수학적 논리 또는 상징적 인 논리는 커버 도구를 통해 하나가 긍정 또는 수학적 추론을 거부 할 수있는 수학적 언어입니다.
수학에는 모호함이 없다는 것은 잘 알려져 있습니다. 수학적 인수가 주어지면 유효하거나 그렇지 않습니다. 동시에 거짓과 참일 수 없습니다.
수학의 특별한 측면은 논쟁의 타당성을 결정할 수있는 형식적이고 엄격한 언어를 가지고 있다는 것입니다. 특정 추론이나 수학적 증거를 반박 할 수없는 것은 무엇입니까? 그것이 수학적 논리의 전부입니다.
따라서 논리는 수학적 추론과 증명을 연구하고 이전 진술이나 제안에서 올바른 결론을 추론 할 수있는 도구를 제공하는 수학 분야입니다.
이를 위해 공리와 나중에 개발 될 기타 수학적 측면을 사용합니다.
기원과 역사
수학적 논리의 여러 측면과 관련하여 정확한 날짜는 불확실합니다. 그러나이 주제에 대한 대부분의 참고 문헌은 그 기원을 고대 그리스로 추적합니다.
아리스토텔레스
논리에 대한 엄격한 처리의 시작은 부분적으로 논리 작업 세트를 저술 한 아리스토텔레스가 그 원인으로, 나중에 중세까지 다른 철학자와 과학자들이 편집하고 개발했습니다. 이것은 "오래된 논리"로 간주 될 수 있습니다.
나중에 현대 시대로 알려진 라이프니츠는 수학적으로 추론 할 수있는 보편적 언어를 확립하려는 깊은 열망에 의해 움직 였고, Gottlob Frege와 Giuseppe Peano와 같은 다른 수학자들은 특히 큰 공헌으로 수학적 논리의 발전에 영향을 미쳤습니다. , 그중에서 자연수의 필수 속성을 공식화하는 Peano Axioms.
수학자 George Boole과 Georg Cantor는 집합 이론과 진리표에 중요한 공헌을했으며, 다른 측면 중에서도 특히 Boolean Algebra (George Boole)와 선택의 공리를 강조하여 큰 영향을 미쳤습니다. (George Cantor에 의해).
명제, Symbolic Logic 개발의 열쇠, 유명한 Venn 다이어그램을 사용하는 Jhon Venn 사이의 부정, 접속사, 분리 및 조건을 고려하는 잘 알려진 Morgan 법칙을 가진 Augustus De Morgan도 있습니다.
20 세기에 약 1910 년에서 1913 년 사이에 Bertrand Russell과 Alfred North Whitehead는 일련의 공리와 논리 결과를 수집, 개발 및 가정하는 일련의 책인 Principia mathematica를 출판하여 눈에 띄게되었습니다.
수학적 논리는 무엇을 연구합니까?
제안
수학적 논리는 명제 연구에서 시작됩니다. 명제는 그것이 사실인지 아닌지 모호함없이 말할 수있는 진술입니다. 다음은 명제의 예입니다.
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- 1930 년 유럽에서 지진이 발생했습니다.
첫 번째는 참 진술이고 두 번째는 거짓 진술입니다. 세 번째는 그것을 읽는 사람이 그것이 사실인지 즉시 알지 못할지라도 그것이 실제로 일어 났는지 여부를 테스트하고 결정할 수있는 진술이다.
다음은 명제가 아닌 표현의 예입니다.
- 그녀는 금발입니다.
- 2x = 6.
- 놀자!
- 너는 영화를 좋아하니
첫 번째 명제에서는 "그녀"가 누구인지 명시되어 있지 않으므로 어떤 것도 확인할 수 없습니다. 두 번째 명제에서 "x"가 나타내는 것은 지정되지 않았습니다. 대신에 어떤 자연수 x에 대해 2x = 6이라고 말하면,이 경우 x = 3에 대해 충족되기 때문에 실제로는 명제에 해당합니다.
마지막 두 진술은 거부하거나 확인할 방법이 없기 때문에 명제와 일치하지 않습니다.
잘 알려진 논리적 연결 (또는 커넥터)을 사용하여 두 개 이상의 명제를 결합 (또는 연결) 할 수 있습니다. 이것들은:
- 부정 : "비가 오지 않는다."
