랜덤 변수 X 의 수학적 기대치 또는 기대 값은 E (X)로 표시되며 랜덤 이벤트 발생 확률과 해당 이벤트 값 사이의 곱의 합으로 정의됩니다.
수학적 형태로 다음과 같이 표현됩니다.
그림 1. 수학적 기대치는 주식 시장과 보험에서 널리 사용됩니다. 출처 : Pixabay.
여기서 x i 는 사건의 값이고 P (x i ) 발생 확률입니다. 합산은 X가 인정하는 모든 값에 걸쳐 확장됩니다. 그리고 이것이 유한 한 경우 표시된 합은 값 E (X)로 수렴되지만 합이 수렴되지 않으면 변수에 예상 값이 없습니다.
연속 변수 x 인 경우 변수는 무한한 값을 가질 수 있으며 적분은 합계를 대체합니다.
여기서 f (x)는 확률 밀도 함수를 나타냅니다.
일반적으로 수학적 기대 값 (가중 평균)은 각 사건이 똑같이 가능한 이산 분포를 다루지 않는 한 산술 평균이나 평균과 같지 않습니다. 그 다음에 만 :
여기서 n은 가능한 값의 수입니다.
이 개념은 확실성이 부족하지만 확률이 존재하는 금융 시장 및 보험 회사에서 매우 유용합니다.
수학적 기대의 속성
수학적 기대의 가장 중요한 속성 중 다음이 두드러집니다.
-부호 : X가 양수이면 E (X)도 양수입니다.
-상수 기대 값 : 실수 상수 k의 기대 값은 상수입니다.
-합의 선형성 : 두 변수 X와 Y의 합이되는 랜덤 변수의 기대 값은 기대 값의 합입니다.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
-상수 곱하기 : 랜덤 변수가 kX 형태 인 경우, k는 상수 (실수)이면 예상 값을 벗어납니다.
-제품의 기대 값과 변수 간의 독립성 : 랜덤 변수가 독립적 인 랜덤 변수 X와 Y의 곱이면 제품의 기대 값은 예상 값의 곱입니다.
일반적으로 Y = g (X) 인 경우 :
-예상 값의 순서 : X ≤ Y 인 경우 :
각각의 기대 값이 있기 때문에.
베팅의 수학적 기대
유명한 천문학자인 Christian Huygens (1629-1695)가 하늘을 관찰하지 않았을 때, 그는 다른 학문 중에서도 우연의 게임 확률을 연구하는 데 전념했습니다. 그의 1656 년 작품 : 우연의 게임에 대한 추론에서 수학적 희망의 개념을 도입 한 사람은 바로 그 사람이었습니다.
그림 2. Christiaan Huygens (1629-1625)는 훌륭하고 다재다능한 과학자였으며 우리는 기대 가치 개념을 빚지고 있습니다.
Huygens는 예상 가치에 따라 베팅을 세 가지 방식으로 분류 할 수 있음을 발견했습니다.
-우세한 게임 : E (X)> 0
-공정한 베팅 : E (X) = 0
-불이익의 게임 : E (X) <0
문제는 우연의 게임에서 수학적 기대가 항상 계산하기 쉽지는 않다는 것입니다. 그리고 당신이 할 수있을 때, 결과는 때때로 내기를 할 것인지 아닌지 궁금해하는 사람들에게 실망 스러울 것입니다.
간단한 내기를 해보자 : 앞면 또는 뒷면과 패자는 1 달러의 커피를 지불한다. 이 베팅의 예상 가치는 얼마입니까?
글쎄, 앞면이 굴릴 확률은 뒷면과 같은 ½입니다. 랜덤 변수는 $ 1을 얻거나 $ 1을 잃는 것이며, 이득은 + 기호로 표시되고 손실은 기호-로 표시됩니다.
정보를 테이블로 구성합니다.
열의 값을 곱합니다 : 1. ½ = ½ 및 (-1). ½ = -½ 그리고 마지막으로 결과가 추가됩니다. 합계는 0이며 참가자가이기거나 잃지 않을 것으로 예상되는 공정한 게임입니다.
