복소수는 실수와 부정 번호의 쌍 뿌리를 포함하여 다항식의 모든 뿌리를 덮고있는 수치 집합입니다. 이 근은 실수 세트에는 존재하지 않지만 복소수에는 솔루션이 있습니다.
복소수는 실수 부분과 "가상"부분으로 구성됩니다. 예를 들어 실수 부분은 a라고하고 허수 부분 ib는 a와 b 실수이고 "i"는 허수 단위입니다. 이런 식으로 복소수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
그림 1.-실수 부분과 허수 부분의 복소수의 이항 표현. 출처 : Pixabay.
복소수의 예는 2-3i, -πi, 1 + (1/2) i입니다. 그러나 그들과 함께 작동하기 전에이 2 차 방정식을 고려하여 가상 단위 i가 어디에서 유래했는지 봅시다.
X 2 - 10 배 + 34 = 0
여기서 a = 1, b = -10 및 c = 34입니다.
해결 공식을 적용하여 솔루션을 결정할 때 다음을 찾습니다.
√-36의 값을 결정하는 방법은 무엇입니까? 제곱이 음수를 생성하는 실수는 없습니다. 그런 다음이 방정식에는 실제 솔루션이 없다는 결론을 내립니다.
그러나 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
√-36 = √-6 2 = √6 2 (-1) = 6√-1
특정 값 x를 다음과 같이 정의하면 :
x 2 = -1
그래서:
x = ± √-1
그리고 위의 방정식은 해결책을 가질 것입니다. 따라서 가상 단위는 다음과 같이 정의되었습니다.
나는 = √-1
그래서 :
√-36 = 6i
고대의 많은 수학자, 특히 르네상스 지 롤라 모 카르 다노 (1501-1576), 니콜로 폰타나 (1501-1557) 및 라파엘 봄 벨리 (1526-1572)와 같은 유사한 문제를 해결하기 위해 노력했습니다.
몇 년 후 René Descartes (1596-1650)는이 예에서 √-36과 같은 양을“가상”이라고 불렀습니다. 이러한 이유로 √-1은 가상 단위로 알려져 있습니다.
복소수의 속성
-복소수의 집합은 C로 표시되며 실수 R과 허수 Im을 포함합니다. 숫자 세트는 다음 그림과 같이 벤 다이어그램으로 표시됩니다.
그림 2. 숫자 집합의 벤 다이어그램. 출처 : F. Zapata.
-모든 복소수는 실수 부와 허수 부로 구성됩니다.
-복소수의 허수 부가 0이면 순수한 실수입니다.
-복소수의 실수 부분이 0이면 그 숫자는 순수 허수입니다.
-두 개의 복소수는 각각의 실수 부분과 허수 부분이 같으면 같습니다.
-복소수를 사용하면 알려진 더하기, 빼기, 곱하기, 곱하기 및 향상 연산이 수행되어 또 다른 복소수가 생성됩니다.
복소수의 표현
복소수는 다양한 방식으로 표현할 수 있습니다. 주요 내용은 다음과 같습니다.
-이항 형식
이것은 처음에 주어진 형식입니다. 여기서 z는 복소수, a는 실수 부, b는 허수 부, i는 허수 단위입니다.
또는 :
복소수를 그래프로 표시하는 한 가지 방법은이 그림에 표시된 복소 평면을 사용하는 것입니다. 가상 축 Im은 수직이고 실제 축은 수평이며 Re로 표시됩니다.
복소수 z는 실제 평면의 점으로 수행되는 것처럼이 평면에서 좌표 (x, y) 또는 (a, b)의 점으로 표시됩니다.
원점에서 점 z까지의 거리는 r로 표시된 복소수의 계수이고, φ는 r이 실제 축과 만드는 각도입니다.
그림 3. 복소 평면에서 복소수의 표현. 출처 : Wikimedia Commons.
이 표현은 실제 평면의 벡터 표현과 밀접한 관련이 있습니다. r의 값은 복소수의 계수에 해당합니다.
