놀라운 제품은 전통적으로 해결 될 필요가 없습니다 다항식의 곱셈이 표현된다 대수 작업,하지만 특정 규칙의 도움으로 같은 결과를 찾을 수 있습니다.
다항식에는 yes가 곱해 지므로 항과 변수가 많을 수 있습니다. 프로세스를 더 짧게 만들기 위해 주목할만한 제품 규칙이 사용되어 용어별로 갈 필요없이 곱셈을 허용합니다.
주목할만한 제품 및 사례
각 주목할만한 제품은 인수라고하는 이항식 또는 삼항식과 같은 여러 항의 다항식으로 구성된 인수 분해의 결과 인 공식입니다.
요인은 거듭 제곱의 기저이며 지수를 갖습니다. 요인을 곱할 때 지수를 더해야합니다.
몇 가지 놀라운 제품 공식이 있으며 일부는 다항식에 따라 다른 것보다 더 많이 사용되며 다음과 같습니다.
이항 제곱
항이 더해 지거나 뺄 수있는 제곱으로 표현되는 이항의 곱셈입니다.
에. 이항 제곱합 : 첫 번째 항의 제곱에 두 번째 항의 제곱을 더한 값의 두 배를 더한 것과 같습니다. 다음과 같이 표현됩니다.
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
다음 그림에서 앞서 언급 한 규칙에 따라 제품이 어떻게 발전하는지 확인할 수 있습니다. 그 결과를 완전 제곱의 삼항이라고합니다.
예 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
예 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
비. 제곱 빼기 의 이항 : 합계의 이항 규칙이 적용됩니다.이 경우에만 두 번째 항이 음수입니다. 공식은 다음과 같습니다.
(a-b) 2 = 2
(a-b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(A - B)는 도 2 A = 2 2AB + B - 2 .
예 1
(배 - 6) (2) = (2 ×) 2 - 2 (2 × * 6) + 6 (2)
(배 - 6) (2) = 4 × 2 - 2 (12X) + 36
(배 - 6) (2) = 4 × 2 - 24X + 36.
공액 이항의 곱
두 이항식은 각각의 두 번째 항이 서로 다른 부호를 가질 때, 즉 첫 번째는 양수이고 두 번째는 음수이거나 그 반대 일 때 활용됩니다. 각 단항식을 제곱하고 빼서 해결됩니다. 공식은 다음과 같습니다.
(a + b) * (a-b)
다음 그림에서는 두 켤레 이항식의 곱이 전개되어 결과가 제곱의 차이임을 관찰합니다.
예 1
(2a + 3b) (2a-3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2A + 3B) (2A - 3B) = 4A 2 - 9B 2 .
공통 항을 갖는 두 이항식의 곱
공통 용어를 갖는 두 이항식의 곱이기 때문에 가장 복잡하고 거의 사용되지 않는 주목할만한 제품 중 하나입니다. 규칙은 다음과 같습니다.
- 일반적인 용어의 제곱입니다.
- 더하기 일반적이지 않은 용어의 합계를 더한 다음 공통 용어로 곱하십시오.
- 더하기 일반적이지 않은 용어의 곱셈의 합.
(x + a) * (x + b) 공식 으로 표시되며 이미지와 같이 전개됩니다. 결과는 완전하지 않은 제곱 삼항식입니다.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
두 번째 항 (다른 항)이 음수이고 그 공식은 다음과 같을 가능성이 있습니다 : (x + a) * (x-b).
예 2
(7x + 4) * (7x-2) = (7x * 7x) + ( 4-2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x-2) = 49x 2 + (2) * 7x-8
(7x + 4) * (7x-2) = 49x 2 + 14x-8.
두 용어가 모두 부정적 일 수도 있습니다. 공식은 (x-a) * (x-b)입니다.
예제 3
(3b-6) * (3b-5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b-6) * (3b-5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3B - 6) * (3B - 5) = 9B 2 - 33B + 30.
제곱 다항식
이 경우 두 개 이상의 항이 있고 그것을 개발하기 위해 각 항을 제곱하고 한 항과 다른 항의 곱셈을 두 배로 더합니다. 공식은 (a + b + c) 2 이고 연산 결과는 제곱 삼항식입니다.
예 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
이항 큐브
놀랍도록 복잡한 제품입니다. 그것을 개발하기 위해 다음과 같이 이항에 제곱을 곱합니다.
에. 합계의 이항 세제곱의 경우 :
- 첫 번째 항의 입방체에 첫 번째 항의 제곱에 두 번째를 곱한 것입니다.
- 더하기 첫 번째 항의 세 배에 두 번째 제곱을 곱합니다.
- 플러스 두 번째 학기의 큐브.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
예 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
비. 뺄셈의 이항 세제곱의 경우 :
- 첫 번째 항의 정육면체에서 첫 번째 항의 제곱에 세 번 곱하기 두 번째 항의 제곱입니다.
- 더하기 첫 번째 항의 세 배에 두 번째 제곱을 곱합니다.
- 두 번째 용어의 큐브를 뺀 것입니다.
(a-b) 3 = (a-b) * (a-b) 2
(a - b) (3) = (a - b) * (a 2 - 2AB + B 2 )
(AB) 3 = A 3 - 2A 2 B + AB 2 - BA 2 + 2AB 2 - B 3
(a - b) 3 = 3 - (3A) (2) B + 3AB 2 - B 3 .
예 2
(b-5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b-5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) (3) = B (3) - (15B) 2 + 75B - 125.
삼항의 입방체
제곱을 곱하여 개발됩니다. 3 개의 항을 제곱하고 각 항의 제곱을 세 번 곱하고 각 항을 곱하고 세 항의 곱의 6 배를 더하기 때문에 매우 광범위한 주목할만한 제품입니다. 더 나은 방식으로 본 :
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
예 1
주목할만한 제품의 해결 된 연습
연습 1
다음 이항 큐브를 확장합니다. (4x-6) 3 .
해결책
이항 큐브는 첫 번째 항의 제곱의 세 배를 뺀 첫 번째 항의 제곱에 두 번째를 곱한 것과 같습니다. 더하기 첫 번째 항의 삼중, 두 번째 제곱 곱하기, 두 번째 항의 큐브 빼기.
(4X - 6) (3) = (4X) (3) - (3) (4X) (2) (6) + 3 (4X) * (6) (2) - (6) (2)
(4X - 6) (3) = 64 × 3 - 3 (16X 2 ) (6) + 3 (4X) * (36) - (36)
(4X - 6) (3) = 64 × 3 - 288x 2 + 432x - 36.
연습 2
다음 이항식을 전개하십시오 : (x + 3) (x + 8).
해결책
공통항이 x이고 두 번째 항이 양수인 이항이 있습니다. 그것을 발전시키기 위해서는, 당신은 단지 공통항과 공통적이지 않은 항들의 합 (3과 8)을 제곱 한 다음 그것들에 공통항과 공통적이지 않은 항들의 곱셈의 합을 곱하면됩니다.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
참고 문헌
- Angel, AR (2007). 초등 대수. 피어슨 교육,.
- Arthur Goodman, LH (1996). 분석 기하학을 사용한 대수 및 삼각법. 피어슨 교육.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. 영국 : Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). 초등 및 중급 대수 : 결합 된 접근 방식. 플로리다 : Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). 피어슨 교육.