프렌치 룰렛과 복권은 대부분의 베터가지는 핸디캡 게임입니다. 나중에 해결 된 운동 섹션에 약간 더 복잡한 베팅이 있습니다.
예
다음은 수학적 기대의 개념이 직관적이고 개념을 명확히하는 몇 가지 간단한 예입니다.
예 1
정직한 주사위를 굴리는 것부터 시작하겠습니다. 출시의 예상 가치는 얼마입니까? 글쎄요, 만약 주사위가 정직하고 6 개의 앞면을 가지고 있다면, 어떤 값 (X = 1, 2, 3… 6)이 나올 확률은 다음과 같이 1/6입니다 :
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5
그림 3. 정직한 주사위 굴림에서 예상 값은 가능한 값이 아닙니다. 출처 : Pixabay.
이 경우 예상 값은 각 얼굴이 나올 확률이 같기 때문에 평균과 같습니다. 그러나 E (X)는 3.5의 가치가있는 앞면이 없기 때문에 가능한 값이 아닙니다. 이 경우 결과가 베터에게 많은 도움이되지는 않지만 일부 배포에서는 완벽하게 가능합니다.
동전 두 개를 던지는 또 다른 예를 살펴 보겠습니다.
예 2
두 개의 정직한 동전이 공중에 던져지고 무작위 변수 X를 굴리는 앞면의 수로 정의합니다. 발생할 수있는 이벤트는 다음과 같습니다.
-앞면이 나오지 않음 : 0 앞면은 2 개의 꼬리와 같습니다.
-1 개의 머리와 1 개의 우표 또는 꼬리가 나옵니다.
-두 얼굴이 나옵니다.
C를 머리로, T를 물개로 두십시오. 이러한 이벤트를 설명하는 샘플 공간은 다음과 같습니다.
S m = {씰-씰; Seal-Face; Face-Seal; 얼굴-얼굴} = {TT, TC, CT, CC}
발생하는 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
테이블은 얻은 값으로 작성됩니다.
처음에 주어진 정의에 따르면 수학적 기대치는 다음과 같이 계산됩니다.
값 대체 :
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
이 결과는 다음과 같이 해석된다. 만약 한 사람이 두 개의 동전을 던져 많은 실험을 할 수있는 충분한 시간이 있다면, 그는 던질 때마다 머리를 가질 것으로 예상된다.
그러나 2 개의 레이블이있는 릴리스가 완벽하게 가능하다는 것을 알고 있습니다.
운동이 해결됨
두 개의 정직한 동전을 던지면 다음과 같은 베팅이 이루어집니다. 앞면 2 개가 나오면 $ 3을, 앞면이 1 개 나오면 $ 1을 얻지 만, 스탬프가 두 개 나오면 $ 5를 지불해야합니다. 베팅의 예상 승리를 계산하십시오.
그림 4. 베팅에 따라 두 개의 정직한 동전을 던질 때 수학적 기대치가 바뀝니다. 출처 : Pixabay.
해결책
랜덤 변수 X는 돈이 베팅에서 가져가는 값이고 확률은 이전 예에서 계산되었으므로 베팅 테이블은 다음과 같습니다.
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
예상 값이 0이므로이 게임은 공정한 게임이므로 여기서 베터는 이기지 않고 잃지 않을 것으로 예상됩니다. 그러나 베팅 금액은 핸디캡 게임 또는 핸디캡 게임으로 변경 될 수 있습니다.
참고 문헌
- Brase, C. 2009. 이해할 수있는 통계. Houghton Mifflin.
- Olmedo, F. 임의 변수의 기대 값 또는 수학적 기대의 개념 소개. 출처 : personal.us.es.
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- Triola, M. 2010. 기초 통계. 11 일. Ed. Addison Wesley.
- Walpole, R. 2007. 과학과 공학을위한 확률과 통계. 8 일. 판. 피어슨 교육.