-극형
극형은 r과 φ의 값을 제공하여 복소수를 표현하는 것으로 구성됩니다. 그림을 보면 r의 값은 직각 삼각형의 빗변에 해당합니다. 다리는 a와 b 또는 x와 y의 가치가 있습니다.
이항 또는 이항 형식에서 다음과 같은 방법으로 극지 형식으로 이동할 수 있습니다.
각도 φ는 가로 축 또는 가상 축과 함께 세그먼트 r에 의해 형성된 각도입니다. 복소수 인수라고합니다. 이런 식으로:
인수는 무한한 값을 가지며, 회전 할 때마다 2π 라디안의 가치가있는 r이 다시 같은 위치를 차지한다는 점을 고려합니다. 일반적으로 Arg (z)로 표시된 z의 인수는 다음과 같이 표현됩니다.
여기서 k는 정수이며 회전 수를 나타내는 데 사용됩니다 : 2, 3, 4… 기호는 시계 방향 또는 시계 반대 방향 인 경우 회전 방향을 나타냅니다.
그림 4. 복소 평면에서 복소수의 극 표현. 출처 : Wikimedia Commons.
그리고 극지 형태에서 이항 형태로 가고 싶다면 삼각비를 사용합니다. 이전 그림에서 볼 수 있습니다.
x = r cos φ
y = r sin φ
이런 식으로 z = r (cos φ + i sin φ)
다음과 같이 축약됩니다.
z = r cis φ
복소수의 예
다음 복소수는 이항 형식으로 제공됩니다.
a) 3 + 나
b) 4
d) -6i
그리고 이것들은 주문 된 쌍의 형태입니다.
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7.0)
마지막으로이 그룹은 극 또는 삼각 형식으로 제공됩니다.
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315º
그것들은 무엇입니까?
복소수의 유용성은 공학 및 물리학 분야, 특히 다음과 같은 분야에서 필수적이기 때문에 처음에 표시된 2 차 방정식을 푸는 것 이상입니다.
-전자파 연구
-교류 및 전압 분석
-모든 종류의 신호 모델링
-상대성 이론, 여기서 시간은 가상의 크기로 가정합니다.
복잡한 숫자 연산
복소수를 사용하면 실제 작업을 수행하는 모든 작업을 수행 할 수 있습니다. 일부는 숫자가 더하기 및 빼기와 같은 이항 형식으로 제공되는 경우 더 쉽게 수행 할 수 있습니다. 반대로 곱셈과 나눗셈은 극성 형식으로 수행하면 더 간단합니다.
몇 가지 예를 살펴 보겠습니다.
-예 1
z 1 = 2 + 5i 및 z 2 = -3 -8i 추가
해결책
실제 부품은 가상 부품과 별도로 추가됩니다.
z 1 + z 2 = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i
-예 2
곱하기 z 1 = 4 cis 45º 및 z 2 = 5 cis 120º
해결책
극 또는 삼각 형태의 두 복소수의 곱은 다음과 같이 주어진다는 것을 알 수 있습니다.
z 1 . z 2 = r 1 .r 2 cis (φ 1 + φ 2 )
이것에 따르면 :
z 1 . z 2 = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
신청
복소수의 간단한 적용은 기사의 시작 부분에 표시된 것과 같은 다항식의 모든 근을 찾는 것입니다.
식의 경우에는 X 2 : 우리 구하는 해결 식을 적용 배 + 34 = 0 -을
따라서 솔루션은 다음과 같습니다.
x 1 = 5 + 3i
x 2 = 5-3i
참고 문헌
- 얼, R. 복소수. 출처 : maths.ox.ac.uk.
- Figuera, J. 2000. 수학 1st. 다각화. CO-BO 에디션.
- Hoffmann, J. 2005. 수학 주제의 선택. Monfort 간행물.
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- Wikipedia. 복소수. 출처 : en.wikipedia.org