축 대칭 직선 이등분하여 다른 도면의 포인트와도 일치하기의 점 대칭축을 호출 할 때이다. 방사형, 회전 또는 원통형 대칭이라고도합니다.
일반적으로 기하학적 도형에 적용되지만 축 대칭을 나타내는 나비, 전갈, 무당 벌레 또는 인간과 같은 동물이 있기 때문에 자연에서 쉽게 관찰 할 수 있습니다.
축 대칭은 토론토 도시의 스카이 라인과 물에 반사 된이 사진에서 보여집니다. (출처 : pixabay)
축 대칭을 찾는 방법
선 (L)에 대한 점 P의 축 대칭 P '를 찾기 위해 다음과 같은 기하학적 연산이 수행됩니다.
1.- 점 P를 통과하는 선 (L)에 수직입니다.
2.- 두 선의 가로 채기는 점 O를 결정합니다.
3.- 세그먼트 PO의 길이를 측정 한 다음이 길이를 P에서 O 방향으로 O에서 시작하여 선 (PO)에 복사하여 점 P '를 결정합니다.
4.- 점 P '는 선 (L)이 세그먼트 PP의 이등분선이기 때문에 축 (L)에 대해 점 P의 축 대칭이며, O는 상기 세그먼트의 중간 점입니다.
그림 1. 축이 PP 세그먼트의 이등분선이면 두 점 P와 P '는 축 (L)에 대해 축 대칭입니다.
축 대칭의 속성
-축 대칭은 등각 투영입니다. 즉, 기하학적 도형의 거리와 해당 대칭이 유지됩니다.
-각도의 크기와 대칭이 동일합니다.
-대칭축에있는 점의 축 대칭은 점 자체입니다.
-대칭축에 평행 한 선의 대칭 선도 상기 축에 평행 한 선이다.
-대칭축에 대한 시컨트 라인은 대칭 라인으로서 원래 라인의 동일한 지점에서 대칭 축과 교차하는 또 다른 시컨트 라인을 갖습니다.
-선의 대칭 이미지는 원래 선과 동일한 치수의 대칭축과 각도를 형성하는 또 다른 선입니다.
-대칭축에 수직 인 선의 대칭 이미지는 첫 번째 선과 겹치는 또 다른 선입니다.
-선과 그 축 대칭 선은 이등분선이 대칭 축인 각도를 형성합니다.
그림 2. 축 대칭은 거리와 각도를 유지합니다.
축 대칭의 예
자연은 축 대칭의 풍부한 예를 보여줍니다. 예를 들어 얼굴의 대칭, 나비와 같은 곤충, 잔잔한 수면과 거울 또는 식물의 잎에 반사되는 등 여러 가지를 볼 수 있습니다.
그림 3.이 나비는 거의 완벽한 축 대칭을 나타냅니다. (출처 : pixabay)
그림 4.이 소녀의 얼굴에는 축 대칭이 있습니다. (출처 : pixabay)
축 대칭 운동
연습 1
데카르트 좌표가 각각 A = (2, 5), B = (1, 1) 및 C = (3,3) 인 정점 A, B 및 C의 삼각형이 있습니다. Y 축 (세로축)에 대해 대칭 인 삼각형의 데카르트 좌표를 찾습니다.
솔루션 : 점 P에 좌표 (x, y)가 있으면 세로축 (Y 축)에 대한 대칭은 P '= (-x, y)입니다. 즉, 횡좌표 값은 부호를 변경하고 세로 좌표 값은 동일하게 유지됩니다.
이 경우 정점 A ', B'및 C '가있는 대칭 삼각형은 다음 좌표를 갖습니다.
A '= (-2, 5); 그림 6에서 볼 수 있듯이 B '= (-1, 1) 및 C'= (-3, 3)
그림 6. 포인트에 좌표 (x, y)가있는 경우 Y 축 (세로축)에 대한 대칭은 좌표 (-x, y)를 갖습니다.
연습 2
연습 1의 삼각형 ABC와 대칭 A'B'C '를 참조하여 원래 삼각형과 대칭의 해당 변의 길이가 같은지 확인하십시오.
솔루션 : 변의 거리 또는 길이를 찾기 위해 유클리드 거리 공식을 사용합니다.
d (A, B) = √ ((Bx-Ax) ^ 2 + (By-Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((-1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123
해당 대칭면 A'B '의 길이는 다음과 같이 계산됩니다.
d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((-1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123
이러한 방식으로 축 대칭이 두 점 사이의 거리를 유지한다는 것이 확인됩니다. 길이 불변성을 확인하기 위해 삼각형의 다른 두 변과 대칭에 대해 절차를 반복 할 수 있습니다. 예 : -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.
연습 3
연습 1의 삼각형 ABC 및 대칭 A'B'C '와 관련하여 원래 삼각형과 대칭의 해당 각도가 동일한 각도 측정 값을 갖는지 확인하십시오.
해결 방법 :이 BAC와 B'A'C는 '우리가 먼저 벡터의 내적 계산합니다 각도의 조치를 확인하려면 AB 와 AC 다음과의 스칼라 제품 A'B' 와 'A'C을 .
기억 :
A = (2, 5), B = (1, 1) 및 C = (3,3)
A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) 및 C'= (-3, 3).
다음이 있습니다.
AB = <1-2, 1-5> 및 AC = <3-2, 3-5>
비슷하게
A'B ' = <-1 + 2, 1-5> 및 AC = <-3 + 2, 3-5>
그러면 다음 스칼라 곱이 발견됩니다.
AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
비슷하게
A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
각도 BAC의 측정 값은 다음과 같습니다.
∡BAC = ARCCOS ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =
ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º
마찬가지로 각도 B'A'C '의 측정 값은 다음과 같습니다.
∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / ( -A'B'- ⋅- A'C'- )) =
ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º
축 대칭이 각도 측정을 유지한다는 결론을 내립니다.
연습 4
점 P를 좌표 (a, b)로 설정합니다. 선 y = x에 대한 축 대칭 P '의 좌표를 찾으십시오.
솔루션 : 우리는 선 y = x에 대한 대칭점 P '의 좌표를 (a', b ')라고 부를 것입니다. 세그먼트 PP '의 중간 점 M은 좌표 ((a + a') / 2, (b + b ') / 2)를 가지며 또한 y = x 라인에 있으므로 다음과 같은 등식이 유지됩니다.
a + a '= b + b'
반면에 세그먼트 PP '는 기울기 1의 선 y = x에 수직이기 때문에 기울기 -1을 가지므로 다음과 같은 등식이 유지됩니다.
b-b '= a'-a
두 개의 이전 등식 a '와 b'를 해결하면 다음과 같이 결론을 내립니다.
a '= 그에 의해 b'= a.
즉, 점 P (a, b)가 주어지면 선 y = x에 대한 축 대칭은 P '(b, a)입니다.
참고 문헌
- Arce M., Blázquez S 및 기타. 비행기의 변형. 출처 : educutmxli.files.wordpress.com
- 계산 cc. 축 대칭. 출처 : calculo.cc
- Superprof. 축 대칭. 출처 : superprof.es
- 위키 백과. 축 대칭. 출처 : es.wikipedia.com
- 위키 백과. 원형 대칭. 출처 : en.wikipedia.com