피타고라스 정체성 은 모든 각도 값을 유지하는 삼각 방정식이며 피타고라스 정리를 기반으로합니다. 가장 유명한 피타고라스 정체성은 기본적인 삼각 정체성입니다.
Sin 2 (α) + Cos 2 (α) = 1
그림 1. 피타고라스 삼각법 정체성.
다음으로 중요한 것은 접선과 시컨트의 피타고라스 정체성을 사용합니다.
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α)
코탄젠트와 코시컨트를 포함하는 피타고라스 삼각법 정체성 :
1 + Ctg 2 (α) = Csc 2 (α)
데모
삼각비 사인 및 코사인은 삼각 원으로 알려진 반지름 1의 원에 표시됩니다. 상기 원은 좌표 O의 원점에 중심이 있습니다.
각도는 X의 양의 반축에서 측정됩니다 (예 : 그림 2의 각도 α) (아래 참조). 각도가 양수이면 시계 반대 방향이고 음수이면 시계 방향입니다.
원점이 O이고 각도가 α 인 광선이 그려져 점 P에서 단위 원을 가로 챕니다. 점 P는 수평축 X에서 직각으로 투영되어 점 C가됩니다. 마찬가지로 P는 수직축 Y에 수직으로 투영됩니다. 지점 S.
C에 직각 삼각형 OCP가 있습니다.
사인과 코사인
삼각비 사인은 다음과 같이 직각 삼각형에 정의된다는 점을 기억해야합니다.
삼각형 각도의 사인은 각도 반대편 다리와 삼각형의 빗변 사이의 비율 또는 몫입니다.
그림 2의 삼각형 OCP에 적용하면 다음과 같습니다.
센 (α) = CP / OP
그러나 CP = OS 및 OP = 1이므로 :
Sen (α) = OS
즉, Y 축의 투영 OS가 표시된 각도의 사인과 동일한 값을 갖습니다. 각도 (+1)의 사인의 최대 값은 α = 90º 일 때 발생하고 최소값 (-1)은 α = -90º 또는 α = 270º 일 때 발생합니다.
그림 2. 피타고라스 정리와 기본 삼각법 정체성 사이의 관계를 보여주는 삼각 원. (자신의 정교함)
마찬가지로 각도의 코사인은 각도에 인접한 다리와 삼각형의 빗변 사이의 몫입니다.
그림 2의 삼각형 OCP에 적용하면 다음과 같습니다.
Cos (α) = OC / OP
그러나 OP = 1이므로 :
Cos (α) = OC
이는 X 축의 투영 OC가 표시된 각도의 사인과 동일한 값을 가짐을 의미합니다. α = 0º 또는 α = 360º 일 때 코사인 (+1)의 최대 값이 발생하고 α = 180º 일 때 코사인의 최소값이 (-1)임을 유의해야합니다.
근본적인 정체성
C의 직각 삼각형 OCP의 경우 다리의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 피타고라스 정리가 적용됩니다.
CP 2 + OC 2 = OP 2
그러나 CP = OS = Sen (α), OC = Cos (α) 및 OP = 1이라고 이미 말 했으므로 이전 표현식은 각도의 사인과 코사인의 함수로 다시 쓸 수 있습니다.
Sin 2 (α) + Cos 2 (α) = 1
접선의 축
삼각 원의 X 축이 코사인 축이고 Y 축이 사인 축인 것처럼, 같은 방식으로 점에서 단위 원에 대한 접선 인 접선 축 (그림 3 참조)이 있습니다. 좌표 B (1, 0).
각도의 접선 값을 알고 싶다면 X의 양의 반축에서 각도를 그리고 접선 축과 각도의 교차점은 점 Q를 정의하고 세그먼트 OQ의 길이는 접선의 접선입니다. 각도.
이는 정의에 따라 각도 α의 접선이 인접한 레그 OB 사이의 반대 레그 QB이기 때문입니다. 즉, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB입니다.
