homoscedasticity 하나 개 이상의 관찰을 분산 (또는 독립적) 패턴의 모든 데이터 군 경우 예측 통계 모델에서 발생 함께 설명 변수에 대한 상수 유지.
회귀 모델은 동 분산 성일 수도 있고 아닐 수도 있으며,이 경우 이분산성에 대해 이야기합니다.
그림 1. 5 개의 데이터 세트 및 세트의 회귀 피팅. 예측값에 대한 분산은 각 그룹에서 동일합니다. (upav-biblioteca.org)
여러 독립 변수의 통계적 회귀 모델은 예측 변수의 오차 분산 (또는 종속 변수의 표준 편차)이 설명 또는 독립 변수의 여러 값 그룹에 대해 균일하게 유지되는 경우에만 동 분산이라고합니다.
그림 1의 5 개 데이터 그룹에서 회귀에 의해 추정 된 값과 관련하여 각 그룹의 분산이 계산되어 각 그룹에서 동일한 것으로 판명되었습니다. 또한 데이터가 정규 분포를 따른다고 가정합니다.
그래픽 수준에서 이는 회귀 적합치에 의해 예측 된 값 주위에 점이 균등하게 흩어져 있거나 흩어져 있고 회귀 모델이 설명 변수 범위에 대해 동일한 오류 및 유효성을 가짐을 의미합니다.
동 분산 성의 중요성
예측 통계에서 동 분산 성의 중요성을 설명하기 위해 반대 현상 인 이분산성과 대조 할 필요가 있습니다.
동분 산성 대 이분산성
동분 산성이있는 그림 1의 경우는 다음과 같습니다.
Var ((y1-Y1); X1) ≈ Var ((y2-Y2); X2) ≈ …… Var ((y4-Y4); X4)
Var ((yi-Yi); Xi)는 분산을 나타내고 쌍 (xi, yi)은 그룹 i의 데이터를 나타내고 Yi는 그룹의 평균값 Xi에 대한 회귀에 의해 예측 된 값입니다. 그룹 i의 n 데이터 분산은 다음과 같이 계산됩니다.
Var ((yi-Yi); Xi) = ∑j (yij-Yi) ^ 2 / n
반대로 이분산성이 발생하면 회귀 모델이 계산 된 전체 영역에 대해 유효하지 않을 수 있습니다. 그림 2는 이러한 상황의 예를 보여줍니다.
그림 2. 이분산성을 보여주는 데이터 그룹. (자신의 정교함)
그림 2는 세 가지 데이터 그룹과 선형 회귀를 사용한 집합의 적합도를 나타냅니다. 두 번째 및 세 번째 그룹의 데이터는 첫 번째 그룹보다 더 분산되어 있습니다. 그림 2의 그래프는 각 데이터 그룹의 σ 표준 편차와 함께 각 그룹의 평균값과 오차 막대 ± σ를 보여줍니다. 표준 편차 σ는 분산의 제곱근이라는 것을 기억해야합니다.
이분산성의 경우 회귀 추정 오류가 설명 변수 또는 독립 변수의 값 범위에서 변경되고이 오류가 매우 큰 구간에서 회귀 예측이 신뢰할 수 없거나 적용 할 수 없습니다.
회귀 모델에서 오류 또는 잔차 (및 -Y)는 독립 변수 값의 간격에 걸쳐 등분 산 (σ ^ 2)으로 분포되어야합니다. 이런 이유로 좋은 회귀 모델 (선형 또는 비선형)이 동분 산성 테스트를 통과해야합니다.
동질성 테스트
그림 3에 표시된 점은 크기 또는 면적 (평방 미터)의 함수로서 주택 가격 (달러) 간의 관계를 찾는 연구 데이터에 해당합니다.
테스트 할 첫 번째 모델은 선형 회귀 모델입니다. 우선, 적합도 결정 계수 R ^ 2가 상당히 높다 (91 %)는 것을 알 수있어 적합하다고 생각할 수있다.
그러나 조정 그래프에서 두 영역을 명확하게 구분할 수 있습니다. 그중 하나는 타원으로 둘러싸인 오른쪽에있는 하나는 동분 산성을 충족하는 반면 왼쪽 영역은 동분 산성을 갖지 않습니다.
이는 회귀 모델의 예측이 1800m ^ 2에서 4800m ^ 2 범위에서 적절하고 신뢰할 수 있지만이 영역 밖에서는 매우 부적절 함을 의미합니다. 이 분산 영역에서는 오류가 매우 클뿐만 아니라 데이터가 선형 회귀 모델에서 제안한 것과 다른 추세를 따르는 것처럼 보입니다.
