아르키메데스 ' 원리 본체는 전체적으로 또는 부분적으로 침지한다고는 추력 불리는 수직 상방으로 힘을 받는다 인 신체 변위 액체의 부피의 중량에 상당한다.
일부 물체는 물에 뜨고 일부는 가라 앉고 일부는 부분적으로 잠 깁니다. 비치 볼을 가라 앉히려면 노력을 기울여야합니다. 왜냐하면 그 힘이 즉시 표면으로 되돌리려는 힘이 감지되기 때문입니다. 대신 금속 구가 빠르게 가라 앉습니다.
그림 1. 떠 다니는 풍선 : 아르키메데스의 작동 원리. 출처 : Pixabay.
반면에 물에 잠긴 물체는 더 가벼워 보이므로 무게에 반대하는 유체에 의해 힘이 가해집니다. 그러나 항상 중력을 완전히 보상 할 수는 없습니다. 그리고 물에서 더 분명해 지지만 가스는 또한 그 안에 잠긴 물체에이 힘을 생성 할 수 있습니다.
역사
시러큐스의 아르키메데스 (BC 287-212)는 역사상 가장 위대한 과학자 중 한 명인이 원리를 발견했을 것입니다. 그들은 시러큐스의 히에로 2 세 왕이 금세 공인에게 새 왕관을 만들도록 명령했고 그에 대해 일정량의 금을 주었다고합니다.
아르키메데스
왕이 새 왕관을 받았을 때는 정확한 무게 였지만 금세 공인이 금 대신은을 더해 그를 속인 것으로 의심했다. 왕관을 파괴하지 않고 어떻게 증명할 수 있었습니까?
Hiero는 학자로서의 명성이 잘 알려진 아르키메데스에게 전화를 걸어 문제 해결을 돕습니다. 전설에 따르면 아르키메데스가 답을 찾았을 때 욕조에 잠 겼고, 그의 감정도 그랬다. 그는 시러큐스의 거리를 알몸으로 찾아 왕을 찾기 위해 "나는 그를 찾았다"는 뜻의 "유레카"를 외쳤다.
아르키메데스는 무엇을 찾았습니까? 글쎄, 목욕을 할 때 욕조에 들어갔을 때 욕조의 수위가 높아져서 물에 잠긴 몸이 일정량의 액체를 대체한다는 것을 의미합니다.
그리고 그가 왕관을 물에 담그면 왕관이 금으로 만들어지면 일정량의 물을,은과 합금으로 만들면 다른 물을 옮겨야했습니다.
공식
아르키메데스의 원리에 의해 언급되는 양력은 정수압 추력 또는 부력으로 알려져 있으며, 우리가 말했듯이 물에 잠길 때 몸에 의해 변위되는 유체 부피의 무게와 같습니다.
변위 된 부피는 전체 또는 부분적으로 잠긴 물체의 부피와 동일합니다. 무엇이든 무게가 mg이고 유체의 질량이 밀도 x 부피이므로 추력의 크기를 B로 표시하므로 수학적으로 다음과 같이됩니다.
B = m 유체 xg = 유체 밀도 x 잠긴 부피 x 중력
B = ρ 유체 x V 침수 xg
그리스 문자 ρ ( "rho")는 밀도를 나타냅니다.
겉보기 무게
물체의 무게는 익숙한 mg 표현을 사용하여 계산되지만 물에 잠기면 물건이 가벼워집니다.
물체의 겉보기 무게는 물이나 다른 액체에 담가서 그것을 알고있을 때 가지고있는 무게이며, 아래에서 볼 수 있듯이 히에로 왕의 왕관과 같은 불규칙한 물체의 부피를 얻을 수 있습니다.
이를 위해 물에 완전히 잠기고 힘을 측정하는 데 사용되는 스프링이 장착 된기구 인 동력계에 부착 된 줄을 사용합니다. 물체의 무게가 클수록 장치에 제공된 눈금으로 측정되는 스프링의 연신율이 커집니다.
그림 2. 잠긴 물체의 겉보기 무게. 출처 : F. Zapata 작성.
물체가 정지 상태임을 알고있는 뉴턴의 제 2 법칙 적용 :
ΣF y = B + T-W = 0
겉보기 무게 W a 는 스트링 T의 장력과 같습니다.
