평행 육면체 : 특성, 유형, 면적, 부피 - 수학 - 2026

직육면체는 그 모든면이 평행 사변형 것을 또한 그 반대의면이 서로 평행하도록 메인 특징있는 여섯 얼굴 이루어진 기하학 체이다. 신발 상자, 벽돌 모양, 전자 레인지 모양 등에서 찾을 수 있기 때문에 일상 생활에서 흔히 볼 수있는 다면체입니다.

다면체이기 때문에 평행 육면체는 유한 체적을 둘러싸고 모든면은 평평합니다. 그것은 모든 정점이 두 개의 평행 한 평면에 포함 된 다면체 인 프리즘 그룹의 일부입니다.

평행 육면체의 요소

얼굴

그들은 평행 육면체를 제한하는 평행 사변형에 의해 형성된 각 영역입니다. 평행 육면체에는 6 개의면이 있으며 각면에는 인접한 4 개의면과 반대쪽면이 하나씩 있습니다. 또한 각면은 반대쪽과 평행합니다.

가장자리

그들은 두 얼굴의 공통된 측면입니다. 전체적으로 평행 육면체에는 12 개의 모서리가 있습니다.

꼭지점

두 개씩 서로 인접한 세면의 공통점입니다. 평행 육면체에는 8 개의 꼭지점이 있습니다.

대각선

서로 마주 보는 평행 육면체의 두면이 주어지면 한면의 꼭지점에서 다른면의 반대 꼭지점으로 이어지는 선분을 그릴 수 있습니다.

이 세그먼트는 평행 육면체의 대각선으로 알려져 있습니다. 각 평행 육면체에는 4 개의 대각선이 있습니다.

센터

모든 대각선이 교차하는 지점입니다.

평행 육면체의 특성

이미 언급했듯이이 기하학적 몸체에는 12 개의 가장자리, 6 개의면, 8 개의 정점이 있습니다.

평행 육면체에서는 서로 평행 한 네 개의 모서리로 구성된 세 세트를 식별 할 수 있습니다. 더욱이, 상기 세트의 에지는 또한 동일한 길이를 갖는 특성을 갖는다.

평행 육면체가 갖는 또 다른 특성은 볼록하다는 것입니다.

또한 볼록 다면체 인 평행 육면체는 다면체에 대한 오일러의 정리를 따르며, 이는면 수, 모서리 수 및 정점 수 사이의 관계를 제공합니다. 이 관계는 다음 방정식의 형태로 제공됩니다.

C + V = A + 2

이 특성을 오일러 특성이라고합니다.

여기서 C는면 수, V는 정점 수, A는 가장자리 수입니다.

종류

얼굴을 기준으로 평행 육면체를 다음 유형으로 분류 할 수 있습니다.

정교 면체

그들은 6 개의 직사각형으로 얼굴이 형성된 평행 육면체입니다. 각 직사각형은 모서리를 공유하는 직사각형에 수직입니다. 그들은 일상 생활에서 가장 흔하며 신발 상자와 벽돌의 일반적인 형태입니다.

정육면체 또는 육면체

이것은 각면이 정사각형 인 이전의 특별한 경우입니다.

큐브는 Platonic solids라고하는 기하학적 몸체의 일부이기도합니다. 플라톤 솔리드는 볼록한 다면체이므로면과 내부 각도가 모두 동일합니다.

마름모꼴

얼굴에 마름모가있는 평행 육면체입니다. 이 마름모는 가장자리를 공유하기 때문에 모두 서로 동일합니다.

마름모꼴

6 개의 얼굴은 마름모꼴입니다. 마름모꼴은 2에서 2와 같은 4 개의 변과 4 개의 각을 가진 다각형이라는 것을 상기하십시오. 마름모꼴은 정사각형도 직사각형도 마름모도 아닌 평행 사변형입니다.

반면에, 비스듬한 평행 육면체는 적어도 하나의 높이가 가장자리와 일치하지 않는 것들입니다. 이 분류에는 능 면체와 능 면체를 포함 할 수 있습니다.

대각선 계산

직교 면체의 대각선을 계산하기 위해 R ^3에 대한 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다 .

