이론 (또는 라플라스) 확률 P (E) = N (E) : 이벤트 E가 그 발생은 모든 이벤트 발생의 동일한 확률을 가지고있는 샘플 공간 S에 속한다 같은 수학 표기법으로 정의 / N (소)
여기서 P (E)는 이벤트 E의 가능한 결과의 총 수 (n (E)라고 부름) 사이의 몫으로 주어진 확률이며 샘플 공간 S에서 가능한 결과의 총 수 N (S)으로 나눈 값입니다.
그림 1. 6면 주사위 굴림에서 세 개의 점이있는면이 위에있을 이론적 확률은 ⅙입니다. 출처 : Pixabay.
이론적 확률은 0과 1 사이의 실수이지만 종종 백분율로 표시되며,이 경우 확률은 0 %와 100 % 사이의 값이됩니다.
이벤트 발생 확률을 계산하는 것은 거래, 보험 회사, 도박 등과 같은 많은 분야에서 매우 중요합니다.
이론적 확률을 얻는 방법?
예시적인 경우는 추첨 또는 복권의 경우입니다. 스마트 폰을 추첨하기 위해 1,000 장의 티켓이 발행되었다고 가정 해 보겠습니다. 추첨이 무작위로 이루어지기 때문에 어떤 티켓이든 승자가 될 확률이 동일합니다.
81 번 티켓을 구매 한 사람이 승자가 될 확률을 찾기 위해 다음과 같은 이론적 확률 계산이 수행됩니다.
P (1) = 1/1000 = 0.001 = 0.1 %
위의 결과는 다음과 같은 방식으로 해석됩니다. 추첨이 무한히 반복되면 1,000 회 티켓 81이 평균 1 회 선택됩니다.
어떤 이유로 누군가가 모든 티켓을 획득하면 상을받을 것이 확실합니다. 티켓을 모두 가지고있을 경우 당첨 확률은 다음과 같이 계산됩니다.
P (1,000) = 1,000 / 1,000 = 1 = 100 %.
즉, 확률 1 또는 100 %는이 결과가 발생할 것이라는 것이 완전히 확실 함을 의미합니다.
누군가 500 장의 티켓을 소유하고 있다면 승패 가능성은 동일합니다. 이 경우 상금을받을 이론적 확률은 다음과 같이 계산됩니다.
P (500) = 500 / 1,000 = ½ = 0.5 = 50 %.
티켓을 구매하지 않은 사람은 이길 가능성이 없으며 이론적 확률은 다음과 같이 결정됩니다.
P (0) = 0 / 1,000 = 0 = 0 %
예
예 1
한쪽에는 얼굴이 있고 다른쪽에는 방패 또는 봉인이있는 동전이 있습니다. 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 이론적 확률은 얼마입니까?
P (면) = n (면) / N (면 + 차폐) = ½ = 0.5 = 50 %
결과는 다음과 같이 해석됩니다. 만약 엄청난 수의 토스가 발생하면 평균적으로 2 번 토스 할 때마다 그 중 하나가 앞면이 나올 것입니다.
백분율 측면에서 결과의 해석은 무한히 많은 수의 던지기를 수행하면 평균 100 개 중 50 개가 앞면이된다는 것입니다.
예 2
상자에는 파란색 구슬 3 개, 빨간색 구슬 2 개, 녹색 구슬 1 개가 있습니다. 상자에서 구슬을 꺼낼 때 빨간색이 될 이론적 확률은 얼마입니까?
그림 2. 유색 구슬 추출 확률. 출처 : F. Zapata.
빨간색으로 나올 확률은 다음과 같습니다.
P (빨간색) = 유리한 사례 수 / 가능한 사례 수
즉 말하자면:
P (빨간색) = 빨간색 구슬 개수 / 총 구슬 개수
마지막으로 빨간색 구슬이 그려 질 확률은 다음과 같습니다.