추력이 무게를 보상하기 때문에 유체 부분이 정지되어 있으므로 :
이 표현에서 추력은 실린더 윗면과 아랫면의 압력 차에 의한 것임을 알 수 있습니다. W = mg = ρ 유체이기 때문에. V. g, 다음을 수행해야합니다.
이는 이전 섹션에서 언급 한 추력에 대한 표현입니다.
응용
아르키메데스의 원리는 다음과 같은 많은 실제 응용 분야에 나타납니다.
-에어로 스테 틱 풍선. 주변 공기보다 평균 밀도가 낮기 때문에 추력으로 인해 부유합니다.
-배들. 배의 선체는 물보다 무겁습니다. 그러나 선체 전체에 내부 공기를 더하면 총 질량과 부피의 비율이 물의 비율보다 적기 때문에 선박이 떠 다니는 이유입니다.
- 구명 조끼. 가볍고 다공성 인 재질로 제작되어 물보다 질량비가 적기 때문에 뜰 수 있습니다.
-물 탱크의 충전 탭을 닫는 플로트. 그것은 물 위에 떠있는 대용량 공기로 채워진 구체로, 레버 효과를 곱한 미는 힘이 수위에 도달했을 때 물 탱크의 채우기 탭의 캡을 닫도록합니다. 합계.
예
예 1
전설에 따르면 히에로 왕은 금세 공인에게 왕관을 만들기 위해 일정량의 금을 주었지만, 불신의 군주는 금세공이 왕관 안에 금보다 가치가 낮은 금속을 넣어 속임수를 썼을 것이라고 생각했습니다. 그러나 그는 왕관을 파괴하지 않고 어떻게 알 수 있습니까?
왕은 문제를 아르키메데스에 맡 겼고 이것은 해결책을 찾고 그의 유명한 원리를 발견했습니다.
코로나의 무게가 공기 중 2.10kg-f이고 물에 완전히 잠겼을 때 1.95kg-f라고 가정합니다. 이 경우 속임수가 있습니까?
그림 5. 헤론 왕 왕관의 자유 체 다이어그램. 출처 : F. Zapata 작성
힘의 다이어그램은 위 그림에 나와 있습니다. 이러한 힘은 크라운 의 무게 P , 추력 E 및 저울에 매달려있는 로프 의 장력 T 입니다.
P = 2.10 kg-f 및 T = 1.95 kg-f로 알려져 있으며 추력 E 의 크기를 결정해야합니다 .
반면에 아르키메데스의 원리에 따르면 추력 E는 크라운이 차지하는 공간에서 변위 된 물의 무게, 즉 물의 밀도와 중력 가속으로 인한 크라운의 부피를 곱한 것과 같습니다.
크라운의 부피를 계산할 수있는 위치 :
크라운의 밀도는 물 밖으로 크라운의 질량과 부피 사이의 몫입니다.
순금의 밀도는 유사한 절차로 결정할 수 있으며 결과는 19300 kg / m ^ 3입니다.
두 밀도를 비교해 보면 왕관이 순금이 아니라는 것이 분명합니다!
예 2
데이터와 예제 1의 결과를 바탕으로 금의 일부가 밀도가 10,500 kg / m ^ 3 인은으로 대체 된 경우 금세공이 얼마나 많은 금을 훔쳤는 지 확인할 수 있습니다.
크라운의 밀도를 ρc, ρo를 금의 밀도, ρ p 를 은의 밀도라고 부를 것입니다.
크라운의 총 질량은 다음과 같습니다.
M = ρc⋅V ρo⋅Vo + ρ = P ⋅Vp
크라운의 총 부피는 은의 부피와 금의 부피입니다.
V = Vo + Vp ⇒ Vp = V-Vo
질량을 방정식에 대입하면 다음과 같습니다.
ρc⋅V ρo⋅Vo + ρ = P ⋅ (V - Vo에) ⇒ (ρo - ρ P ) = Vo에 (ρc - ρ P ) V
즉, 총 볼륨 V의 왕관을 포함하는 금 Vo의 볼륨은 다음과 같습니다.
Vo = V⋅ (ρc-ρ p ) / (ρo -ρ p ) =…
… = 0.00015 m ^ 3 (14000-10500) / (19300-10500) = 0.00005966 m ^ 3
크라운에 포함 된 금의 무게를 찾기 위해 Vo에 금의 밀도를 곱합니다.
