무리수는 따라서없는 발현 반복 패턴없이 무한 진수 숫자를 가지고 그이다 할 수득 에서 두 정수 사이의 비율.
가장 잘 알려진 무리수는 다음과 같습니다.
그림 1. 위에서 아래로 다음과 같은 비합리적인 숫자 : 파이, 오일러 수, 황금 비율 및 두 제곱근. 출처 : Pixabay.
그중에서도 의심 할 여지없이 π (pi)가 가장 친숙하지만 더 많이 있습니다. 그들 모두는 유리수와 무리수를 함께 그룹화하는 숫자 집합 인 실수 집합에 속합니다.
그림 1의 줄임표는 소수점이 무한정 계속됨을 나타냅니다. 일반 계산기의 공간에서는 몇 개만 표시 할 수 있습니다.
주의 깊게 살펴보면 두 정수 사이의 몫을 만들 때마다 숫자가 제한된 소수를 얻거나 그렇지 않은 경우 하나 이상의 숫자가 반복되는 무한한 숫자를 얻습니다. 음, 이것은 비합리적인 숫자로 발생하지 않습니다.
무리수의 역사
기원전 582 년 그리스 사모 스에서 태어난 위대한 고대 수학자 피타고라스는 피타고라스 사상 학교를 설립하고 그의 이름을 딴 유명한 정리를 발견했습니다. 여기 왼쪽 아래에 있습니다 (바빌로니아 사람들은 오래 전에 알고 있었을 것입니다).
그림 2. 변이 1 인 삼각형에 적용된 피타고라스 정리. 출처 : Pixabay / Wikimedia Commons.
글쎄요, 피타고라스 (또는 그의 제자 일 것입니다)가 변이 1 인 직각 삼각형에 정리를 적용했을 때, 그는 비합리적인 숫자 √2를 발견했습니다.
그는 이렇게했습니다.
c = √1 2 + 12 = √1 + 1 = √2
그리고 그는이 새로운 숫자가 당시 알려진 두 자연수 사이의 몫에서 나온 것이 아니라는 것을 즉시 깨달았습니다.
따라서 그는 그것을 비이성적이라고 불렀고 그 발견은 피타고라스 사람들에게 큰 불안과 당혹감을 불러 일으켰습니다.
무리수의 속성
-모든 무리수의 집합은 문자 I로 표시되며 때로는 Q * 또는 Q C로 표시 됩니다. 무리수 I 또는 Q *와 유리수 Q의 합집합은 실수 R의 집합을 생성합니다.
-비합리적인 숫자를 사용하면 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 권한 부여 등 알려진 산술 연산을 수행 할 수 있습니다.
-0으로 나누는 것도 무리수 사이에서도 정의되지 않습니다.
-무리수 사이의 합과 곱이 반드시 다른 무리수는 아닙니다. 예를 들면 :
√2 x √8 = √16 = 4
그리고 4는 비합리적인 숫자가 아닙니다.
-그러나 유리수에 무리수를 더하면 무리한 결과가 나옵니다. 이런 식으로:
1 + √2 = 2.41421356237…
-무리수로 0과 다른 유리수의 곱도 비합리적입니다. 이 예를 살펴 보겠습니다.
2 x √2 = 2.828427125…
-비이성적 인 역의 결과는 또 다른 비이성적 인 숫자가됩니다. 몇 가지를 시도해 보겠습니다.
1 / √2 = 0.707106781…
1 / √3 = 0.577350269…
이 숫자는 알려진 각도의 일부 삼각 비율 값이기 때문에 흥미 롭습니다. 대부분의 삼각비는 비이성적 인 숫자이지만, 합리적인 sin 30º = 0.5 = ½과 같은 예외가 있습니다.
-합산하면 교환 및 연관 속성이 충족됩니다. a와 b가 두 개의 비이성적 인 숫자이면 다음을 의미합니다.
a + b = b + a.
그리고 c가 또 다른 무리수이면 다음과 같습니다.
(a + b) + c = a + (b + c).
