소수는 또한 자신 만 나눌과 1이 카테고리 번호 2 프라임 절대이다 그러한 자연수, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 많은 전화 을 더한.
대신, 합성 수는 그 자체로 1로 나눌 수 있으며 적어도 하나의 다른 숫자로 나눌 수 있습니다. 예를 들어 12는 1, 2, 4, 6, 12로 나눌 수 있습니다. 관례 적으로 1은 소수 목록이나 화합물 목록에 포함되지 않습니다.
그림 1. 소수. 출처 : Wikimedia Commons.
소수에 대한 지식은 고대로 거슬러 올라갑니다. 고대 이집트인들은 이미 그것들을 사용했고 그들은 확실히 오래 전에 알려졌습니다.
자연수는 소수의 곱으로 표현 될 수 있기 때문에이 숫자는 매우 중요합니다.이 표현은 인자의 순서를 제외하고는 고유합니다.
이 사실은 소수가 아닌 숫자는 반드시 숫자의 곱으로 구성된다는 것을 나타내는 산술의 기본 정리라는 정리에서 완전히 확립됩니다.
소수의 특성
소수의 주요 특징은 다음과 같습니다.
-소수가 아무리 크더라도 항상 더 큰 숫자를 찾을 수 있기 때문에 무한합니다.
-소수 p가 다른 수 a를 정확하게 나누지 않으면 p와 a가 서로 소수라고합니다. 이 경우 둘 다 가진 유일한 공약수는 1입니다.
a가 절대 소수 일 필요는 없습니다. 예를 들어, 5는 소수이고 12는 그렇지 않지만 둘 다 공약수로 1을 갖기 때문에 두 숫자는 서로 소수입니다.
-소수 p가 n의 거듭 제곱을 나누면 n도 나눕니다. 10의 거듭 제곱, 특히 10 2 인 100을 고려해 봅시다 . 2는 100과 10을 모두 나눕니다.
-2를 제외한 모든 소수는 홀수이므로 마지막 숫자는 1, 3, 7 또는 9입니다. 홀수이고 소수이지만 다른 소수의 최종 숫자가 아니기 때문에 5는 포함되지 않습니다. 사실 5로 끝나는 모든 숫자는 이것의 배수이므로 소수가 아닙니다.
-p가 두 수 ab의 곱의 소수와 제수이면 p는 그 중 하나를 나눕니다. 예를 들어, 3은 9의 제수이므로 소수 3은 제품 9 x 11 = 99를 나눕니다.
숫자가 소수인지 확인하는 방법
Primality는 프라임의 특성에 주어진 이름입니다. 음, 프랑스의 수학자 Pierre de Fermat (1601-1665)는 소위 Fermat의 작은 정리에서 숫자의 소수성을 확인하는 방법을 찾았습니다.
"소수 자연수 p와 0보다 큰 자연수 a가 주어지면, p가 소수 인 한 p -a는 p의 배수 인 것은 사실입니다 ."
작은 숫자를 사용하여이를 확증 할 수 있습니다. 예를 들어, 이미 알고있는 p = 4가 소수가 아니고 이미 = 6이라고 가정합니다.
6 4 - 6 = 1,296 - 1,290 = 6
숫자 1290은 정확히 4로 나눌 수 없으므로 4는 소수가 아닙니다.
이제 p = 5, 즉 소수이고 ya = 6 인 테스트를 해봅시다.
6 5-6 = 7766-6 = 7760
7760은 0 또는 5로 끝나는 모든 숫자이므로 5로 나눌 수 있습니다. 사실 7760/5 = 1554. Fermat의 작은 정리가 성립하기 때문에 5가 소수임을 보장 할 수 있습니다.
정리를 통한 증명은 효과적이고 직접적이며 작은 숫자로 작업을 수행하기 쉽지만 많은 숫자의 소수성을 알아 내라는 요청을 받으면 어떻게해야할까요?
이 경우 숫자는 정확한 나눗셈을 찾거나 몫이 제수보다 작을 때까지 모든 작은 소수 사이에서 연속적으로 나뉩니다.
나눗셈이 정확하면 숫자가 복합임을 의미하고 몫이 제수보다 작 으면 숫자가 소수임을 의미합니다. 우리는 풀이 연습 2에서 그것을 연습 할 것입니다.
소수를 찾는 방법
소수는 무한히 많으며이를 결정하는 단일 공식은 없습니다. 그러나 다음과 같은 소수를 살펴보십시오.
3, 7, 31, 127 …
그들은 n = 2, 3, 5, 7, 9 …와 함께 2 n -1 의 형태로 관찰됩니다 . 우리는 이것을 확인합니다.