그림 3. 탄젠트의 축과 탄젠트의 피타고라스 정체성을 보여주는 삼각 원. (자신의 정교함)
탄젠트의 피타고라스 정체성
탄젠트의 피타고라스 정체성은 B에서 직각 삼각형 OBQ를 고려하여 증명할 수 있습니다 (그림 3). 이 삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면 BQ 2 + OB 2 = OQ 2 입니다. 그러나 이미 BQ = Tan (α), OB = 1, OQ = Sec (α)라고 말 했으므로 직각 삼각형 OBQ를 피타고라스 평등으로 대체하면 다음과 같습니다.
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α).
예
다리 AB = 4 및 BC = 3의 직각 삼각형에서 피타고라스 정체성이 충족되는지 확인하십시오.
솔루션 : 다리가 알려져 있고 빗변을 결정해야합니다.
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
각도 ∡BAC는 α, ∡BAC = α라고합니다. 이제 삼각비가 결정됩니다.
센 α = BC / AC = 3/5
Cos α = AB / AC = 4/5
그래서 α = BC / AB = 3/4
코탄 α = AB / BC = 4/3
초 α = AC / AB = 5/4
Csc α = AC / BC = 5/3
기본적인 삼각법 아이덴티티로 시작됩니다.
Sin 2 (α) + Cos 2 (α) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1
성취되었다고 결론지었습니다.
-다음 피타고라스 정체성은 탄젠트의 정체성입니다.
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
그리고 접선의 정체가 확인되었다고 결론지었습니다.
-코탄젠트와 비슷한 방식으로 :
1 + Ctg 2 (α) = Csc 2 (α)
1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
주어진 삼각형에 대한 피타고라스 신원을 확인하는 작업이 완료되어 그것이 또한 성취되었다고 결론지었습니다.
해결 된 운동
삼각비의 정의와 피타고라스 신원을 바탕으로 다음 신원을 증명합니다.
연습 1
Cos 2 x = (1 + Sin x) (1-Sin x) 임을 증명하십시오 .
솔루션 : 오른쪽에서 우리는 우리가 알고 있듯이 제곱의 차이 인 켤레에 의한 이항 곱셈의 놀라운 결과를 인식합니다.
Cos 2 x = 12 -Sin 2 x
그런 다음 오른쪽에 사인이있는 항은 기호가 변경된 상태로 왼쪽으로 전달됩니다.
Cos 2 x + Sen 2 x = 1
기본 삼각법 동일성에 도달 했으므로 주어진 표현이 동일성, 즉 x의 모든 값에 대해 충족된다는 결론을 내립니다.
연습 2
기본 삼각법 정체성에서 시작하여 삼각비의 정의를 사용하여 코시컨트의 피타고라스 정체성을 보여줍니다.
솔루션 : 기본적인 정체성은 다음과 같습니다.
Sin 2 (x) + Cos 2 (x) = 1
두 구성원 모두 Sen 2 (x) 로 나뉘고 분모는 첫 번째 구성원에 분배됩니다.
Sin 2 (x) / Sin 2 (x) + Cos 2 (x) / Sin 2 (x) = 1 / Sin 2 (x)
간단합니다.
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x)은 삼각 비율의 정의에 의해 확인되는 (비 피타고라스) 동일성입니다. 다음 ID에서도 동일하게 발생합니다. 1 / Sen (x) = Csc (x).
마지막으로 다음을 수행해야합니다.
1 + Ctg 2 (x) = Csc 2 (x)
참고 문헌
- Baldor J. (1973). 삼각법을 소개하는 평면 및 공간 기하학. 중앙 아메리카 문화. AC
- CEA (2003). 기하학 요소 : 연습 및 나침반 기하학. 메 델린 대학교.
- Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). 수학 2. Grupo Editorial Patria.
- IGER. (sf). 수학 첫 학기 타카 나. IGER.
- 주니어 기하학. (2014). 다각형. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren 및 Hornsby. (2006). 수학 : 추론 및 응용 (제 10 판). 피어슨 교육.
- Patiño, M. (2006). 수학 5. 편집 Progreso.
- Wikipedia. 삼각법 정체성과 공식. 출처 : es.wikipedia.com