덧셈 의 연관 속성 은 다양한 수학적 세트에서 덧셈 연산의 연관 특성을 나타냅니다. 그 안에는 a, b, c라고 불리는 세 가지 (또는 그 이상의) 요소가 관련되어 있으므로 항상 참입니다.
a + (b + c) = (a + b) + c
이러한 방식으로 작업을 수행하기위한 그룹화 방법에 관계없이 결과가 동일하다는 것이 보장됩니다.
그림 1. 산술 및 대수 연산을 할 때 덧셈의 연관 속성을 여러 번 사용합니다. (그림 : freepik 구성 : F. Zapata)
그러나 연관 속성은 교환 속성과 동의어가 아닙니다. 즉, 덧셈의 순서가 합계를 변경하지 않거나 요소의 순서가 제품을 변경하지 않는다는 것을 알고 있습니다. 따라서 합계에 대해 다음과 같이 작성할 수 있습니다. a + b = b + a.
그러나 연관 속성에서는 추가 할 요소의 순서가 유지되고 먼저 실행되는 작업이 변경되기 때문에 다릅니다. 즉, 먼저 (b + c)를 추가하고이 결과에 a를 추가하는 것이 c를 추가하는 결과에 by를 추가하는 것보다 중요하지 않습니다.
더하기와 같은 많은 중요한 작업은 연관성이 있지만 전부는 아닙니다. 예를 들어 실수를 빼면 다음과 같은 일이 발생합니다.
a-(b-c) ≠ (a-b)-c
a = 2, b = 3, c = 1이면 :
2– (3-1) ≠ (2-3)-1
0 ≠ -2
곱셈의 연관성
덧셈과 마찬가지로 곱셈의 연관 속성은 다음과 같습니다.
a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c
실수 세트의 경우 이것이 항상 사실임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 예를 들어 a = 2, b = 3, c = 1 값을 사용하면 다음과 같이됩니다.
2 ˟ (3 ˟ 1) = (2 ˟ 3) ˟ 1 → 2 ˟ 3 = 6 ˟ 1
6 = 6
실수는 덧셈과 곱셈의 결합 속성을 충족합니다. 반면에 벡터와 같은 다른 세트에서는 합계가 연관성이 있지만 외적 또는 벡터 제품은 그렇지 않습니다.
곱셈의 연관성 적용
연관 속성이 충족되는 작업의 장점은 가장 편리한 방법으로 그룹화 할 수 있다는 것입니다. 이렇게하면 해결이 훨씬 쉬워집니다.
예를 들어 작은 라이브러리에 각각 5 개의 선반이있는 3 개의 선반이 있다고 가정합니다. 각 선반에는 8 개의 책이 있습니다. 모두 몇 권의 책이 있습니까?
다음과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다. 총 도서 = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 도서.
또는 이렇게 : 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 권.
그림 2. 곱셈의 연관성에 대한 한 가지 적용은 각 선반에있는 책의 수를 계산하는 것입니다. F. Zapata가 만든 이미지.
예
-자연, 정수, 유리, 실수 및 복소수의 집합에서 덧셈과 곱셈의 결합 속성이 충족됩니다.
그림 3. 실수의 경우 덧셈의 연관 속성이 충족됩니다. 출처 : Wikimedia Commons.
-다항식의 경우 이러한 작업에도 적용됩니다.
-뺄셈, 나눗셈 및 지수 연산의 경우 연관 속성은 실수 또는 다항식에 대해 유지되지 않습니다.
-행렬의 경우 덧셈과 곱셈에 대해 결합 속성이 충족되지만 후자의 경우에는 교환 성이 충족되지 않습니다. 이것은 행렬 A, B 및 C가 주어지면 다음 사항이 사실임을 의미합니다.
(A x B) x C = A x (B x C)
하지만 … A x B ≠ B x A
벡터의 연관 속성
벡터는 실수 나 복소수와는 다른 집합을 형성합니다. 벡터 세트에 대해 정의 된 연산은 약간 다릅니다. 더하기, 빼기 및 세 가지 유형의 제품이 있습니다.
벡터의 합은 숫자, 다항식 및 행렬과 마찬가지로 연관 속성을 충족합니다. 스칼라 곱, 벡터 간 스칼라 및 벡터 간 교차하는 경우 후자는이를 충족하지 않지만 벡터 간의 또 다른 연산 인 스칼라 곱은 다음을 고려하여이를 수행합니다.
-스칼라와 벡터의 곱은 벡터가됩니다.
-두 벡터를 스칼라로 곱하면 스칼라가 생성됩니다.
따라서 벡터 v , u 및 w 및 추가로 스칼라 λ가 주어지면 다음 과 같이 작성할 수 있습니다.
- 벡터의 합 : v + ( u + w ) = ( v + u) + w
-스칼라 곱 : λ ( v • u ) = (λ v ) • u
후자는 v • u 가 스칼라이고 λ v 가 벡터 라는 사실 덕분에 가능합니다 .
하나:
v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w
용어 그룹화에 의한 다항식 분해
이 응용 프로그램은 이전에 언급했듯이 연관 속성이 특정 문제를 해결하는 데 도움이되기 때문에 매우 흥미 롭습니다. 단항식의 합은 연관성이 있으며 언뜻보기에 명백한 공통 요소가 나타나지 않을 때 인수 분해에 사용할 수 있습니다.
예를 들어 x 3 + 2 x 2 + 3 x +6 인수를 요청 받았다고 가정합니다 . 이 다항식에는 공통 요소가 없지만 다음과 같이 그룹화하면 어떻게되는지 살펴 보겠습니다.
첫 번째 괄호의 공약수는 ax 2입니다 .
두 번째에서 공통 요소는 3입니다.
식
- 연습 1
학교 건물은 4 개 층으로 구성되어 있으며 각 층에는 30 개의 책상이있는 12 개의 교실이 있습니다. 학교에는 총 몇 개의 책상이 있습니까?
해결책
이 문제는 곱셈의 연관 속성을 적용하여 해결됩니다.
총 책상 수 = 4 개 층 x 12 개의 교실 / 층 x 30 개의 책상 / 강의실 = (4 x 12) x 30 개의 책상 = 48 x 30 = 1440 개의 책상.
또는 원하는 경우 : 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 책상
-연습 2
다항식이 주어지면 :
A (x) = 5x 3 + 2x 2 -7x + 1
B (x) = x 4 + 6x 3 -5x
C (x) = -8x 2 + 3x -7
A (x) + B (x) + C (x)를 찾기 위해 덧셈의 연관 속성을 적용합니다.
해결책
처음 두 개를 그룹화하고 세 번째를 결과에 추가 할 수 있습니다.
A (x) + B (x) = + = x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1
다항식 C (x)가 즉시 추가됩니다.
= X + 4 + 11 배 3 - 6X 2 -9x -6
독자는 옵션 A (x) +로 해결하면 결과가 동일한 지 확인할 수 있습니다.
참고 문헌
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- 수학은 재미 있습니다. 교환법, 연관 법, 분배 법. 출처 : mathisfun.com.
- 수학 창고. 연관 속성의 정의. 출처 : mathwarehouse.com.
- 과학. 덧셈 및 곱셈의 연관 및 교환 속성 (예제 포함). 출처 : sciencing.com.
- Wikipedia. 연관 속성. 출처 : en.wikipedia.org.