2 2-1 = 4-1 = 3 ; 2 3-1 = 8-1 = 7 ; 2 5-1 = 32-1 = 31 ; 2 7 - 1 = 128-1 = 127
그러나 일반적으로 2n -1이 소수 인지 확인할 수 없습니다 . 예를 들어 4와 같이 작동하지 않는 n 값이 있기 때문입니다.
2 4 - 1 = 16-1 = 15
그리고 숫자 15는 5로 끝나기 때문에 소수가 아닙니다. 그러나 컴퓨터 계산에 의해 발견되는 알려진 가장 큰 소수 중 하나는 다음과 같이 2 n -1 형식 입니다.
n = 57,885,161
Mersenne의 공식은 p가 소수 인 한 2 p -1이 항상 소수 임을 보장 합니다. 예를 들어 31은 소수이므로 2 31-1 도 소수입니다 .
2 31-1 = 2,147,483,647
그러나 공식을 사용하면 전부가 아닌 일부 소수만 결정할 수 있습니다.
오일러의 공식
다음 다항식을 사용하면 n이 0에서 39 사이 인 경우 소수를 찾을 수 있습니다.
피 (n) = n 2 + n + 41
해결 된 연습 섹션의 뒷부분에 사용 예가 있습니다.
에라토스테네스의 체
에라토스테네스는 기원전 3 세기에 살았던 고대 그리스의 물리학 자이자 수학자였습니다. 그는 우리가 작은 숫자로 실행할 수있는 소수를 찾는 그래픽 방법을 고안했습니다. 그것은 에라토스테네스 체 (체는 체와 같습니다)라고합니다.
-숫자는 애니메이션에 표시된 것과 같은 테이블에 배치됩니다.
-우리가 아는 2가 소수 인 것을 제외하고 짝수는 지워집니다. 다른 모든 것은 이것의 배수이므로 소수가 아닙니다.
-3, 5, 7 및 11의 배수도 표시되어 있으며 모두 소수라는 것을 알고 있기 때문에 모두 제외합니다.
-4, 6, 8, 9 및 10의 배수는 복합이므로 표시된 소수의 배수이므로 이미 표시되어 있습니다.
-마지막으로 표시되지 않은 숫자는 소수입니다.
그림 2. 에라토스테네스 체의 애니메이션. 출처 : Wikimedia Commons.
식
- 연습 1
소수에 오일러 다항식을 사용하여 100보다 큰 숫자 3 개를 찾습니다.
해결책
이것은 Euler가 0에서 39 사이의 n 값에 대해 작동하는 소수를 찾기 위해 제안한 다항식입니다.
피 (n) = n 2 + n + 41
시행 착오를 통해 n의 값을 선택합니다 (예 : n = 8).
P (8) (8) = 2 + 8 + 41 = 113
n = 8은 100보다 큰 소수를 생성하므로 n = 9 및 n = 10에 대한 다항식을 평가합니다.
피 (9) = 9 2 + 9 + 41 = 131
피 (10) = 10 2 + 10 + 41 = 151
-연습 2
다음 숫자가 소수인지 확인하십시오.
a) 13
b) 191
솔루션
13은 Fermat의 작은 정리와 계산기의 도움을 사용하기에 충분히 작습니다.
a = 3, 4 또는 5도 사용할 수 있지만 숫자가 너무 크지 않도록 a = 2를 사용합니다.
2 13 - 2 = 8190
8190은 짝수이므로 2로 나눌 수 있으므로 13은 소수입니다. 독자는 a = 3으로 동일한 테스트를 수행하여이를 확증 할 수 있습니다.
솔루션 b
191은 정리와 일반 계산기로 증명하기에는 너무 크지 만 각 소수 사이의 나눗셈을 찾을 수 있습니다. 191은 짝수가 아니고 나눗셈이 정확하지 않거나 몫이 2보다 작기 때문에 2로 나누는 것을 생략합니다.
우리는 3으로 나누려고합니다.
191/3 = 63,666 …
그리고 그것은 정확하지도 않고 몫도 제수보다 작지 않습니다 (63,666…은 3보다 큽니다)
따라서 우리는 소수 5, 7, 11, 13 사이에서 191을 계속 나누려고 노력하고 있습니다. 17로 나눌 때까지 :
191/17 = 11, 2352 …
정확하지 않고 11.2352…가 17보다 작기 때문에 191은 소수입니다.
참고 문헌
- Baldor, A. 1986. 산술. 판 및 배포 코덱스.
- Prieto, C. 소수. 출처 : paginas.matem.unam.mx.
- 소수의 속성. 출처 : mae.ufl.edu.
- 스마 틱. 소수 : 에라토스테네스 체로 찾는 방법. 출처 : smartick.es.
- Wikipedia. 소수. 출처 : es.wikipedia.org.