정교 면체는 각면이 모서리를 공유하는면에 수직이라는 특성을 가지고 있음을 기억하십시오. 이 사실로부터 우리는 각 모서리가 꼭지점을 공유하는 모서리에 수직임을 추론 할 수 있습니다.

정교 면체의 대각선 길이를 계산하기 위해 다음과 같이 진행합니다.

1. 우리는 얼굴 중 하나의 대각선을 계산하여 기초로 삼을 것입니다. 이를 위해 우리는 피타고라스 정리를 사용합니다. 이 대각선의 이름을 d _b로 지정하겠습니다 .

2. 그런 다음 d _b 로 새로운 직각 삼각형을 형성 할 수 있습니다.이 삼각형의 빗변이 우리가 찾고있는 대각선 D가되도록합니다.

3. 피타고라스 정리를 다시 사용하고이 대각선의 길이는 다음과 같습니다.

보다 그래픽적인 방식으로 대각선을 계산하는 또 다른 방법은 자유 벡터를 추가하는 것입니다.

벡터 B의 꼬리를 벡터 A의 끝과 함께 배치하여 두 개의 자유 벡터 A와 B를 추가합니다.

벡터 (A + B)는 A의 꼬리에서 시작하여 B의 끝에서 끝나는 벡터입니다.

대각선을 계산하려는 평행 육면체를 고려해 보겠습니다.

우리는 편리한 방향의 벡터로 모서리를 식별합니다.

그런 다음 이러한 벡터를 추가하면 결과 벡터가 평행 육면체의 대각선이됩니다.

지역

평행 육면체의 면적은 얼굴의 각 면적의 합으로 주어집니다.

측면 중 하나를베이스로 결정하면

A _L + 2A _B = 총 면적

여기서 A _L 은 측면 영역이라고하는 기부에 인접한 모든 측면의 면적의 합과 같고 A _B 는 기부의 면적입니다.

우리가 작업하는 평행 육면체의 유형에 따라이 공식을 다시 작성할 수 있습니다.

정사면체의 면적

공식에 의해 주어집니다

A = 2 (ab + bc + ca).

예 1

측면이 a = 6cm, b = 8cm 및 c = 10cm 인 다음 정교 면체가 주어지면 평행 육면체의 면적과 대각선 길이를 계산하십시오.

정사면체 면적에 대한 공식을 사용하면

A = 2 = 2 = 2 = 376cm ² .

정교 면체이므로 4 개의 대각선 길이가 동일합니다.

공간에 피타고라스 정리를 사용하면

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

큐브 면적

각 모서리의 길이가 같으므로 a = b 및 a = c입니다. 이전 공식을 대체하면

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

예 2

게임 콘솔의 상자는 큐브 모양입니다. 이 상자를 포장지로 포장하려면 큐브의 가장자리 길이가 45cm라는 것을 알고 얼마나 많은 종이를 소비할까요?

큐브 면적에 대한 공식을 사용하여 우리는

A = 6 (45cm) ² = 6 ( 2025cm ² ) = 12150cm ²

능 면체 영역

그들의 얼굴이 모두 같기 때문에 그중 하나의 면적을 계산하고 6을 곱하십시오.

마름모의 면적은 다음 공식을 사용하여 대각선을 통해 계산할 수 있습니다.

A _R = (Dd) / 2

이 공식을 사용하면 능 면체의 총 면적은 다음과 같습니다.

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

예제 3

다음 능 면체의면은 대각선이 D = 7cm이고 d = 4cm 인 마름모로 형성됩니다. 귀하의 지역은

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

능 면체 영역

능 면체의 면적을 계산하려면 그것을 구성하는 능 면체의 면적을 계산해야합니다. 평행 육면체는 반대쪽면이 같은 면적을 갖는 특성을 충족하므로 측면을 세 쌍으로 연결할 수 있습니다.

이런 식으로 우리는 귀하의 지역이

A _T = 2b ₁ 시간 ₁ + 2b ₂ 시간 ₂ + 2b ₃ 시간 ₃

여기서 b _i 는 측면과 관련된베이스이고 h _i 는 이러한베이스에 해당하는 상대적 높이입니다.

예 4

다음 평행 육면체를 고려하십시오.