-더하기에 대한 곱셈의 분배 속성은 비합리적인 숫자에도 적용되는 또 다른 잘 알려진 속성입니다. 이 경우 :
a. (b + c) = ab + ac
-비이성적 인 a는 그 반대입니다 : -a. 함께 더하면 결과는 0입니다.
a + (-a) = 0
-두 개의 다른 이성 사이에 적어도 하나의 비이성적 인 숫자가 있습니다.
실제 라인에서 비합리적인 숫자의 위치
실수 선은 실수가있는 수평선으로,이 중 무리수가 중요한 부분입니다.
기하학적 형태의 실제 선에서 비합리적인 숫자를 찾으려면 피타고라스 정리, 눈금자 및 나침반을 사용할 수 있습니다.
예를 들어 실제 선에서 √5를 찾을 것입니다. 여기에 그림과 같이 x = 2 및 y = 1 인 변이있는 직각 삼각형을 그립니다.
그림 3. 실제 라인에서 무리수를 찾는 방법. 출처 : F. Zapata.
피타고라스 정리에 따르면 이러한 삼각형의 빗변은 다음과 같습니다.
c = √2 2 + 12 = √4 + 1 = √5
이제 나침반은 직각 삼각형의 꼭지점 중 하나가있는 0에있는 점에 배치됩니다. 나침반 연필의 포인트는 꼭지점 A에 있어야합니다.
실제 선을 자르는 원주의 호가 그려집니다. 원주의 중심과 그 위의 점 사이의 거리는 반경 (√5)이므로 교차점도 중심에서 √5 멀리 떨어져 있습니다.
그래프에서 √5는 2와 2.5 사이에 있음을 알 수 있습니다. 계산기는 다음과 같은 대략적인 값을 제공합니다.
√5 = 2.236068
따라서 적절한 변을 가진 삼각형을 만들면 √7 등과 같은 다른 비합리적인 요소를 찾을 수 있습니다.
무리수의 분류
비합리적인 숫자는 두 그룹으로 분류됩니다.
-대수
-초월 적 또는 초월 적
대수
비합리적 일 수도 있고 아닐 수도있는 대수는 일반적인 형식이 다음과 같은 다항식 방정식의 해입니다.
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 1 x + a o = 0
다항식의 예는 다음과 같은 2 차 방정식입니다.
X 3 - 0 = 2 배
무리수 √2가이 방정식의 해 중 하나임을 쉽게 보여줍니다.
초월적인 숫자
반면에 초월 적 숫자는 비합리적이지만 다항식에 대한 해결책으로 결코 발생하지 않습니다.
응용 수학에서 가장 빈번하게 발견되는 초월 적 숫자는 원주 및 숫자 e 또는 자연 로그의 밑인 오일러 수와의 관계로 인해 π입니다.
운동
그림에 표시된 위치의 검은 색 사각형에 회색 사각형이 배치됩니다. 검은 사각형의 면적은 64cm 2로 알려져 있습니다 . 두 사각형의 길이는 얼마입니까?
그림 4. 변의 길이를 구하려는 두 개의 정사각형. 출처 : F. Zapata.
댓글
측면이 L 인 정사각형의 면적은 다음과 같습니다.
A = L 2
검은 색 사각형의 면적은 64cm 2 이므로 옆면은 8cm 여야합니다.
이 측정 값은 회색 사각형의 대각선과 동일합니다. 이 대각선에 피타고라스 정리를 적용하고 정사각형의 변이 동일하다는 것을 기억하면 다음과 같이됩니다.
8 2 = L g 2 + L g 2
여기서 L g 는 회색 사각형의 변입니다.
따라서 : 2L g 2 = 8 2
등식의 양쪽에 제곱근 적용 :
L g = (8 / √2) cm
참고 문헌
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. 국립 문학 대학.
- Figuera, J. 2000. 수학 9th. 정도. CO-BO 에디션.
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- 교육 포털. 비합리적인 숫자와 그 속성. 출처 : portaleducativo.net.
- Wikipedia. 비합리적인 숫자. 출처 : es.wikipedia.org.