오일러 방법 의 상미 분 방정식에 가까운 수치 해법 찾는 데 가장 기본적이고 간단한 방법이다 초기 조건이 알려진 것을 제공 첫번째 순서.
상미 분 방정식 (ODE)은 단일 독립 변수의 알려지지 않은 함수와 그 미분을 관련시키는 방정식입니다.
오일러의 방법에 의한 연속 근사. 출처 : Oleg Alexandrov
방정식에 나타나는 가장 큰 도함수가 1 차이면 1 차의 상미 분 방정식입니다.
1 차 방정식을 작성하는 가장 일반적인 방법은 다음과 같습니다.
x = x 0
y = y 0
오일러의 방법은 무엇입니까?
Euler의 방법의 아이디어는 X 0 과 X f 사이의 간격에서 미분 방정식에 대한 수치 솔루션을 찾는 것 입니다.
먼저 간격은 n + 1 포인트로 이산화됩니다.
X 0 , X 1 , X 2 , X 3 …, X의 N
다음과 같이 얻어집니다.
x i = x 0 + ih
여기서 h는 부분 구간의 너비 또는 단계입니다.
초기 조건을 사용하면 처음에 도함수를 아는 것도 가능합니다.
y '(x o ) = f (x o , y o )
이 미분은 정확히 점에서 함수 y (x) 곡선에 대한 접선의 기울기를 나타냅니다.
Ao = (x o , y o )
그런 다음 함수 y (x)의 값에 대한 대략적인 예측이 다음 지점에서 이루어집니다.
y (x 1 ) ≈ y 1
y 1 = y o + (x 1 -x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
그런 다음 솔루션의 대략적인 다음 지점을 얻었습니다.
A 1 = (x 1 , y 1 )
연속 포인트를 얻기 위해 절차가 반복됩니다.
2 하는 3 …, X의 N
처음에 표시된 그림에서 파란색 곡선은 미분 방정식의 정확한 해를 나타내고 빨간색 곡선은 오일러 절차에 의해 얻은 연속적인 근사 점을 나타냅니다.
해결 된 운동
연습 1
I ) 미분 방정식은 다음과 같습니다.
초기 조건 x = a = 0; 그리고 a = 1
오일러의 방법을 사용하여 좌표 X = b = 0.5에서 y의 근사 솔루션을 구하고 간격을 n = 5 부분으로 나눕니다.
해결책
수치 결과는 다음과 같이 요약됩니다.
여기서 값 0.5에 대한 솔루션 Y는 1.4851이라는 결론을 내립니다.
참고 : 무료 사용을위한 무료 프로그램 인 Smath Studio가 계산을 수행하는 데 사용되었습니다.
연습 2
II ) 연습 I)의 미분 방정식을 계속 사용하여 정확한 솔루션을 찾아 오일러 방법으로 얻은 결과와 비교합니다. 정확한 결과와 대략적인 결과 사이의 오차 또는 차이를 찾으십시오.
해결책
정확한 해결책은 찾기가 그리 어렵지 않습니다. 함수 sin (x)의 미분은 함수 cos (x)로 알려져 있습니다. 따라서 솔루션 y (x)는 다음과 같습니다.
y (x) = sin x + C
초기 조건이 충족되고 (0) = 1이 되려면 상수 C가 1이어야합니다. 그런 다음 정확한 결과를 대략적인 결과와 비교합니다.
계산 된 구간에서 근사값에는 세 개의 유효 정밀도 숫자가 있다는 결론을 내립니다.
연습 3
III ) 아래에 주어진 미분 방정식과 초기 조건을 고려하십시오.
y '(x) =-y 2
초기 조건 x 0 = 0; 그리고 0 = 1
오일러의 방법을 사용하여 구간 x =에서 해 y (x)의 근사값을 찾습니다. h = 0.1 단계를 사용하십시오.
