orthohedron는 대향면이 평행 한 평면에 있고 동일하거나 일치하는 직사각형이다 그래서, 여섯 개 직사각형면을 갖는 것을 특징으로하는 체적 또는 3 차원의 기하학적 도면이다. 반면에 주어진면에 인접한면은 초기면에 수직 인 평면에 있습니다.
직교 면체는 직사각형 밑면이있는 직교 프리즘으로 간주 할 수도 있습니다. 여기서 공통 모서리에 인접한 두면의 평면에 의해 형성된 2 면체 각도는 90º를 측정합니다. 두면 사이의 2 면각은 두면에 공통된 수직 평면이있는면의 교차점에서 측정됩니다.
그림 1. 정교 면체. 출처 : F. Zapata with Geogebra.
마찬가지로, 직육면체는 직사각형 평행 육면체입니다. 이것이 평행 육면체가 2x2 평행 한 6면의 체적 그림으로 정의되는 방식이기 때문입니다.
평행 육면체에서면은 평행 사변형이지만 직육면체에서는면이 직사각형이어야합니다.
정사면체의 일부
정교 면체와 같은 다면체의 부분은 다음과 같습니다.
-아리 스타
-정점
-얼굴
정교 면체면의 두 모서리 사이의 각도는 각 모서리에 인접한 다른 두면에 의해 형성된 2 면각과 일치하여 직각을 형성합니다. 다음 이미지는 각 개념을 설명합니다.
그림 2. 정교 면체의 일부. 출처 : F. Zapata with Geogebra.
-총 정사면체에는 6 개의면, 12 개의 모서리 및 8 개의 정점이 있습니다.
-두 모서리 사이의 각도는 직각입니다.
-두면 사이의 2면 각도 맞습니다.
-각면에는 4 개의 정점이 있고 각 정점에는 3 개의 서로 직교하는면이 있습니다.
정교 면체 공식
지역
정사면체의 표면 또는 면적은 얼굴 면적의 합계입니다.
그림 3과 같이 꼭지점에서 만나는 세 모서리의 측정 값이 a, b, c 인 경우 전면에는 c⋅b 영역이 있고 바닥면에도 c⋅b 영역이 있습니다.
그러면 두 측면은 각각 a⋅b 영역을 갖습니다. 마지막으로 바닥과 천장면에는 각각 한 개의 면적이 있습니다.
그림 3. 차원 a, b, c의 정교 면체. 내부 대각선 D 및 외부 대각선 d.
모든 얼굴의 면적을 추가하면 다음이 제공됩니다.
공통 요소를 취하고 용어를 정렬 :
음량
정사면체가 프리즘으로 생각되면 부피는 다음과 같이 계산됩니다.
이 경우 치수 c와 a의 바닥을 직사각형 바닥으로 간주하므로 바닥 면적은 c⋅a입니다.
높이는 측면 a와 c의면에 직교하는 가장자리의 길이 b로 지정됩니다.
밑면 (a⋅c)에 높이 b를 곱하면 정사면체의 부피 V가됩니다.
내부 대각선
정교 면체에는 바깥 쪽 대각선과 안쪽 대각선의 두 가지 종류의 대각선이 있습니다.
외부 대각선은 직사각형면에있는 반면 내부 대각선은 두 개의 반대쪽 정점을 연결하는 세그먼트로, 가장자리를 공유하지 않는 반대쪽 정점으로 이해됩니다.
정교 면체에는 4 개의 내부 대각선이 있으며 모두 동일한 치수입니다. 내부 대각선의 길이는 직각 삼각형에 대해 피타고라스 정리를 적용하여 얻을 수 있습니다.
정사면체 바닥면의 외부 대각선 길이 d는 피타고라스 관계를 충족합니다.
d 2 = a 2 + c 2
마찬가지로 측정 값 D의 내부 대각선은 피타고라스 관계를 충족합니다.
D 2 = d 2 + b 2 .
