영의 모듈 : 미적분, 응용, 예제, 연습 - 물리적 인 - 2025

영률 또는 탄성률이 힘 하에서 대상물을 갖는 길이가 각각 증가 또는 감소에 인장 또는 압축과 관련하여 일정하다.

물체에 적용된 외부 힘은 움직임 상태를 변경할 수있을뿐만 아니라 모양을 변경하거나 심지어는 물체를 부수거나 파열시킬 수도 있습니다.

그림 1. 고양이의 움직임은 탄력과 우아함으로 가득 차 있습니다. 출처 : Pixabay.

Young 's modulus는 인장력 또는 압축력이 외부에 적용될 때 재료에서 생성되는 변화를 연구하는 데 사용됩니다. 공학이나 건축과 같은 과목에서 매우 유용합니다.

이 모델의 이름은 다른 재료의 강성 측정을 제안하는 재료 연구를 수행 한 영국 과학자 Thomas Young (1773-1829)에게 있습니다.

영의 모델은 무엇입니까?

Young의 모델은 강성의 척도입니다. 강성이 낮은 재료 (빨간색)에서는 확장 또는 압축 하중 하에서 더 많은 변형이 있습니다. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

물체가 얼마나 변형 될 수 있습니까? 이것은 엔지니어가 종종 알고 싶어하는 것입니다. 대답은 재료의 특성과 재료의 크기에 따라 다릅니다.

예를 들어 알루미늄으로 만든 두 개의 막대를 치수가 서로 다른 것을 비교할 수 있습니다. 각각은 다른 단면적과 길이를 가지며 둘 다 동일한 인장력을받습니다.

예상되는 동작은 다음과 같습니다.

-바의 두께 (단면)가 클수록 신축성이 적습니다.

-초기 길이가 길수록 최종 스트레치가 커집니다.

이것은 결국 고무 밴드를 변형시키려는 시도가 강철 막대로 시도하는 것과 같지 않다는 것을 경험으로 보여주기 때문에 의미가 있습니다.

재료의 탄성 계수라고하는 매개 변수는 탄성 응답을 나타냅니다.

어떻게 계산됩니까?

의사이기 때문에 Young은 혈액 순환의 좋은 성능에서 동맥의 탄력성의 역할을 알고 싶었습니다. 그의 경험에서 그는 다음과 같은 경험적 관계를 결론지었습니다.

다음 그림과 같이 응력을 가한 상태에서 재료의 동작을 그래픽으로 표현할 수 있습니다.

그림 2. 재료에 대한 응력 대 변형 그래프. 출처 : 자체 제작.

출발지에서 지점 A까지

원점에서 점 A로 이동하는 첫 번째 섹션에서 그래프는 직선입니다. Hooke의 법칙이 유효합니다 :

F = kx

F는 재료를 원래 상태로 되 돌리는 힘의 크기이고, x는 재료가 경험하는 변형이고 k는 응력을받는 물체에 따라 달라지는 상수입니다.

여기서 고려되는 변형은 작고 거동은 완벽하게 탄력적입니다.

A에서 B까지

A에서 B까지 재료도 탄력적으로 동작하지만 응력과 변형 간의 관계는 더 이상 선형이 아닙니다.

B에서 C로

지점 B와 C 사이에서 재료는 영구 변형되어 원래 상태로 돌아갈 수 없습니다.

C에서

재료가 C 점에서 계속 늘어 나면 결국 부서집니다.

수학적으로 영의 관찰은 다음과 같이 요약 될 수 있습니다.

스트레스 ∝ 스트레인

비례 상수가 정확히 재료의 탄성 계수 인 경우 :

응력 = 탄성 계수 x 변형

재료를 변형하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 물체가받는 가장 일반적인 세 ​​가지 유형의 스트레스는 다음과 같습니다.

-긴장 또는 스트레칭.

-압축.

-자르거나 깎습니다.

예를 들어 토목 건축 또는 자동차 부품과 같이 재료가 일반적으로받는 스트레스 중 하나는 견인입니다.

