곱셈 원리 요소를 나열하지 않고 해결책을 찾기 위해 계산 문제를 해결하기 위해 사용되는 기술이다. 조합 분석의 기본 원리라고도합니다. 이벤트 발생 방법을 결정하기 위해 연속적인 곱셈을 기반으로합니다.
이 원칙은 결정 (d 1 )이 n 가지 방식으로 이루어지고 또 다른 결정 (d 2 )이 m 가지 방식으로 내려 질 수 있다면, 결정 d 1 과 d 2 를 내릴 수있는 총 방법 수 는 같을 것이라고 말합니다. n * m 에서 곱 합니다. 원칙에 따라 각 결정은 차례로 이루어집니다. 방법 수 = N 1 * N 2 … * N x 방법.
예
예 1
폴라는 친구들과 영화를 보러 갈 계획이고, 입을 옷을 고르기 위해 나는 블라우스 3 개와 스커트 2 개를 분리했다. Paula는 몇 가지 방법으로 옷을 입을 수 있습니까?
해결책
이 경우 Paula는 두 가지 결정을 내려야합니다.
d 1 = 블라우스 3 개 중에서 선택 = n
d 2 = 2 개의 스커트 중 선택 = m
그런 식으로 Paula는 n * m 개의 결정을 내리거나 다른 드레싱 방법을 결정합니다.
n * m = 3 * 2 = 6 개의 결정.
곱셈 원리는 가능한 모든 결과를 연관시키는 다이어그램 인 트리 다이어그램의 기법에서 비롯되어 각 결과가 유한 한 횟수로 발생할 수 있습니다.
예 2
마리오는 목이 너무 말라서 주스를 사러 빵집에 갔다. Luis는 그를 돌보고 그에게 크고 작은 두 가지 크기가 있다고 말합니다. 그리고 네 가지 맛 : 사과, 오렌지, 레몬, 포도. Mario는 주스를 몇 가지 방법으로 선택할 수 있습니까?
해결책
도표에서 Mario는 주스를 선택하는 8 가지 다른 방법이 있으며 곱셈 원리에서와 같이이 결과는 n * m 을 곱하여 얻어지는 것을 볼 수 있습니다 . 유일한 차이점은이 다이어그램을 통해 Mario가 주스를 선택하는 방식이 어떤 것인지 알 수 있다는 것입니다.
반면에 가능한 결과의 수가 매우 많은 경우 곱셈 원리를 사용하는 것이 더 실용적입니다.
계산 기술
계산 기술은 직접 계산하는 데 사용되는 방법이므로 주어진 집합의 요소가 가질 수있는 가능한 배열 수를 알고 있습니다. 이러한 기술은 몇 가지 원칙을 기반으로합니다.
추가 원리
이 원칙은 두 이벤트 m과 n이 동시에 발생할 수없는 경우 첫 번째 또는 두 번째 이벤트가 발생할 수있는 방법의 수는 m + n의 합계가됩니다.
모양 수 = m + n… + x 다른 모양.
예
Antonio는 여행을 가고 싶지만 목적지를 결정하지는 않습니다. 남부 관광청에서는 뉴욕이나 라스 베이거스 여행 프로모션을 제공하고 동부 관광청은 프랑스, 이탈리아 또는 스페인 여행을 권장합니다. 안토니오는 얼마나 많은 여행 대안을 제공합니까?
해결책
Southern Tourism Agency와 함께 Antonio는 2 개의 대안 (뉴욕 또는 라스베가스)을 가지고있는 반면, Eastern Tourism Agency에서는 3 가지 옵션 (프랑스, 이탈리아 또는 스페인)이 있습니다. 다른 대안의 수는 다음과 같습니다.
대안 수 = m + n = 2 + 3 = 5 대안.
순열 원리
세트를 구성하는 요소의 전부 또는 일부를 구체적으로 주문하여 요소로 만들 수있는 모든 가능한 배열의 계산을 용이하게하는 것입니다.
한 번에 모두 가져 오는 n 개의 서로 다른 요소의 순열 수는 다음과 같이 표시됩니다.
n P n = n!
예
네 명의 친구가 사진을 찍고 싶어하고 얼마나 많은 다른 방법으로 배열 할 수 있는지 알고 싶어합니다.