이전 두 가지 표현을 결합하면 다음과 같습니다.
D 2 = a 2 + c 2 + b 2 .
마지막으로, 정교 면체의 내부 대각선 길이는 다음 공식으로 지정됩니다.
D = √ (a 2 + b 2 + c 2 ).
예
-예 1
벽돌공은 내부 치수가 6m x 4m, 높이 2m 인 정교 면체 모양의 탱크를 만듭니다. 묻습니다.
a) 탱크가 상단이 완전히 열려 있는지 확인하십시오.
b) 탱크 내부 공간의 부피를 계산합니다.
c) 내부 대각선의 길이를 찾으십시오.
d) 탱크 용량 (리터)은 얼마입니까?
솔루션
직사각형 밑면의 치수는 a = 4m 및 c = 6m이고 높이는 b = 2m입니다.
주어진 치수를 가진 정사면체의 면적은 다음 관계로 지정됩니다.
A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4m⋅2m + 2m⋅6m + 6m⋅4m)
즉 말하자면:
A = 2⋅ (8m 2 + 12m 2 + 24m 2 ) = 2⋅ (44m 2 ) = 88m 2
이전 결과는 주어진 치수를 가진 닫힌 정교 면체의 면적이지만, 탱크 내벽의 표면을 얻으려면 상부가 완전히 덮이지 않은 탱크이기 때문에 누락 된 뚜껑의 면적을 빼야합니다.
c⋅a = 6m ⋅ 4m = 24m 2 .
마지막으로, 탱크의 내부 표면이 될 것이다 : S = 88m 2 - 24 m (2) = 64m 2 .
솔루션 b
탱크의 내부 부피는 탱크 내부 치수의 정사면체 부피로 제공됩니다.
V = a⋅b⋅c = 4m ⋅ 2m ⋅ 6m = 48m 3 .
솔루션 c
탱크 내부의 치수를 가진 팔면체의 내부 대각선은 다음과 같이 주어진 길이 D를 갖습니다.
√ (a 2 + b 2 + c 2 ) = √ ((4m) 2 + (2m) 2 + (6m) 2 )
표시된 작업 수행 :
D = √ (16m 2 + 4m 2 + 36m 2 ) = √ (56m 2 ) = 2√ (14) m = 7.48m.
솔루션 d
탱크 용량을 리터로 계산하려면 입방 데시 미터의 부피가 리터의 용량과 같다는 것을 알아야합니다. 이전에는 입방 미터 단위로 계산되었지만 입방 데시 미터로 변환 한 다음 리터로 변환해야합니다.
V = 48m 3 = 48 (10dm) 3 = 4,800dm 3 = 4,800L
-연습 2
유리 수족관은 측면이 25cm 인 입방체 모양입니다. 면적 (m 2 ), 부피 (리터), 내부 대각선 길이 (cm)를 결정합니다.
그림 4. 큐빅 모양의 유리 수족관.
해결책
면적은 동일한 정교 면체 공식을 사용하여 계산되지만 모든 치수가 동일하다는 점을 고려합니다.
A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a 2 = 6⋅ (25cm) 2 = 1,250cm 2
큐브의 부피는 다음과 같이 지정됩니다.
V = a 3 = (25cm) 3 = 15.625cm 3 = 15.625 (0.1dm) 3 = 15.625 dm 3 = 15.625 L.
내부 대각선의 길이 D는 다음과 같습니다.
D = √ (3a 2 ) = 25√ (3) cm = 43.30cm.
참고 문헌
- Arias J. GeoGebra : 프리즈 마. 출처 : youtube.com.
- Calculation.cc. 운동 및 지역 및 볼륨 문제 해결. 출처 : calculo.cc.
- Salvador R. Pyramid + GEOGEBRA (IHM)가있는 정교 면체. 출처 : youtube.com
- Weisstein, Eric. "정교 면체". MathWorld. Wolfram Research.
- Wikipedia. 정교 면체 출처 : es.wikipedia.com