패 모건의 눈 수립 명제 논리에서 사용되는 추론 규칙이다 무엇 분리 및 제안 또는 제적 변수의 결합을 거부 한 결과. 이 법칙은 수학자 Augustus De Morgan에 의해 정의되었습니다.
모건의 법칙은 수학적 추론의 타당성을 입증하는 데 매우 유용한 도구입니다. 나중에 그들은 수학자 George Boole에 의해 집합 개념 내에서 일반화되었습니다.
Boole이 만든이 일반화는 초기 Morgan의 법칙과 완전히 동일하지만 명제보다는 세트를 위해 특별히 개발되었습니다. 이 일반화는 Morgan의 법칙이라고도합니다.
명제 논리의 검토
구체적으로 Morgan의 법칙이 무엇이며 어떻게 사용되는지 살펴보기 전에 명제 논리의 기본 개념을 기억하는 것이 도움이됩니다. (자세한 내용은 명제 논리에 대한 기사를 참조하십시오).
수학적 (또는 명 제적) 논리의 영역에서 추론은 일련의 전제 또는 가설에서 내린 결론입니다. 이 결론은 앞서 언급 한 전제와 함께 수학적 추론으로 알려진 결과를 낳습니다.
그러한 추론은 입증 가능하거나 거부되어야합니다. 즉, 수학적 추론의 모든 추론이나 결론이 유효한 것은 아닙니다.
그릇된 생각
사실로 간주되는 특정 가설에서 만든 잘못된 추론을 오류라고합니다. 오류는 옳은 것처럼 보이지만 수학적으로는 그렇지 않습니다.
명제 논리는 모호함없이 수학적 추론을 검증하거나 반박 할 수있는 방법을 개발하고 제공하는 정확한 책임이 있습니다. 즉, 전제에서 유효한 결론을 추론합니다. 이러한 방법을 추론 규칙이라고하며 모건의 법칙이 일부입니다.
제안
명제 논리의 필수 요소는 명제입니다. 명제는 유효하거나 유효하지 않다고 말할 수 있지만 동시에 참 또는 거짓이 될 수없는 진술입니다. 이 문제에는 모호함이 없어야합니다.
덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 연산을 통해 숫자를 결합 할 수있는 것처럼 명제는 잘 알려진 논리 연결 (또는 연결)을 통해 연산 할 수 있습니다. 부정 (¬, "not"), 분리 (V , "Or"), 접속사 (Ʌ, "and"), 조건부 (→, "if…, then…") 및 쌍 조건부 (↔, "if 및 only if").
보다 일반적으로 작동하려면 특정 명제를 고려하는 대신 명제를 나타내는 명제 변수가 고려되며 일반적으로 소문자 p, q, r, s 등으로 표시됩니다.
명제 공식은 일부 논리 연결을 사용하여 명제 변수의 조합입니다. 즉, 명제 변수의 구성입니다. 일반적으로 그리스 문자로 표시됩니다.
명제 식은 전자가 참일 때마다 후자가 참일 때 논리적으로 다른 것을 의미한다고한다. 이것은 다음과 같이 표시됩니다.
두 명제 공식 사이의 논리적 의미가 상호적일 때 (즉, 이전 의미가 반대의 의미에서도 유효 할 때) 공식은 논리적으로 동등하다고 말하고 다음과 같이 표시됩니다.
논리적 동등성은 명제 공식 간의 일종의 동등성이며 필요할 때 하나를 다른 것으로 대체 할 수 있습니다.
모건의 법칙
모건의 법칙은 두 가지 명제 형식 사이의 두 논리적 동등성으로 구성됩니다.
이 법칙은 관련 변수의 부정으로서 분리 또는 접속사의 부정을 분리하는 것을 허용합니다.
첫 번째는 다음과 같이 읽을 수 있습니다. 분리의 부정은 부정의 결합과 같습니다. 두 번째는 이렇게 읽습니다. 접속사의 부정은 부정의 분리입니다.
