분의 별자리와 비교할 때 현저하게 타원형입니다. 그것은 우리에게서 144 광년입니다.
다른 극단으로, 몇 년 전 과학자들은 지금까지 발견 된 것 중 가장 구형 인 물체 인 케플러 11145123, 5000 광년 거리에 우리 태양의 두 배 크기와 3km의 반축 사이의 차이를 발견했습니다. 예상대로 더 느리게 회전합니다.
지구에 관해서는 표면이 울퉁불퉁하고 중력이 국부적으로 변하기 때문에 완벽한 스페 로이드가 아닙니다. 이러한 이유로 사용할 수있는 참조 스페 로이드가 두 개 이상 있으며 각 사이트에서 지역 지리에 가장 적합한 것이 선택됩니다.
위성의 도움은 지구 모양의 점점 더 정확한 모델을 만드는 데 매우 중요합니다. 예를 들어 남극이 북극보다 적도에 더 가깝다는 것이 알려져 있기 때문입니다.
그림 4. 해왕성 난쟁이 행성 인 Haumea는 타원형 모양을하고 있습니다. 출처 : Wikimedia Commons.
수치 예
지구의 자전으로 인해 원심력이 생성되어 구형이 아닌 타원형 타원 모양을 제공합니다. 지구의 적도 반경은 3963 마일로 알려져 있으며 극지 반경은 3942 마일입니다.
적도 궤적의 방정식,이 타원체의 방정식 및 평탄화의 척도를 찾으십시오. 또한 아래 제공된 데이터와 함께 토성의 타원 도와 비교하십시오.
-토성 적도 반경 : 60,268km
-토성의 극 반경 : 54,364 km
해결책
좌표계가 필요하며, 원점 (지구 중심)을 중심으로 가정합니다. 수직 z 축과 적도에 해당하는 트레이스는 z = 0 평면에 해당하는 xy 평면에 있다고 가정합니다.
적도 평면에서 반축 a와 b는 동일하므로 a = b = 3963 마일이고 c = 3942 마일입니다. 이것은 특별한 경우입니다 : 위에서 언급 한 점 (0,0,0)을 중심으로하는 스페 로이드.
적도 추적은 원점을 중심으로 반경 R = 3963 마일의 원입니다. 표준 방정식에서 z = 0으로 만들어 계산됩니다.
그리고 지상 타원체의 표준 방정식은 다음과 같습니다.
f 지구 = (a-b) / a = (3963-3942) 마일 / 3963 마일 = 0.0053
f 토성 = (60268-54363) km / 60268 km = 0.0980
타원도 f는 차원이없는 양입니다.
참고 문헌
- ArcGIS for Desktop. 스페 로이드와 구체. 출처 : desktop.arcgis.com.
- BBC 월드. 우주에서 지금까지 발견 된 가장 구형 물체의 신비. 출처 : bbc.com.
- Larson, R. 미적분 및 분석 기하학. 여섯 번째 판. 볼륨 2. McGraw Hill.
- Wikipedia. 타원체. 출처 : en.wikipedia.org.
- Wikipedia. 회전 타원체. 출처 : en.wikipedia.org.