실수는 자연수, 정수, 이성과 비이성적을 포함하는 수치 세트를 구성한다. 그것들은 기호 ℝ 또는 단순히 R 로 표시되며 과학, 공학 및 경제학에서 그 범위는“숫자”라고 말할 때 그것이 실수라고 거의 당연한 것으로 간주됩니다.
실제 숫자는 이름이 주어지지 않았지만 고대부터 사용되었습니다. 피타고라스가 그의 유명한 정리를 개발할 때부터 자연 수나 정수의 몫으로 얻을 수없는 숫자가 나타났습니다.
그림 1. 실수 세트에 다른 숫자 세트가 포함되는 방식을 보여주는 벤 다이어그램. 출처> Wikimedia Commons.
숫자의 예는 √2, √3 및 π입니다. 이 숫자는 정수의 몫에서 나오는 유리수와는 달리 비합리적이라고합니다. 따라서 두 클래스의 숫자를 모두 포함하는 숫자 집합이 필요했습니다.
"실수"라는 용어는 위대한 수학자 르네 데카르트 (1596-1650)가 다항 방정식을 풀 때 발생할 수있는 두 종류의 근을 구별하기 위해 만들어졌습니다.
이 근 중 일부는 음수의 근일 수도 있습니다. 데카르트는이를 "허수"라고 부르고 그렇지 않은 것은 실수였습니다.
교단은 시간이 지남에 따라 지속되어 실수와 복소수, 실수, 허수, 부분 실수 및 허수를 포함하는 더 큰 집합의 두 가지 큰 숫자 집합을 생성했습니다.
실수의 진화는 1872 년 수학자 Richard Dedekind (1831-1936)가 소위 Dedekind 컷을 통해 실수 세트를 공식적으로 정의 할 때까지 계속되었습니다. 그의 작품의 종합은 같은 해 빛을 본 기사에 실렸다.
실수의 예
아래 표는 실수의 예를 보여줍니다. 이 세트는 자연수, 정수, 유리 및 비이성적 인 부분 집합으로 구성됩니다. 이러한 세트의 수는 그 자체로 실수입니다.
따라서 0, 음수, 양수, 분수 및 소수는 실수입니다.
그림 2. 실수의 예는 자연, 정수, 유리, 비이성, 초월입니다. 출처 : F. Zapata.
실제 라인의 실수 표현
실수 는 그림과 같이 실제 라인 R 에 표시 될 수 있습니다 . 0이 항상 존재할 필요는 없지만 음의 실수는 왼쪽에 있고 양의 실수는 오른쪽에 있다는 것을 아는 것이 편리합니다. 그렇기 때문에 훌륭한 참조 포인트입니다.
정수가 발견되는 실제 라인에서 스케일이 취해집니다 :… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. 화살표는 선이 무한대로 확장됨을 나타냅니다. 그러나 그것이 전부는 아닙니다. 어떤 고려 된 간격에서도 우리는 항상 무한한 실수를 찾을 것입니다.
실수는 순서대로 표시됩니다. 우선, 정수의 순서가 있는데, 양수는 항상 0보다 크고 음수는 더 적습니다.
이 순서는 실수로 유지됩니다. 예를 들면 다음과 같은 부등식이 표시됩니다.
a) -1/2 <√2
b) e <π
c) π> -1/2
그림 3.- 실제 라인. 출처 : Wikimedia Commons.
실수의 속성
-실수에는 자연수, 정수, 유리수, 무리수가 포함됩니다.
-덧셈의 교환 속성이 충족됩니다. 덧셈의 순서는 합계를 변경하지 않습니다. a와 b가 두 개의 실수 인 경우 항상 다음 사항이 적용됩니다.
a + b = b + a
-0은 합계의 중립 요소입니다 : a + 0 = a
-합의 경우 연관 속성이 충족됩니다. a, b 및 c가 실수 인 경우 : (a + b) + c = a + (b + c).
-실수의 반대는 -a입니다.
-빼기는 반대의 합으로 정의됩니다 : a-b = a + (-b).
-제품의 교환 속성이 충족 됨 : 요인의 순서가 제품을 변경하지 않음 : ab = ba
-제품에서 연관 속성도 적용됩니다 : (ab) .c = a. (Bc)
-1은 곱셈의 중립 요소입니다 : a.1 = a
-곱셈의 분배 속성은 덧셈과 관련하여 유효합니다. (b + c) = ab + ac
-0으로 나누기는 정의되지 않았습니다.
-0을 제외한 모든 실수 a 는 aa -1 = 1이 되도록 -1 의 곱셈 역 을가 집니다 .
-a가 실수 인 경우 : a 0 = 1 및 a 1 = a.
-실수의 절대 값 또는 계수는 해당 숫자와 0 사이의 거리입니다.
실수로 연산
실수를 사용하면 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 권한 부여, 라디 케이션, 로그 등 다른 숫자 집합으로 수행되는 작업을 수행 할 수 있습니다.
항상 그렇듯이 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다. log 1 = 0이고 0과 1 사이의 숫자의 로그가 음수라는 것이 사실이지만 숫자 또는 0의 음의 로그도 없습니다.
응용
모든 종류의 상황에 실수를 적용하는 것은 매우 다양합니다. 실수는 정확한 과학, 컴퓨터 과학, 공학, 경제학 및 사회 과학의 많은 문제에 대한 답으로 나타납니다.
거리, 시간, 힘, 소리의 강도, 돈 등과 같은 모든 종류의 크기와 양은 실제 숫자로 표현됩니다.
전화 신호의 전송, 비디오의 이미지 및 사운드, 에어컨, 히터 또는 냉장고의 온도를 디지털 방식으로 제어 할 수 있습니다. 즉, 물리량을 숫자 시퀀스로 변환하는 것을 의미합니다.
인터넷을 통해 은행 거래를하거나 인스턴트 메시징을 상담 할 때도 마찬가지입니다. 실제 숫자는 어디에나 있습니다.
운동이 해결됨
우리는이 숫자들이 우리가 매일 만나는 일반적인 상황에서 어떻게 작동하는지 연습을 통해 볼 것입니다.
연습 1
우체국은 길이와 둘레 길이가 108 인치를 초과하지 않는 패키지 만 접수합니다. 따라서 표시된 패키지를 수락하려면 다음을 충족해야합니다.
L + 2 (x + y) ≤ 108
a) 너비 6 인치, 높이 8 인치, 길이 5 피트의 패키지가 통과 할 수 있습니까?
b) 2 x 2 x 4 ft 3 크기는 어떻습니까?
c) 바닥이 정사각형이고 치수가 9 x 9 인치 2 인 패키지의 허용 가능한 최고 높이는 얼마입니까?
답장
L = 5 피트 = 60 인치
x = 6 인치
y = 8 인치
해결해야 할 작업은 다음과 같습니다.
L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) 인치 = 60 + 2 x 14 인치 = 60 + 28 인치 = 88 인치
패키지가 허용됩니다.
답변 b
이 패킷의 크기는 패킷 a)보다 작으므로 둘 다 통과합니다.
답변 됨 c
이 패키지에서 :
x = L = 9 인치
다음 사항을 준수해야합니다.
9+ 2 (9 + y) ≤ 108
27 + 2 년 ≤ 108
2 년 ≤ 81
및 ≤ 40.5 인치
참고 문헌
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. 국립 문학 대학.
- Diego, A. 실수와 그 속성. 출처 : matematica.uns.edu.ar.
- Figuera, J. 2000. 수학 9th. 정도. CO-BO 에디션.
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- Stewart, J. 2006. Precalculus : Mathematics for Calculus. 5 일. 판. Cengage 학습.