여기서 A면과 A면 (반대쪽)은 밑면 b = 10이고 높이 h = 6입니다. 표시된 영역의 값은

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B와 B '는 b = 4이고 h = 6이므로

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC 및 C '는 b = 10 및 h = 5이므로

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

마지막으로 능 면체의 면적은

A = 120 + 48 + 100 = 268.

평행 육면체의 부피

우리에게 평행 육면체의 부피를 제공하는 공식은 얼굴 중 하나의 면적을 해당 얼굴에 해당하는 높이로 곱한 것입니다.

V = A _C h _C

평행 육면체의 유형에 따라이 공식을 단순화 할 수 있습니다.

따라서 예를 들어 정교 면체의 부피는

V = abc.

여기서 a, b 및 c는 정사면체의 가장자리 길이를 나타냅니다.

그리고 큐브의 특별한 경우는

V = a ³

예 1

쿠키 상자에는 세 가지 모델이 있으며 이러한 모델 중 어떤 모델에 더 많은 쿠키를 저장할 수 있는지, 즉 어떤 상자가 가장 큰 볼륨을 가지고 있는지 알고 싶습니다.

첫 번째는 가장자리의 길이가 a = 10cm 인 큐브입니다.

부피는 V = 1000cm ^3입니다.

두 번째 모서리에는 b = 17cm, c = 5cm, d = 9cm가 있습니다.

따라서 부피는 V = 765 cm ^3입니다.

그리고 세 번째는 e = 9cm, f = 9cm 및 g = 13cm입니다.

그리고 그 부피는 V = 1053 cm ^3입니다.

따라서 볼륨이 가장 큰 상자가 세 번째입니다.

평행 육면체의 부피를 얻는 또 다른 방법은 벡터 대수를 사용하는 것입니다. 특히 트리플 내적입니다.

삼중 스칼라 곱이 갖는 기하학적 해석 중 하나는 평행 육면체의 부피에 대한 것입니다. 그 모서리는 시작점과 동일한 꼭지점을 공유하는 세 개의 벡터입니다.

이런 식으로 평행 육면체가 있고 그 부피가 무엇인지 알고 싶다면 꼭지점 중 하나를 원점과 일치시켜 R ³ 의 좌표계로 표현하는 것으로 충분합니다 .

그런 다음 그림과 같이 원점에서 벡터와 일치하는 가장자리를 나타냅니다.

그리고 이런 식으로 우리는 평행 육면체의 부피가 다음과 같이 주어집니다.

V =-AxB ∙ C-

또는 동등하게 볼륨은 에지 벡터의 구성 요소로 구성된 3 × 3 행렬의 행렬식입니다.

예 2

R ³ 에서 다음 평행 육면체를 나타낼 때 그것을 결정하는 벡터가 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) 및 w = (-0.25, -4, 4)

트리플 스칼라 곱을 사용하여

V =-(uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0,-15)

(uxv) ∙ w = (0,0,-15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (-15) =-60

이것으로부터 우리는 V = 60

이제 가장자리가 벡터에 의해 결정되는 R3에서 다음 평행 육면체를 고려해 보겠습니다.

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) 및 C = (3, 4, 4)

결정자를 사용하면

따라서 우리는 평행 육면체의 부피가 112입니다.

둘 다 부피를 계산하는 동일한 방법입니다.

완벽한 평행 육면체

정교 면체는 가장자리의 길이와 각면의 대각선 길이가 모두 정수라는 특성을 충족하는 오일러 벽돌 (또는 오일러 블록)으로 알려져 있습니다.

오일러는이 특성을 충족하는 오르토 헤드를 연구 한 최초의 과학자는 아니지만 흥미로운 결과를 발견했습니다.

가장 작은 오일러 벽돌은 Paul Halcke에 의해 발견되었으며 가장자리의 길이는 a = 44, b = 117 및 c = 240입니다.

수 이론의 열린 문제는 다음과 같습니다.

완벽한 ortohedra가 있습니까?

현재로서는 그러한 시체가 존재하지 않는다는 것을 증명할 수 없었지만 어느 것도 발견되지 않았기 때문에이 질문에 대답하지 않았습니다.

지금까지 보여준 것은 완벽한 평행 육면체가 존재한다는 것입니다. 가장 먼저 발견되는 것은 가장자리의 길이가 103, 106 및 271입니다.

서지

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