즉, 두 명제 변수의 분리를 부정하는 것은 두 변수의 부정을 결합하는 것과 같습니다. 마찬가지로 두 명제 변수의 결합을 거부하는 것은 두 변수의 부정을 분리하는 것과 같습니다.
앞서 언급했듯이이 논리적 동등성을 대체하면 다른 기존 추론 규칙과 함께 중요한 결과를 입증하는 데 도움이됩니다. 이것들을 사용하면 많은 명제 공식을 단순화 할 수 있으므로 더 유용하게 사용할 수 있습니다.
다음은 Morgan의 법칙을 포함한 추론 규칙을 사용한 수학적 증명의 예입니다. 구체적으로 다음 공식이 표시됩니다.
다음과 동일합니다.
후자는 이해하고 개발하기가 더 간단합니다.
데모
모건 법칙의 타당성은 수학적으로 입증 될 수 있다는 점을 언급 할 가치가 있습니다. 한 가지 방법은 진리표를 비교하는 것입니다.
세트
동일한 추론 규칙과 명제에 적용되는 논리 개념도 집합을 고려하여 개발할 수 있습니다. 이것은 수학자 George Boole의 이름을 따서 불리언 대수로 알려진 것입니다.
경우를 구별하기 위해 표기법을 변경하고 이미 본 명제 논리의 모든 개념을 집합으로 전송할 필요가 있습니다.
집합은 개체의 모음입니다. 집합은 대문자 A, B, C, X, …로 표시되고 집합의 요소는 소문자 a, b, c, x 등으로 표시됩니다. 요소 a가 집합 X에 속하면 다음과 같이 표시됩니다.
X에 속하지 않는 경우 표기법은 다음과 같습니다.
집합을 나타내는 방법은 요소를 중괄호 안에 배치하는 것입니다. 예를 들어, 자연수 집합은 다음과 같이 표시됩니다.
집합은 요소의 명시적인 목록을 작성하지 않고도 표현할 수 있습니다. {:} 형식으로 표현할 수 있습니다. 콜론은 "such that"로 읽습니다. 두 지점의 왼쪽에는 세트의 요소를 나타내는 변수가 배치되고 오른쪽에는 만족하는 속성 또는 조건이 배치됩니다. 이것은:
예를 들어 -4보다 큰 정수 집합은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
또는 동등하게 더 약어로 다음과 같이합니다.
마찬가지로 다음 식은 각각 홀수 및 짝수 집합을 나타냅니다.
집합의 결합, 교차 및 보완
다음으로 집합 간의 기본 연산의 일부인 집합의 경우 논리적 연결의 유사체를 볼 수 있습니다.
연합과 교차로
집합의 합집합과 교집합은 각각 다음과 같이 정의됩니다.
예를 들어, 다음 세트를 고려하십시오.
따라서 다음을 수행해야합니다.
보어
집합의 보완은 해당 집합에 속하지 않는 요소 (원본이 나타내는 것과 동일한 유형)로 구성됩니다. 집합 A의 보완은 다음과 같이 표시됩니다.
예를 들어, 자연수 내에서 짝수 집합의 보수는 홀수이며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
집합의 보완을 결정하려면 고려중인 요소의 보편적 또는 주요 집합이 처음부터 명확해야합니다. 예를 들어, 자연수에 대한 집합의 보완을 유리수에 대한 것으로 간주하는 것은 동일하지 않습니다.
다음 표는 이전에 정의 된 집합에 대한 연산과 명제 논리의 연결 사이에 존재하는 관계 또는 비유를 보여줍니다.
세트에 대한 모건의 법칙
마지막으로, 세트에 대한 Morgan의 법칙은 다음과 같습니다.
즉, 결합의 보완은 보완의 교차점이고 교차의 보완은 보완의 결합입니다.
첫 번째 평등에 대한 수학적 증명은 다음과 같습니다.
두 번째 증거는 유사합니다.
참고 문헌
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