계산 기술은 세트 내의 가능한 객체 배열 또는 여러 세트의 수를 계산하는 방법 확률의 연속이다. 많은 수의 개체 및 / 또는 변수로 인해 계정을 수동으로 수행하는 것이 복잡해질 때 사용됩니다.
예를 들어,이 문제에 대한 해결책은 매우 간단합니다. 상사가 지난 한 시간 동안 도착한 최신 제품을 세도록 요청한다고 가정 해보십시오. 이 경우 제품을 하나씩 셀 수 있습니다.
그러나 문제가 다음과 같다고 상상해보십시오. 상사가 지난 시간에 도착한 제품으로 동일한 유형의 5 개 제품 그룹을 몇 개나 만들 수 있는지 세도록 요청합니다. 이 경우 계산이 복잡합니다. 이러한 유형의 상황에서는 소위 계산 기술이 사용됩니다.
이러한 기술은 다양하지만 가장 중요한 것은 곱셈과 덧셈이라는 두 가지 기본 원칙으로 나뉩니다. 순열 및 조합.
곱셈 원리
응용
덧셈과 함께 곱셈 원리는 계산 기술의 작동을 이해하는 데 기본입니다. 곱셈의 경우 다음과 같이 구성됩니다.
특정 수의 단계 (총계를 "r"로 표시)를 포함하는 활동을 상상해 보겠습니다. 여기서 첫 번째 단계는 N1 방식으로, 두 번째 단계는 N2 방식으로, 단계“r”은 Nr 방식으로 수행 할 수 있습니다. 이 경우이 작업의 결과로 생성 된 모양 수에서 활동을 수행 할 수 있습니다. N1 x N2 x ……… .x Nr 모양
이것이 바로이 원리를 곱셈이라고 부르는 이유이며, 활동을 수행하는 데 필요한 모든 단계를 차례로 수행해야 함을 의미합니다.
예
학교를 짓고 싶은 사람을 상상해 봅시다. 이를 위해 건물 바닥은 시멘트 또는 콘크리트의 두 가지 방법으로 지을 수 있습니다. 벽은 어도비, 시멘트 또는 벽돌로 만들 수 있습니다.
지붕은 시멘트 또는 아연 도금 시트로 만들 수 있습니다. 마지막으로 최종 페인팅은 한 가지 방식으로 만 수행 할 수 있습니다. 제기되는 질문은 다음과 같습니다. 그가 학교를 짓기 위해 얼마나 많은 방법을 사용해야합니까?
먼저, 우리는 기초, 벽, 지붕 및 페인트가 될 단계 수를 고려합니다. 총 4 단계이므로 r = 4입니다.
다음은 N을 나열하는 것입니다.
N1 = 기반을 구축하는 방법 = 2
N2 = 벽을 만드는 방법 = 3
N3 = 지붕을 만드는 방법 = 2
N4 = 페인팅 방법 = 1
따라서 가능한 모양의 수는 위에 설명 된 공식을 사용하여 계산됩니다.
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 가지 학교 생활 방식.
첨가 원리
응용
이 원칙은 매우 간단하며 동일한 활동을 수행하기위한 여러 대안이있는 경우 가능한 방법은 모든 대안을 수행하는 여러 가능한 방법의 합계로 구성된다는 사실에 있습니다.
즉, 첫 번째 대안은 M 방식으로, 두 번째는 N 방식으로, 마지막은 W 방식으로 수행 할 수있는 세 가지 대안으로 활동을 수행하려는 경우 활동은 M + N + ……… + W 모양.
예
이번에는 테니스 라켓을 사고 싶은 사람을 상상해 봅시다. 이를 위해 Wilson, Babolat 또는 Head의 세 가지 브랜드 중에서 선택할 수 있습니다.
상점에 가면 Wilson 라켓을 4 가지 모델에서 L2 또는 L3의 두 가지 크기의 핸들로 구입할 수 있으며 묶거나 풀 수 있습니다.
반면 Babolat 라켓에는 3 개의 핸들 (L1, L2 및 L3)이 있으며 두 가지 다른 모델이 있으며 묶거나 풀 수도 있습니다.
헤드 라켓은 두 개의 다른 모델에서 하나의 핸들 인 L2로만 사용할 수 있으며 풀린 상태로만 제공됩니다. 문제는이 사람이 라켓을 구입해야하는 방법은 몇 가지입니까?
M = Wilson 라켓을 선택하는 방법의 수
N = 바볼랏 라켓을 선택하는 방법의 수
W = 헤드 라켓을 선택하는 방법의 수
승수 원칙을 수행합니다.
M = 2 x 4 x 2 = 16 모양
N = 3 x 2 x 2 = 12 가지 방법
W = 1 x 2 x 1 = 2 가지 방법
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 라켓을 선택하는 30 가지 방법.
곱셈 원리와 덧셈을 언제 사용해야하는지 알기 위해서는 활동에 수행 할 일련의 단계가 있는지 여부와 여러 대안이있는 경우 덧셈 만 살펴보면됩니다.
순열
응용
순열이 무엇인지 이해하려면 조합이 무엇인지 설명하여 구분하고 사용할시기를 알 수 있도록하는 것이 중요합니다.
