유클리드 기하학 유클리드의 공리가 만족하는 기하학적 공간의 특성에 대한 연구에 해당한다. 이 용어는 때때로 유사한 속성을 가진 고차원 기하학을 포함하는 데 사용되지만 일반적으로 고전 기하학 또는 평면 기하학과 동의어입니다.
III 세기 a. C. 유클리드와 그의 제자들은 논리적 연역적 구조가 부여 된 당시의 수학적 지식을 포괄하는 작품 인 요소를 썼습니다. 그 이후로 기하학은 처음에는 고전적인 문제를 해결하기위한 과학이되었고 추론을 돕는 조형 과학으로 진화했습니다.
역사
유클리드 기하학의 역사에 대해 이야기하려면 알렉산드리아의 유클리드와 원소부터 시작해야합니다.
이집트가 프톨레마이오스 1 세의 손에 맡겨 졌을 때, 알렉산더 대왕이 사망 한 후 그는 알렉산드리아의 한 학교에서 프로젝트를 시작했습니다.
학교에서 가르친 현자 중에는 유클리드가있었습니다. 그의 출생은 기원전 325 년경으로 추정된다. C.와 그의 죽음 265 a. C. 우리는 그가 플라톤의 학교에 갔다는 것을 확실히 알 수 있습니다.
30 년 이상 동안 유클리드는 알렉산드리아에서 유명한 요소를 구축하면서 가르쳤습니다. 그는 당시의 수학에 대한 철저한 설명을 쓰기 시작했습니다. 유클리드의 가르침은 아르키메데스와 페르가의 아폴로니우스와 같은 훌륭한 제자들을 낳았습니다.
Euclid는 원소에서 고대 그리스인들의 이질적인 발견을 구성하는 일을 맡았지만, 그의 전임자들과 달리 그는 정리가 사실임을 확인하는 데 자신을 제한하지 않았습니다. Euclid가 데모를 제공합니다.
The Elements는 13 권의 책으로 구성된 개요입니다. 성경 다음으로 가장 많이 출판 된 책으로 천 개가 넘는 판이 있습니다.
유클리드의 요소
The Elements는 기하학 분야에서 유클리드의 걸작이며 2 차원 (평면)과 3 차원 (공간)의 기하학에 대한 명확한 처리를 제공합니다. 이것이 현재 우리가 유클리드 기하학으로 알고있는 것의 기원입니다. .
기본 개념
요소는 정의, 공통 개념 및 가정 (또는 공리)에 이어 정리, 구성 및 증명으로 구성됩니다.
-요점은 부품이 없다는 것입니다.
-선은 너비가없는 길이입니다.
-직선은 그 안에있는 점에 대해 동일하게 놓여있는 선입니다.
-인접한 각도가 같아 지도록 두 개의 선을자를 경우 그 각도를 직선이라고하고 선을 수직이라고합니다.
-평행선은 동일한 평면에 있고 절대 교차하지 않는 선입니다.
이러한 정의와 다른 정의 후에 Euclid는 5 개의 가정과 5 개의 개념 목록을 제시합니다.
일반적인 개념
-1/3에 해당하는 두 가지가 서로 동일합니다.
-같은 물건에 같은 것을 더하면 결과는 같습니다.
-동일한 것을 빼면 동일한 결과가 나옵니다.
-서로 일치하는 것은 서로 동일합니다.
-합계가 부품보다 큽니다.
가정 또는 공리
-하나의 선이 두 개의 다른 지점을 통과합니다.
-직선은 무제한으로 연장 할 수 있습니다.
-모든 중심과 반경으로 원을 그릴 수 있습니다.
-모든 직각은 동일합니다.
-직선이 두 개의 직선을 교차하여 같은면의 내부 각도가 2 개 미만의 직각이되도록 합하면 두 선이 그면에서 교차합니다.
이 마지막 가정은 평행 가정으로 알려져 있으며 다음과 같은 방식으로 재구성되었습니다.
예
다음으로, 요소의 일부 정리는 유클리드의 다섯 가지 가정이 충족되는 기하학적 공간의 속성을 보여줍니다. 또한이 수학자가 사용하는 논리적-연역적 추론을 설명합니다.
첫 번째 예
발의안 1.4. (LAL)
두 삼각형에 두 변이 있고 그 사이의 각도가 같으면 다른 변과 다른 각도가 같습니다.
데모
ABC와 A'B'C를 'AB = A'B', AC = A'C '이고 각 BAC와 B'A'C'가 같은 두 개의 삼각형이되도록합니다. 삼각형 A'B'C '를 움직여 A'B'가 AB와 일치하고 각도 B'A'C '가 각 BAC와 일치하도록합시다.
따라서 라인 A'C '는 라인 AC와 일치하므로 C'는 C와 일치합니다. 그런 다음 가정 1에 의해 라인 BC는 라인 B'C '와 일치해야합니다. 따라서 두 삼각형이 일치하고 결과적으로 각도와 변이 동일합니다.
두 번째 예
발의안 1.5. (
삼각형 ABC의 변 AB와 AC가 같다고 가정합니다.
따라서 삼각형 ABD와 ACD는 두 개의 동일한 변을 가지며 그 사이의 각도는 같습니다. 따라서 발의안 1.4에서는 각도 ABD와 ACD가 동일합니다.
세 번째 예
발의안 1.31
주어진 점에서 주어진 선과 평행 한 선을 만들 수 있습니다.
건물
선 L과 점 P가 주어지면 선 M이 P를 통해 그려지고 L과 교차합니다. 그런 다음 L과 교차하는 P를 통해 선 N이 그려집니다. 이제 M과 교차하는 P를 통해 선 N이 그려집니다. L이 M과 동일한 각도를 형성합니다.
확언
N은 L과 평행합니다.
데모
L과 N이 평행하지 않고 점 A에서 교차한다고 가정합니다. B를 A 너머 L의 점이라고 가정합니다. B와 P를 통과하는 선 O를 고려해 봅시다. 그런 다음 O는 다음보다 작은 각도에서 M과 교차합니다. 두 똑바로.
그런 다음 1.5만큼 선 O는 M의 반대편에있는 선 L과 교차해야하므로 L과 O는 두 점에서 교차하므로 가정 1과 모순됩니다. 따라서 L과 N은 평행해야합니다.
참고 문헌
- 유클리드 기하학의 요소. 멕시코 국립 자치 대학교
- 유클리드. 유클리드 요소의 처음 여섯 권과 열한 번째와 열두 번째 책
- Eugenio Filloy Yague. 유클리드 기하학의 교훈과 역사, Grupo Editorial Iberoamericano
- K. Ribnikov. 수학의 역사. 미르 사설
- Viloria, N., & Leal, J. (2005) 평면 분석 기하학. Venezolana CA 편집