P (빨간색) = 2/6 = ⅓ = 0.3333 = 33.33 %
녹색 구슬을 그릴 때 확률은 다음과 같습니다.
P (녹색) = ⅙ = 0.1666 = 16.66 %
마지막으로 블라인드 추출에서 파란색 구슬을 얻을 수있는 이론적 확률은 다음과 같습니다.
P (파란색) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50 %
즉, 추출 된 구슬이 교체되고 시도 횟수가 매우 많다는 전제하에 두 번 시도 할 때마다 결과는 그중 하나에서 파란색이되고 다른 시도에서는 다른 색상이됩니다.
식
연습 1
주사위를 굴려 4보다 작거나 같은 값을 얻을 확률을 결정합니다.
해결책
이 사건이 발생할 확률을 계산하기 위해 이론적 확률의 정의가 적용됩니다.
P (≤4) = 유리한 사례 수 / 가능한 사례 수
P (≤5) = 5/6 = = 83.33 %
연습 2
정상적인 6면 주사위를 두 번 연속해서 던질 때 5가 2 번 굴릴 확률을 구합니다.
해결책
이 연습에 답하려면 모든 가능성을 보여주는 표를 만드십시오. 첫 번째 숫자는 첫 번째 주사위의 결과를 나타내고 두 번째 숫자는 다른 주사위의 결과를 나타냅니다.
이론적 확률을 계산하려면 가능한 총 케이스 수를 알아야합니다.이 경우 이전 표에서 볼 수 있듯이 36 개의 가능성이 있습니다.
또한 표를 살펴보면 두 번의 연속 출시에서 5 개가 나오는 이벤트에 유리한 케이스 수가 1 개이며 색상으로 강조 표시되므로이 이벤트가 발생할 확률은 다음과 같습니다.
P (5 x 5) = 1/36.
이 결과는 이론적 확률의 속성 중 하나를 사용하여 도출 될 수 있습니다. 두 개의 독립적 인 사건의 결합 된 확률은 개별 확률의 곱입니다.
이 경우 첫 토스가 5를 굴릴 확률은 ⅙입니다. 두 번째 던지기는 첫 번째 던지기와 완전히 독립적이므로 두 번째 던지기에서 5가 나올 확률도 ⅙입니다. 따라서 결합 된 확률은 다음과 같습니다.
P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.
연습 3
2보다 작은 숫자는 첫 번째 던지기에서 굴리고 2보다 큰 숫자는 두 번째 던지기에서 굴릴 확률을 찾으십시오.
해결책
다시 한 번, 가능한 이벤트 테이블을 작성해야합니다. 여기서 첫 번째 던지기가 2보다 작고 두 번째가 2보다 큰 이벤트에 밑줄이 표시됩니다.
총 36 개 중 총 4 개의 가능성이 있습니다. 즉,이 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.
P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11 %
다음과 같은 확률 정리 사용 :
동일한 결과를 얻습니다.
P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11 %
이 절차로 얻은 값은 확률의 이론적 또는 고전적 정의를 통해 이전 결과와 일치합니다.
연습 4
두 개의 주사위를 굴릴 때 값의 합이 7 일 확률은 얼마입니까?
해결책
이 경우 솔루션을 찾기 위해 값의 합계가 7이라는 조건을 충족하는 경우가 색상으로 표시된 가능성 표가 작성되었습니다.
표를 보면 6 가지 가능한 경우를 계산할 수 있으므로 확률은 다음과 같습니다.
P (I + II : 7) = 6/36 = 1/6 = 0.1666 = 16.66 %
참고 문헌
- Canavos, G. 1988. 확률 및 통계 : 응용 프로그램 및 방법. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. 공학 및 과학에 대한 확률 및 통계. 8 일. 판. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Schaum 시리즈 : 확률. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. 확률 이론. 편집 Limusa.
- Walpole, R. 2007. 공학 및 과학을위한 확률 및 통계. 피어슨.