조합은 각 요소가 차지하는 위치에 관심이없는 요소의 배열입니다.
반면에 순열은 각 요소가 차지하는 위치에 관심이있는 요소의 배열입니다.
차이점을 더 잘 이해하기 위해 예를 들어 보겠습니다.
예
35 명의 학생과 다음과 같은 상황을 가정 해 보겠습니다.
- 교사는 세 명의 학생들이 교실을 깨끗하게 유지하거나 필요할 때 다른 학생들에게 자료를 나누어주기를 원합니다.
- 교사는 학급 대표 (총장, 조교 및 재정가)를 지정하려고합니다.
해결책은 다음과 같습니다.
- 투표를 통해 Juan, María 및 Lucía가 수업을 청소하거나 자료를 전달하도록 선택되었다고 가정 해 봅시다. 당연히 35 명의 가능한 학생 중 다른 세 그룹이 형성되었을 수 있습니다.
우리는 스스로에게 다음과 같은 질문을해야합니다. 각 학생을 선택할 때 순서 나 위치가 중요합니까?
생각해 보면 그룹이 두 작업을 동등하게 담당 할 것이기 때문에 실제로 중요하지 않다는 것을 알 수 있습니다. 이 경우 요소의 위치에 관심이 없기 때문에 조합입니다.
- 이제 후안이 대통령으로 선출되고 마리아가 조수로, 루시아가 금융 가로 선출되었다고 가정 해 봅시다.
이 경우 순서가 중요합니까? 대답은 '예'입니다. 요소를 변경하면 결과가 변경되기 때문입니다. 즉, 후안을 사장으로 두는 대신 그를 조수로, 마리아를 사장으로두면 최종 결과가 바뀔 것입니다. 이 경우 순열입니다.
차이가 이해되면 순열과 조합에 대한 공식을 구할 것입니다. 그러나 먼저 "n!"이라는 용어를 정의해야합니다. (ene factorial), 다른 공식에서 사용되기 때문입니다.
n! = 1에서 n까지의 곱.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn
실수로 사용 :
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120
순열의 공식은 다음과 같습니다.
nPr = n! / (nr)!
이를 통해 순서가 중요한 위치와 n 개의 요소가 다른 위치를 찾을 수 있습니다.
조합
응용
이전에 언급했듯이 조합은 요소의 위치에 신경 쓰지 않는 배열입니다.
공식은 다음과 같습니다.
nCr = n! / (nr)! r!
예
교실 청소를 자원하고 싶은 학생이 14 명이라면, 각 그룹이 5 명이어야한다면 몇 개의 청소 그룹을 만들 수 있습니까?
따라서 해결책은 다음과 같습니다.
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14-5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 그룹
해결 된 운동
연습 1
출처 : Pixabay.com
나탈리아는 어머니로부터 식료품 점에 가서 식히기 위해 소다수를 사달라고 요청합니다. Natalia가 점원에게 음료를달라고하면 청량 음료에는 4 가지 맛, 3 가지 종류, 3 가지 크기가 있다고 말합니다.
청량 음료의 풍미는 콜라, 레몬, 오렌지, 민트가 될 수 있습니다.
콜라의 종류는 일반, 무설탕, 카페인 무첨가 일 수 있습니다.
크기는 소형, 중형 및 대형 일 수 있습니다.
나탈리아의 어머니는 자신이 원하는 청량 음료의 종류를 명시하지 않았습니다. 나탈리아는 몇 가지 방법으로 음료를 사야합니까?
해결책
M = 콜라를 선택할 때 선택할 수있는 크기 및 유형 번호.
N = 레몬 소다를 선택할 때 선택할 수있는 크기 및 유형의 수.
W = 오렌지 소다를 선택할 때 선택할 수있는 크기 및 유형 번호.
Y = 민트 소다를 선택할 때 선택할 수있는 크기 및 유형 번호.
승수 원칙을 수행합니다.
M = 3 × 3 = 9 가지 방법
N = 3 × 3 = 9 가지 방법
W = 3 × 3 = 9 가지 방법
Y = 3 × 3 = 9 가지 방법
M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 소다를 선택하는 36 가지 방법.
연습 2
출처 : pixabay.com
스포츠 클럽은 아이들이 스케이트를 배울 수있는 무료 워크숍을 광고합니다. 20 명의 어린이가 등록되어있어 강사가보다 편안하게 수업을 진행할 수 있도록 10 명씩 두 그룹으로 나누기로 결정했습니다.
차례로 그들은 각 어린이가 어느 그룹에 속할지 결정합니다. 어린이는 몇 개의 그룹에 들어갈 수 있습니까?
해결책
이 경우 답을 찾는 방법은 조합 기법을 사용하는 것입니다. 그 공식은 nCr = n! / (Nr)! R!
n = 20 (자녀 수)
r = 10 (그룹 크기)
20C10 = 20! / (20-10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 그룹.
참고 문헌
- Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
- William Feller, "확률 이론 및 그 응용에 대한 소개", (1 권), 3rd Ed, (1968), Wiley
- Finetti, Bruno de (1970). "논리적 기초 및 주관적 확률 측정". Acta Psychologica.
- Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). 수학적 통계 입문 (6 판). 새들 강 상류 : 피어슨.
- Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture : Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.