해결책
4 명이 사진을 찍을 수있는 가능한 모든 방법을 알고 싶습니다. 따라서 다음을 수행해야합니다.
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 개의 다른 모양.
n 개의 사용 가능한 요소의 순열 수를 r 요소로 구성된 집합의 일부로 가져 오면 다음과 같이 표시됩니다.
n P r = n! ÷ (n-r)!
예
교실에는 10 개의 좌석이 있습니다. 4 명의 학생이 수업에 참석하면 학생들은 몇 가지 방법으로 그 자리를 채울 수 있습니까?
해결책
의자 세트의 총 수는 10 개이며이 중 4 개만 사용됩니다. 주어진 공식은 순열 수를 결정하는 데 적용됩니다.
n P r = n! ÷ (n-r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10-4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 위치를 채우는 5040 가지 방법.
집합의 사용 가능한 요소 중 일부가 반복되는 경우가 있습니다 (동일 함). 모든 요소를 동시에 사용하는 배열 수를 계산하려면 다음 공식을 사용합니다.
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 !… n r !
예
"늑대"라는 단어에서 4 개의 문자 단어를 몇 개나 만들 수 있습니까?
해결책
이 경우 4 개의 요소 (문자)가 있으며 그 중 2 개는 정확히 동일합니다. 주어진 공식을 적용하면 몇 개의 다른 단어가 생성되는지 알 수 있습니다.
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 !… n r !
4 P 2, 1,1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 개의 다른 단어.
조합 원리
세트를 구성하는 요소의 전부 또는 일부를 특정 순서없이 배열하는 것입니다. 예를 들어, XYZ 배열이있는 경우 ZXY, YZX, ZYX 배열과 동일합니다. 이는 순서가 같지 않아도 각 배열의 요소가 동일하기 때문입니다.
집합 (n)에서 일부 요소 (r)를 가져 오면 조합 원리는 다음 공식으로 제공됩니다.
n C r = n! ÷ (n-r)! R!
예
상점에서 그들은 5 가지 종류의 초콜릿을 판매합니다. 4 개의 초콜릿을 몇 가지 방법으로 선택할 수 있습니까?
해결책
이 경우 매장에서 판매하는 5 가지 종류 중 4 가지 초콜릿을 선택해야합니다. 선택되는 순서는 중요하지 않으며 초콜릿 유형을 두 번 이상 선택할 수 있습니다. 공식을 적용하려면 다음을 수행해야합니다.
n C r = n! ÷ (n-r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5-4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 초콜릿 4 개를 선택하는 5 가지 방법.
집합 (n)의 모든 요소 (r)를 취하면 조합 원리는 다음 공식으로 제공됩니다.
n C n = n!
해결 된 운동
연습 1
14 명의 멤버로 구성된 야구 팀이 있습니다. 한 게임에 몇 가지 방법으로 5 개의 위치를 지정할 수 있습니까?
해결책
세트는 14 개의 요소로 구성되며 5 개의 특정 위치를 지정하려고합니다. 즉, 순서가 중요합니다. 순열 공식은 사용 가능한 n 개의 요소가 r로 구성된 집합의 일부로 취해지는 경우 적용됩니다.
n P r = n! ÷ (n-r)!
n = 14이고 r = 5 인 경우 다음 공식으로 대체됩니다.
14 P 5 = 14! ÷ (14-5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 가지 방법으로 9 개의 게임 위치를 할당합니다.
연습 2
9 인 가족이 여행을 떠나 연속 좌석으로 티켓을 구매한다면, 그들은 몇 가지 방법으로 앉을 수 있습니까?
해결책
연속적으로 9 석을 차지할 9 개 요소 정도입니다.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362880 다른 앉는 방법.
참고 문헌
- Hopkins, B. (2009). 이산 수학 교육을위한 리소스 : 교실 프로젝트, 역사 모듈 및 기사.
- Johnsonbaugh, R. (2005). 이산 수학. 피어슨 교육,.
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- 파드로, FC (2001). 이산 수학. Politèc. 카탈루냐
- Steiner, E. (2005). 응용 과학을위한 수학. 되돌리기.