- 분리 : "Luisa는 흰색 또는 회색 가방을 샀습니다."
- 연결 : "4 2 = 16 및 2 × 5 = 10".
- 조건부 : "비가 오면 오늘 오후에 체육관에 가지 않을 것입니다."
- 두 조건부 : "나는 오늘 오후에 체육관에 간다. 비가 오지 않는 경우에만."
이전 연결이없는 명제를 단순 (또는 원자) 명제라고합니다. 예를 들어, "2 is less than 4"는 간단한 명제입니다. 몇 가지 연결이있는 명제는 "1 + 3 = 4이고 4는 짝수입니다."와 같이 복합 명제라고합니다.
명제를 통한 진술은 일반적으로 길기 때문에 지금까지 본 것처럼 항상 작성하는 것이 지루합니다. 이러한 이유로 상징적 언어가 사용됩니다. 명제는 일반적으로 P, Q, R, S 등과 같은 대문자로 표시됩니다. 그리고 다음과 같은 상징적 연결 :
그래서
조건부 명제 의 반대
명제입니다
그리고 명제 의 반대 (또는 반대)
명제입니다
진실 테이블
논리의 또 다른 중요한 개념은 진리표입니다. 명제의 진실 값은 명제에 대한 두 가지 가능성입니다 : 참 (V로 표시되고 진실 값이 V로 표시됨) 또는 거짓 (F로 표시되고 그 값으로 표시됨) 정말 F).
복합 명제의 진실 가치는 그 안에 나타나는 단순한 명제의 진실 가치에만 의존합니다.
보다 일반적인 방법으로 작업하기 위해 특정 명제를 고려하지 않고 명제를 나타내는 명제 변수 p, q, r, s 등을 고려합니다.
이러한 변수와 논리 연결을 통해 복합 명제가 구축되는 것처럼 잘 알려진 명제 공식이 형성됩니다.
명제 공식에 나타나는 각 변수가 명제로 대체되면 복합 명제가 얻어집니다.
다음은 논리적 연결에 대한 진리표입니다.
진리표에서 V 값만받는 명제 공식이 있습니다. 즉, 진리표의 마지막 열에는 V 값만 있습니다. 이러한 유형의 공식을 토톨 로지라고합니다. 예를 들면 :
다음은 공식의 진리표입니다.
공식 α는 β가 참일 때마다 α가 참이면 다른 공식 β를 논리적으로 의미한다고합니다. 즉, α와 β의 진리표에서 α에 V가 있고 β도 V가있는 행이 있습니다. 우리는 α에 V가있는 행에만 관심이 있습니다. 논리적 의미에 대한 표기법은 다음과 같습니다. :
다음 표에는 논리적 의미의 속성이 요약되어 있습니다.
두 개의 명제 식은 진리표가 동일하면 논리적으로 동등하다고합니다. 다음 표기법은 논리적 동등성을 표현하는 데 사용됩니다.
다음 표에는 논리적 동등성의 속성이 요약되어 있습니다.
수학적 논리의 유형
특히 철학을 가리키는 실용적 또는 비공식적 논리를 고려하는 경우 다른 유형의 논리가 있습니다.
수학에 관한 한 논리 유형은 다음과 같이 요약 할 수 있습니다.
- 형식적 또는 아리스토텔레스 적 논리 (고대 논리).
- 명제 논리 : 형식적 및 상징적 언어를 사용하여 주장 및 명제의 타당성과 관련된 모든 연구를 담당합니다.
- 상징적 논리 : 집합과 그 속성에 대한 연구에 초점을 맞추고 형식적 및 상징적 언어를 사용하며 명제 논리와 깊이 연결됩니다.
- 조합 논리 : 가장 최근에 개발 된 논리 중 하나는 알고리즘을 사용하여 개발할 수있는 결과를 포함합니다.
- 논리 프로그래밍 : 다양한 패키지 및 프로그래밍 언어에서 사용됩니다.
지역
추론과 논증의 발전에 없어서는 안될 방식으로 수학적 논리를 사용하는 영역 중에서 철학, 집합 이론, 수 이론, 대수 구성 수학 및 프로그래밍 언어가 두드러집니다.
참고 문헌
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