볼록 다각형 기하학적 인 그림이 그 내부에 모든 대각선을 가지고 있으며, 그 각도가 180보다 작 측정하기 때문에 특징으로하는 평면 내에 포함된다. 그 속성은 다음과 같습니다.
1) 마지막 세그먼트가 첫 번째 세그먼트와 결합하는 n 개의 연속 세그먼트로 구성됩니다. 2) 내부 영역과 외부 영역에서 평면을 구분하는 방식으로 세그먼트가 교차하지 않습니다. 3) 내부 영역의 모든 각도는 평면 각도보다 엄격하게 작습니다.
그림 1. 다각형 1, 2, 6은 볼록합니다. (Ricardo Pérez 작성).
다각형이 볼록한지 여부를 결정하는 간단한 방법은 두 개의 반면을 결정하는 측면 중 하나를 통과하는 선을 고려하는 것입니다. 한쪽을 통과하는 각 선에서 다각형의 다른 쪽이 동일한 반면에 있으면 볼록 다각형입니다.
다각형의 요소
모든 다각형은 다음 요소로 구성됩니다.
-측면
-정점
측면은 다각형을 구성하는 각 연속 세그먼트입니다. 다각형에서 그것을 구성하는 어떤 세그먼트도 열린 끝을 가질 수 없습니다.이 경우 다각형이 아닌 다각형 선이있을 것입니다.
정점은 연속 된 두 세그먼트의 연결 지점입니다. 다각형에서 꼭지점의 수는 항상 변의 수와 같습니다.
다각형의 두면 또는 세그먼트가 교차하면 교차 다각형이있는 것입니다. 교차점은 정점으로 간주되지 않습니다. 교차 다각형은 볼록하지 않은 다각형입니다. 별 다각형은 교차 다각형이므로 볼록하지 않습니다.
다각형의 모든 변의 길이가 같으면 정다각형이됩니다. 모든 정다각형은 볼록합니다.
볼록 및 비 볼록 다각형
그림 1은 여러 다각형을 보여줍니다. 일부는 볼록하고 일부는 그렇지 않습니다. 분석해 봅시다 :
숫자 1은 3면 다각형 (삼각형)이고 모든 내부 각도는 180º 미만이므로 볼록 다각형입니다. 모든 삼각형은 볼록한 다각형입니다.
숫자 2는 교차하는 변이없고 모든 내부 각도가 180º 미만인 4면 다각형 (사변형)입니다. 그런 다음 네면 (볼록 사변형)이있는 볼록 다각형입니다.
반면에 숫자 3은 4 변이있는 다각형이지만 내부 각도 중 하나가 180º보다 커서 볼록성 조건을 충족하지 못합니다. 즉, 오목 사변형이라고하는 볼록하지 않은 4면 다각형입니다.
숫자 4는 4 개의 세그먼트 (측면)가있는 다각형이며 그 중 2 개가 교차합니다. 4 개의 내부 각도는 180º 미만이지만 두면이 교차하기 때문에 볼록하지 않은 교차 다각형 (교차 사각형)입니다.
또 다른 경우는 숫자 5입니다. 이것은 5 개의면이있는 다각형이지만 내부 각도 중 하나가 180º보다 크므로 오목한 다각형이 생깁니다.
마지막으로, 5 개의면을 가진 숫자 6은 모든 내부 각도가 180º 미만이므로 5 개의면이있는 볼록 다각형 (볼록 오각형)입니다.
볼록 다각형의 속성
1- 교차하지 않는 다각형 또는 단순 다각형은이를 포함하는 평면을 두 영역으로 나눕니다. 내부 영역과 외부 영역, 다각형은 두 영역 사이의 경계입니다.
그러나 다각형이 추가로 볼록한 경우 단순히 연결된 내부 영역이 있습니다. 즉, 내부 영역에서 두 점을 가져 오면 항상 내부 영역에 완전히 속하는 세그먼트로 연결될 수 있습니다.
그림 2. 볼록 다각형은 단순히 연결되어 있지만 오목 다각형은 연결되어 있지 않습니다. (Ricardo Pérez 작성).
2- 볼록 다각형의 모든 내부 각도는 평면 각도 (180º)보다 작습니다.
3- 볼록 다각형의 모든 내부 점은 항상 두 개의 연속 된 정점을 통과하는 선에 의해 정의 된 반 평면 중 하나에 속합니다.
4- 볼록 다각형에서 모든 대각선은 내부 다각형 영역에 완전히 포함됩니다.
5- 볼록 다각형의 내부 점은 전적으로 각 내부 각도에 의해 정의 된 볼록 각 섹터에 속합니다.
6- 모든 정점이 원주에있는 모든 다각형은 순환 다각형이라고하는 볼록 다각형입니다.
7- 모든 순환 다각형은 볼록하지만 모든 볼록 다각형이 순환하는 것은 아닙니다.
8- 모든 변의 길이가 같은 교차되지 않은 다각형 (단순 다각형)은 볼록하며 정다각형이라고합니다.
볼록 다각형의 대각선과 각도
9- n 개의면을 가진 볼록 다각형의 총 대각선 수 N은 다음 공식으로 제공됩니다.
N = ½n (n-3)
증명 : 각 꼭지점의 n면이있는 볼록 다각형에서 꼭지점 자체와 인접한 두 항목이 제외되므로 n-3 개의 대각선이 그려집니다. n 개의 꼭지점이 있기 때문에 총 n (n-2) 개의 대각선이 그려 지지만 각 대각선은 두 번 그려 졌기 때문에 대각선의 수 (반복 없음)는 n (n-2) / 2입니다.
10- n 개의면을 가진 볼록 다각형의 내부 각도의 합 S는 다음 관계로 제공됩니다.
S = (n-2) 180º
예
예 1
순환 육각형은 6 개의면과 6 개의 정점이있는 다각형이지만 모든 정점은 같은 원주에 있습니다. 모든 순환 다각형은 볼록합니다.
순환 육각형.
예 2
일반에 네곤의 내부 각도 값을 결정합니다.
솔루션 :에 네곤은 9면 다각형이지만 규칙적이라면 모든면과 각도가 같습니다.
9면 다각형의 모든 내부 각도의 합은 다음과 같습니다.
S = (9-2) 180º = 7 * 180º = 1260º
그러나 동일한 측정 α의 9 개의 내부 각도가 있으므로 다음과 같은 동등성을 충족해야합니다.
S = 9 α = 1260º
그로부터 규칙적인에 네곤의 각 내부 각도의 측정 값 α는 다음과 같습니다.
α = 1260º / 9 = 140º