그림 3. 선형 회귀에 의한 주택 가격 대 면적 및 예측 모델, 동분 산성 및 이분산성 구역을 보여줍니다. (자신의 정교함)
데이터의 산포 그래프는 동 분산성에 대한 가장 간단하고 시각적 인 테스트이지만 그림 3에 표시된 예처럼 명확하지 않은 경우 보조 변수가있는 그래프에 의존해야합니다.
표준화 된 변수
동분 산성이 충족되는 영역과 그렇지 않은 영역을 구분하기 위해 표준화 된 변수 ZRes 및 ZPred가 도입되었습니다.
ZRes = Abs (y-Y) / σ
ZPred = Y / σ
이러한 변수는 Y가 회귀 예측의 값이기 때문에 적용된 회귀 모델에 따라 달라진다는 점에 유의해야합니다. 다음은 동일한 예에 대한 ZRes 대 ZPred 산점도입니다.
그림 4. 동분 산성 영역에서 ZRes는 예측 영역에서 균일하고 작게 유지됩니다 (자체 정교화).
표준화 된 변수가있는 그림 4의 그래프에서 잔차 오차가 작고 균일 한 영역과 그렇지 않은 영역이 명확하게 구분됩니다. 첫 번째 영역에서는 동분 산성이 충족되고 잔차 오차가 매우 가변적이고 큰 영역에서는 이분산성이 충족됩니다.
회귀 조정은 그림 3의 동일한 데이터 그룹에 적용됩니다.이 경우 사용 된 모델에 잠재적 함수가 포함되어 있으므로 조정이 비선형입니다. 결과는 다음 그림에 나와 있습니다.
그림 5. 비선형 회귀 모델을 사용한 데이터 피팅에서 동분 산성 및 이분산성의 새로운 영역. (자신의 정교함).
그림 5의 그래프에서 동 분산 및이 분산 영역이 명확하게 표시되어야합니다. 또한 이러한 영역은 선형 적합 모델에서 형성된 영역과 관련하여 교환되었습니다.
그림 5의 그래프에서 적합도 결정 계수 (93.5 %)가 상당히 높은 경우에도 값에 대한 데이터가 있기 때문에 모델이 설명 변수의 전체 구간에 적합하지 않음이 분명합니다. 2000 m ^ 2 이상은 이분산성을 나타냅니다.
동 분산성에 대한 비 그래픽 테스트
동분 산성이 충족되는지 여부를 확인하는 데 가장 많이 사용되는 비 그래픽 테스트 중 하나는 Breusch-Pagan 테스트입니다.
이 테스트의 모든 세부 사항이이 기사에서 제공되는 것은 아니지만 기본 특성과 동일한 단계에 대해 대략적으로 설명합니다.
- 회귀 모델은 n 데이터에 적용되고 동일한 분산은 모델 σ ^ 2 = ∑j (yj-Y) ^ 2 / n에 의해 추정 된 값에 대해 계산됩니다.
- 새로운 변수가 정의됩니다 .ε = ((yj-Y) ^ 2) / (σ ^ 2)
- 동일한 회귀 모델이 새 변수에 적용되고 새 회귀 매개 변수가 계산됩니다.
- 임계 값 카이 제곱 (χ ^ 2)이 결정되며, 이것은 변수 ε에있는 새 잔차 제곱의 합의 절반입니다.
- 카이 제곱 분포 테이블은 테이블의 x 축에서 유의 수준 (일반적으로 5 %)과 자유도 (회귀 변수 수에서 단위를 뺀 값) 수를 고려하여 다음 값을 구하는 데 사용됩니다. 보드.
- 3 단계에서 얻은 임계 값은 표 (χ ^ 2)에서 찾은 값과 비교됩니다.
- 임계 값이 표의 값보다 낮 으면 귀무 가설이 있습니다. 동분 산성이 있습니다.
- 임계 값이 표의 값보다 높으면 대립 가설이 있습니다. 동분 산성이 없습니다.
SPSS, MiniTab, R, Python Pandas, SAS, StatGraphic 및 기타 여러 가지 통계 소프트웨어 패키지의 대부분은 Breusch-Pagan 동분 산성 테스트를 통합합니다. 분산의 균일 성을 확인하는 또 다른 테스트는 Levene 테스트입니다.
참고 문헌
- 박스, 헌터 & 헌터. (1988) 연구자를위한 통계. 나는 편집자를 뒤집었다.
- Johnston, J (1989). 계량 경제법, Vicens -Vives 편집자.
- Murillo와 González (2000). 계량 경제학 매뉴얼. 라스 팔마스 데 그란 카나리아 대학교. 출처 : ulpgc.es.
- Wikipedia. 동성애. 출처 : es.wikipedia.com
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