조건부 확률은 또 다른 조건으로 발생 주어진 특정 이벤트의 발생의 가능성이다. 이 추가 정보는 어떤 일이 일어날 것이라는 인식을 수정하거나 수정하지 않을 수 있습니다.
예를 들어, "이틀 동안 비가 오지 않았다면 오늘 비가 올 확률은 얼마입니까?"라고 자문 해 볼 수 있습니다. 확률을 알고 자하는 사건은 오늘 비가 오는 것이고, 그 답을 조건화 할 추가 정보는“이틀 동안 비가 오지 않았다”는 것입니다.
그림 1. 어제 비가 왔을 때 오늘 비가 올 확률도 조건부 확률의 한 예입니다. 출처 : Pixabay.
확률 공간을 Ω (샘플 공간), ℬ (무작위 이벤트) 및 P (각 이벤트의 확률)와 ℬ에 속하는 이벤트 A와 B로 구성합니다.
B가 발생한 경우 A가 발생할 조건부 확률은 P (A│B)로 표시되며 다음과 같이 정의됩니다.
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A와 B) / P (B)
여기서 : P (A)는 A의 발생 확률이고, P (B)는 사건 B의 확률이며 0과 다르며, P (A∩B)는 A와 B 사이의 교차 확률, 즉, , 두 사건이 모두 발생할 확률 (공동 확률).
이것은 영국 신학자이자 수학자 인 Thomas Bayes가 1763 년에 제안한 두 사건에 적용된 Bayes의 정리에 대한 표현입니다.
속성
-모든 조건부 확률은 0과 1 사이입니다.
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-상기 이벤트가 발생하면 이벤트 A가 발생할 확률은 분명히 1입니다.
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-두 이벤트가 배타적 인 경우, 즉 동시에 발생할 수없는 이벤트 인 경우 교차가 0이므로 둘 중 하나가 발생할 조건부 확률은 0입니다.
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-B가 A의 하위 집합이면 조건부 확률도 1입니다.
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
중대한
P (A│B)는 일반적으로 P (B│A)와 같지 않으므로 조건부 확률을 찾을 때 이벤트를 교환하지 않도록주의해야합니다.
곱셈의 일반 규칙
조건부 확률보다는 관절 확률 P (A∩B)를 찾는 경우가 많습니다. 그런 다음 다음 정리를 통해 우리는 :
P (A∩B) = P (A 및 B) = P (A│B). 피 (B)
정리는 세 가지 이벤트 A, B 및 C에 대해 확장 될 수 있습니다.
P (A∩B∩C) = P (A 및 B 및 C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
또한 A 1 , A 2 , A 3 등 다양한 이벤트에 대해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n ) = P (A 1 ). P (A 2 │A 1 ). P (A 3 │A 1 ∩ A 2 )… P (A n ││A 1 ∩ A 2 ∩… A n-1 )
순차적으로 다른 단계를 거쳐 발생하는 이벤트의 경우 데이터를 다이어그램이나 테이블로 구성하는 것이 편리합니다. 이렇게하면 요청 된 확률에 도달하는 옵션을 더 쉽게 시각화 할 수 있습니다.
예는 트리 다이어그램과 분할 표입니다. 그중 하나에서 다른 하나를 만들 수 있습니다.
조건부 확률의 예
한 이벤트의 확률이 다른 이벤트의 발생에 의해 변경되는 몇 가지 상황을 살펴 보겠습니다.
-예 1
과자 가게에서는 딸기와 초콜릿의 두 종류의 케이크를 판매합니다. 남녀 50 명의 고객의 선호도를 등록함으로써 다음과 같은 가치가 결정되었습니다.
-27 명의 여성 중 11 명이 딸기 케이크를 선호하고 16 명의 초콜릿을 선호합니다.
-남자 23 명 : 초콜릿 15 개, 딸기 8 개 선택
고객이 초콜릿 케이크를 선택할 확률은 Laplace의 규칙을 적용하여 결정할 수 있으며, 이벤트 확률은 다음과 같습니다.
P = 유리한 이벤트 수 / 총 이벤트 수
이 경우 고객 50 명 중 총 31 명이 초콜릿을 선호하므로 확률은 P = 31/50 = 0.62가됩니다. 즉, 62 %의 고객이 초콜릿 케이크를 선호합니다.
하지만 고객이 여성이라면 다를까요? 이것은 조건부 확률의 경우입니다.
비상 테이블
다음과 같은 분할 표를 사용하면 총계가 쉽게 표시됩니다.