Mo = 19300 * 0.00005966 = 1.1514kg
왕관의 질량이 2.10kg이기 때문에 금세공이 0.94858kg의 금을 훔쳐서은으로 대체 한 것을 압니다.
해결 된 운동
연습 1
거대한 헬륨 풍선은 사람의 균형을 잡을 수 있습니다 (위아래로 올라가지 않고).
사람의 몸무게와 바구니, 밧줄, 풍선을 합하여 70kg이라고 가정합니다. 이것이 발생하는 데 필요한 헬륨의 양은 얼마입니까? 풍선은 얼마나 커야합니까?
해결책
추력은 주로 헬륨의 부피에 의해 생성되고 나머지 구성 요소의 추력은 훨씬 더 많은 부피를 차지하는 헬륨의 추력에 비해 매우 작다고 가정합니다.
이 경우 70kg의 추력 + 헬륨 중량을 제공 할 수있는 헬륨 부피가 필요합니다.
그림 6. 헬륨으로 채워진 풍선의 자유 체 다이어그램. 출처 : F. Zapata 작성.
추력은 헬륨 부피 곱하기 헬륨 밀도와 중력 가속도의 곱입니다. 그 밀기는 헬륨의 무게와 나머지 모든 무게를 상쇄해야합니다.
Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g
그로부터 V = M / (Da-Dh)
V = 70 kg / (1.25-0.18) kg / m ^ 3 = 65.4 m ^ 3
즉, 65.4m ^ 3의 헬륨이 대기압에서 필요합니다.
구형 지구본을 가정하면 부피와 구형 반경 사이의 관계에서 반경을 찾을 수 있습니다.
V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3
여기서 R = 2.49m. 즉, 헬륨으로 채워진 5m 직경의 풍선이 필요합니다.
연습 2
물보다 밀도가 낮은 재료가 떠 있습니다. 폴리스티렌 (흰색 코르크), 나무 및 얼음 조각이 있다고 가정합니다. 입방 미터당 kg의 밀도는 각각 20, 450 및 915입니다.
총 부피의 일부가 물 외부에 있고 물이 물의 밀도로 입방 미터당 1000 킬로그램을 취하여 물 표면 위로 얼마나 높은지를 찾으십시오.
해결책
부력은 몸의 무게가 물로 인한 추력과 같을 때 발생합니다.
E = M⋅g
그림 7. 부분적으로 잠긴 물체의 자유 물체 다이어그램. 출처 : F. Zapata 작성.
무게는 몸의 밀도 Dc에 부피 V와 중력 가속도 g를 곱한 값입니다.
추력은 아르키메데스의 '원칙에 따라 변위 된 유체의 무게이며 물의 밀도 D에 잠긴 부피 V'와 중력 가속도를 곱하여 계산됩니다.
그건:
D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g
즉, 잠긴 체적 분율은 신체 밀도와 물 밀도 사이의 몫과 같습니다.
즉, 뛰어난 부피 분율 (V ''/ V)은
h가 돌출부 높이이고 L이 입방체의 측면이면 부피 비율은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
따라서 주문한 재료의 결과는 다음과 같습니다.
폴리스티렌 (흰색 코르크) :
(h / L) = (V ''/ V) = 1-(Dc / D) = 1- (20/1000) = 물에서 98 %
목재:
(h / L) = (V ''/ V) = 1-(Dc / D) = 1- (450/1000) = 물에서 55 %
빙:
(h / L) = (V ''/ V) = 1-(Dc / D) = 1- (915/1000) = 물에서 8.5 %
참고 문헌
- Bauer, W. 2011. 공학 및 과학 물리학. 볼륨 1. Mc Graw Hill. 417-455.
- Cengel Y, Cimbala J. 2011. 유체 역학. 기초 및 응용. 초판. McGraw Hill.
- Figueroa, D. (2005). 시리즈 : 과학 및 공학 물리학. Volume 4. 유체 및 열역학. Douglas Figueroa (USB) 편집. 1-42.
- Giles, R. 2010. 유체 및 유압의 역학. McGraw Hill.
- Rex, A. 2011. 물리학의 기초. 피어슨. 239-263.
- Tippens, P. 2011. 물리학 : 개념 및 응용. 7 판. McGraw Hill.