방식

길이가 L 인 물체가 늘어나거나 팽팽 해지면 길이에 변화를 일으키는 견인을 받게됩니다. 이 상황의 다이어그램은 그림 3에 나와 있습니다.

이것은 새로운 길이가 L + DL이되는 방식으로 신장을 유발하기 위해 단위 면적당 크기 F의 힘을 그 끝에 적용해야합니다.

물체를 변형하기위한 노력은 단위 면적당이 힘일 뿐이며 경험하는 변형률은 ΔL / L입니다.

그림 3. 견인 또는 스트레칭을받는 물체가 늘어납니다. 출처 : 자체 제작.

Young 's modulus를 Y로 표시하고 위의 내용에 따라 :

답은 변형이 원래 길이에 대한 상대적인 변형을 나타낸다는 사실에 있습니다. 길이가 100m 인 구조물이 1cm 씩 똑같이 변형되기 때문에 1m 막대가 1cm 씩 늘어나거나 줄어드는 것과는 다릅니다.

부품 및 구조의 적절한 기능을 위해 허용 가능한 상대 변형에 대한 공차가 있습니다.

변형을 계산하는 방정식

위의 방정식이 다음과 같이 분석되는 경우 :

-단면적이 클수록 변형이 적습니다.

-길이가 길수록 변형이 커집니다.

-Young 's modulus가 높을수록 변형이 적습니다.

응력의 단위는 뉴턴 / 평방 미터 (N / m ² )에 해당합니다. 그들은 또한 국제 시스템에서 파스칼이라는 이름을 가진 압력 단위입니다. 반면 변형 ΔL / L은 두 길이 사이의 몫이기 때문에 차원이 없습니다.

영국식 시스템의 단위는 lb / in ² 이며 매우 자주 사용됩니다. 하나에서 다른 것으로 이동하는 변환 계수는 14.7 lb / in ² = 1.01325 x 10 ⁵ Pa입니다.

이것은 압력 단위도 갖는 영 계수로 이어집니다. 마지막으로, 위의 방정식을 표현하여 Y를 풀 수 있습니다.

재료 과학에서 다양한 노력에 대한 탄성 반응은 항공기 날개를 제조하든 자동차 베어링을 제조하든 각 응용 분야에 가장 적합한 것을 선택하는 데 중요합니다. 사용되는 재료의 특성은 예상되는 반응에서 결정적입니다.

최상의 재료를 선택하려면 특정 조각이받을 응력을 알아야합니다. 결과적으로 디자인과 가장 일치하는 특성을 가진 재료를 선택합니다.

예를 들어 비행기의 날개는 강하고 가벼우 며 구부릴 수 있어야합니다. 건물 건설에 사용되는 재료는 지진 이동에 대한 저항력이 크지 만 유연성도 있어야합니다.

비행기 날개를 설계하는 엔지니어와 건축 자재를 선택하는 엔지니어는 그림 2에 표시된 것과 같은 응력-변형 그래프를 사용해야합니다.

재료의 가장 관련성이 높은 탄성 특성을 결정하기위한 측정은 전문 실험실에서 수행 할 수 있습니다. 따라서 다양한 응력이 적용되는 샘플에 적용되는 표준화 된 테스트가 있으며 결과 변형이 측정됩니다.

예

위에서 이미 언급했듯이 Y는 물체의 크기 나 모양이 아니라 재료의 특성에 의존합니다.

또 다른 매우 중요한 참고 사항 : 위에 주어진 방정식을 적용하려면 재질이 등방성이어야합니다. 즉, 속성이 전체적으로 변하지 않아야합니다.

모든 재료가 등방성은 아닙니다. 탄성 반응이 특정 방향 매개 변수에 따라 달라지는 재료가 있습니다.

이전 세그먼트에서 분석 된 변형은 재료가받을 수있는 많은 변형 중 하나 일뿐입니다. 예를 들어 압축 응력의 경우 인장 응력의 반대입니다.