그런 다음 유리한 경우가 관찰되고 Laplace의 규칙이 적용되지만 먼저 이벤트를 정의합니다.
-B는 "여성 고객"이벤트입니다.
-A는 여성으로서 "초콜릿 케이크 선호"이벤트입니다.
"여성"이라고 표시된 열로 이동하면 합계가 27 개임을 알 수 있습니다.
그런 다음 "초콜릿"행에서 유리한 경우를 찾습니다. 이러한 이벤트 중 16 개가 있으므로 원하는 확률은 다음과 같습니다.
P (A│B) = 16/27 = 0.5924
여성 고객의 59.24 %가 초콜릿 케이크를 선호합니다.
이 값은 처음에 주어진 조건부 확률 정의와 대조 할 때 일치합니다.
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Laplace의 규칙과 테이블 값을 사용하는지 확인합니다.
P (B) = 27/50
P (A 및 B) = 16/50
여기서 P (A 및 B)는 고객이 초콜릿을 선호하고 여성 일 확률입니다. 이제 값이 대체됩니다.
P (A│B) = P (A 및 B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.
그리고 결과가 동일하다는 것이 입증되었습니다.
-예 2
이 예에서는 곱셈의 규칙이 적용됩니다. 상점에 소형, 중형, 대형의 세 가지 크기의 바지가 전시되어 있다고 가정 해보십시오.
총 24 개의 바지가있는 로트에서 각 크기가 8 개이고 모두 혼합되어 있는데, 그중 두 개를 추출 할 확률과 둘 다 작을 확률은 얼마입니까?
첫 번째 시도에서 작은 바지를 벗을 확률은 8/24 = 1/3이라는 것이 분명합니다. 이제 두 번째 추출은 첫 번째 이벤트에서 조건부입니다. 바지를 제거 할 때 더 이상 24 개가 아니라 23 개가 있기 때문입니다. 작은 바지를 제거하면 8 개 대신 7 개가 있습니다.
이벤트 A는 첫 번째 시도에서 하나의 작은 바지를 당기고 있습니다. 그리고 이벤트 B는 처음으로 작은 바지를 입은 사람입니다. 그러므로:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
마지막으로 곱셈 규칙을 사용합니다.
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097
운동이 해결됨
상업 항공 비행 시간 엄수에 대한 연구에서 다음 데이터를 사용할 수 있습니다.
-P (B) = 0.83은 비행기가 정시에 이륙 할 확률입니다.
-P (A) = 0.81은 정시에 착륙 할 확률입니다.
-P (B∩A) = 0.78은 비행기가 정시에 이륙 할 확률입니다.
다음을 계산해야합니다.
a) 비행기가 정시에 이륙했을 때 비행기가 정시에 착륙 할 확률은 얼마입니까?
b) 위의 확률은 정시에 착륙 한 경우 정시에 떠날 확률과 동일합니까?
c) 그리고 마지막으로 : 정시에 출발하지 않았다면 정시에 도착할 확률은 얼마입니까?
그림 2. 지연으로 인해 수백만 달러의 손실이 발생하므로 상업용 항공편의 시간 엄수가 중요합니다. 출처 : Pixabay.
솔루션
질문에 답하기 위해 조건부 확률의 정의가 사용됩니다.
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A와 B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398
솔루션 b
이 경우 정의의 이벤트가 교환됩니다.
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A 및 B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630
이 확률은 이전에 지적했듯이 이전 확률과 약간 다릅니다.
솔루션 c
정시에 출발하지 않을 확률은 1-P (B) = 1-0.83 = 0.17이며, 정시에 이륙하는 보완적인 이벤트이기 때문에 P (B C ) 라고 부릅니다 . 조건부 확률은 다음과 같습니다.
P (A│B C ) = P (A∩B C ) / P (B C ) = P (A 및 B C ) / P (B C )
반면에 :
P (A∩B C ) = P (정시에 착륙) -P (정시에 착륙하고 정시에 이륙) = 0.81-0.78 = 0.03
이 경우 조건부 확률은 다음과 같습니다.
P (A│B C ) = 0.03 / 0.17 = 0.1765
참고 문헌
- Canavos, G. 1988. 확률 및 통계 : 응용 프로그램 및 방법. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. 공학 및 과학에 대한 확률 및 통계. 8 일. 판. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Schaum 시리즈 : 확률. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. 확률 이론. 편집 Limusa.
- Walpole, R. 2007. 공학 및 과학을위한 확률 및 통계. 피어슨.
- Wikipedia. 조건부 확률. 출처 : es.wikipedia.org.