해결책
오일러의 방법은 스프레드 시트와 함께 사용하기에 매우 적합합니다. 이 경우 무료 오픈 소스 프로그램 인 지오 지브라 스프레드 시트를 사용합니다.
그림의 스프레드 시트는 세 개의 열 (A, B, C)을 보여줍니다. 첫 번째 열은 변수 x, 두 번째 열은 변수 y, 세 번째 열은 미분 y '입니다.
행 2에는 X, Y, Y '의 초기 값이 포함됩니다.
값 단계 0.1이 절대 위치 셀 ($ D $ 4)에 배치되었습니다.
y0의 초기 값은 B2 셀에 있고 y1은 B3 셀에 있습니다. y 1 을 계산하기 위해 공식이 사용됩니다.
y 1 = y o + (x 1 -x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
이 스프레드 시트 공식은 숫자 B3 : = B2 + $ D $ 4 * C3입니다.
마찬가지로 y2는 셀 B4에 있으며 해당 수식은 다음 그림에 표시됩니다.
그림은 또한 정확한 솔루션의 그래프와 Euler의 방법에 의한 근사 솔루션의 점 A, B,…, P를 보여줍니다.
뉴턴 역학과 오일러의 방법
고전 역학은 Isaac Newton (1643-1727)에 의해 개발되었습니다. 레너드 오일러 (1707 ~ 1783)가 그의 방법을 개발 한 원래 동기는 다양한 물리적 상황에서 뉴턴의 제 2 법칙 방정식을 정확하게 푸는 것이 었습니다.
뉴턴의 2 차 법칙은 일반적으로 2 차 미분 방정식으로 표현됩니다.
여기서 x는 시간 t에서 객체의 위치를 나타냅니다. 상기 물체는 질량 m을 가지며 힘 F를 받는다. 함수 f는 다음과 같이 힘 및 질량과 관련됩니다.
오일러의 방법을 적용하려면 시간 t, 속도 v 및 위치 x의 초기 값이 필요합니다.
다음 표는 t2 = t1 + Δt 순간에서 초기 값 t1, v1, x1에서 속도 v2 및 위치 x2의 근사치를 얻을 수있는 방법을 설명합니다. 여기서 Δt는 약간의 증가를 나타내며 방법의 단계에 해당합니다. 오일러.
연습 4
IV ) 역학의 근본적인 문제 중 하나는 탄성 상수 K의 스프링 (또는 스프링)에 연결된 질량 M 블록의 문제입니다.
이 문제에 대한 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음과 같습니다.
이 예에서는 단순화를 위해 M = 1 및 K = 1을 사용합니다. 간격을 12 개 부분으로 세분화하여 시간 간격에 대한 오일러의 방법으로 위치 x 및 속도 v에 대한 근사 솔루션을 찾습니다.
초기 순간으로 0, 초기 속도 0, 초기 위치 1을 취합니다.
해결책
수치 결과는 다음 표에 나와 있습니다.
시간 0과 1.44 사이의 위치 및 속도 그래프도 표시됩니다.
가정을위한 제안 된 운동
연습 1
스프레드 시트를 사용하여 미분 방정식에 대한 오일러의 방법을 사용하여 근사 솔루션을 결정합니다.
y '=-간격 x =에서 초기 조건 x = 0, y = -1 인 Exp (-y)
0.1 단계로 시작하십시오. 결과를 플로팅합니다.
연습 2
스프레드 시트를 사용하여 다음 2 차 방정식에 대한 수치 솔루션을 찾으십시오. 여기서 y는 독립 변수 t의 함수입니다.
y ''=-1 / y² 초기 조건 t = 0; 및 (0) = 0.5; y '(0) = 0
0.05 단계를 사용하여 구간에서 해를 찾습니다.
결과를 플로팅합니다. y 대 t; y 'vs t
참고 문헌
- wikipedia.org에서 가져온 Eurler 방법
- 오일러 솔버. en.smath.com에서 가져옴