주어진 방정식은 두 경우 모두에 적용되며 Y의 값은 거의 항상 동일합니다 (등방성 재료).

주목할만한 예외는 콘크리트 또는 시멘트로, 견인보다 압축에 더 잘 견딥니다. 따라서 스트레칭에 대한 저항이 필요할 때 강화되어야합니다. 강철은 인장이나 견인에 매우 잘 견디기 때문에이를 나타내는 재료입니다.

스트레스를받는 구조물의 예로는 건물 기둥과 아치, 많은 고대 및 현대 문명의 고전적인 건물 요소가 있습니다.

그림 4. 기원전 3 년 프랑스 남부의 로마 건축물 인 퐁 줄리앙.

해결 된 운동

연습 1

악기의 길이가 2.0m 인 강철 와이어의 반경은 0.03mm입니다. 케이블이 90N의 장력을받을 때 : 길이가 얼마나 변합니까? 데이터 : 강철의 영률은 200 x 10 ⁹ N / m ^2입니다.

해결책

단면적 A = πR ² = π 를 계산해야합니다 . (0.03 × 10 ^-3 m) ² = 2.83 × 10 ^-4 m ²

응력은 단위 면적당 응력입니다.

현이 장력을 받고 있기 때문에 길이가 늘어난다는 의미입니다.

새 길이는 L = L _o + DL입니다. 여기서 L _o 는 초기 길이입니다.

L = 2.32m

연습 2

그 단면적이 2.0 m 인 대리석 칼럼 ² 25,000kg의 질량을 지원한다. 찾기:

a) 척추의 노력.

b) 변형.

c) 높이가 12m 인 경우 기둥이 얼마나 짧습니까?

해결책

a) 기둥의 노력은 25000kg의 무게 때문입니다.

P = mg = 25000kg x 9.8m / s ² = 245,000N

따라서 노력은 다음과 같습니다.

b) 변형률은 ΔL / L입니다.

c) ΔL은 다음과 같이 주어진 길이의 변화입니다.

ΔL = 2.45 × 10 ^-6 × 12 m = 2.94 X10 ^-5 m = 0.0294 mm.

대리석 기둥은 크게 줄어들 것으로 예상되지 않습니다. Young 's modulus는 강철보다 대리석에서 더 낮고 기둥이 훨씬 더 큰 힘을 지탱하지만 길이는 거의 변하지 않습니다.

다른 한편으로, 이전 예의 로프에서는 강이 훨씬 더 높은 영률을 갖지만 변화가 훨씬 더 눈에 띕니다.

그것의 큰 단면적은 기둥에 개입하므로 훨씬 덜 변형됩니다.

Thomas Young 소개

1822 Thomas Young의 초상화. 토마스 로렌스 / 퍼블릭 도메인

탄성 계수는 ​​여러 분야에서 과학에 큰 공헌을 한 다재다능한 영국 과학자 인 Thomas Young (1773-1829)의 이름을 따서 명명되었습니다.

물리학자인 Young은 유명한 이중 슬릿 실험으로 밝혀진 빛의 파동 특성을 연구했을뿐만 아니라 의사이자 언어 학자였으며 유명한 로제타 석재에있는 이집트 상형 문자의 일부를 해독하는 데 도움을주었습니다.

그는 왕립 학회, 스웨덴 왕립 과학 아카데미, 미국 예술 및 과학 아카데미 또는 프랑스 과학 아카데미의 회원이었습니다.

그러나 모델의 개념은 이전에 Leonhar Euler (1707-1873)에 의해 개발되었으며 Giordano Riccati (1709-1790)와 같은 과학자들은 이미 Young의 모델을 실행에 옮기는 실험을 수행했음을 주목해야합니다. .

참고 문헌

1. Bauer, W. 2011. 공학 및 과학 물리학. 볼륨 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Physics : Principles with Applications. 여섯 번째 판. 프렌 티스 홀. 238 ~ 249.