큐잉 이론 : 역사, 모델, 그 대상 및 예 - 수학 - 2025

큐잉 이론은 수학의 지점입니다 연구 현상 및 대기 선에서 행동. 특정 서비스를 요구하는 사용자가 서버가 처리되기를 기다릴 때 정의됩니다.

인간 요소이든 데이터 처리 또는 작업이든 관계없이 모든 유형의 대기 라인에있는 요소를 연구합니다. 그의 결론은 생산, 등록 및 가공 라인에 지속적으로 적용된다는 것입니다.

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그 가치는 구현 전에 프로세스의 매개 변수화에 기여하며 올바른 계획 관리를위한 핵심 조직 요소 역할을합니다.

역사

개발의 주된 책임은 덴마크 태생의 수학자 Agner Kramp Erlang이었습니다. 그는 코펜하겐 전화 교환 통신 회사에서 일했습니다.

Agner는 회사의 전화 서비스 제공 시스템에서 증가하는 요구 사항이 증가하고 있음을 지적했습니다. 이것이 대기 선 시스템에서 정량화 할 수있는 수학적 현상에 대한 연구가 시작된 이유입니다.

그의 첫 번째 공식 출판물은 1909 년에 출판 된 Queuing Theory라는 제목의 기사였습니다. 그의 초점은 주로 통화 서비스를위한 회선 및 전화 교환 센터의 크기 조정 문제에 초점을 맞추 었습니다.

모델 및 요소

일부 측면이 각각을 정의하고 특성화하는 역할을 담당하는 여러 큐 모델이 있습니다. 모델을 정의하기 전에 모든 대기열 모델을 구성하는 요소가 제시됩니다.

-집단

진입 원 또는 잠재적 인 인구

서비스에 대한 가능한 지원자의 집합입니다. 이것은 인간 사용자에서 데이터 패킷 세트에 이르기까지 모든 유형의 변수에 적용됩니다. 세트의 특성에 따라 유한과 무한으로 분류됩니다.

꼬리

이미 서비스 시스템의 일부인 요소 집합을 나타냅니다. 운영자의 가용성을 기다리는 데 이미 동의했습니다. 시스템 해결을 기다리는 상태입니다.

-테일 시스템

큐, 서비스 메커니즘 및 큐의 원칙에 의해 형성된 트라이어드로 구성됩니다. 큐의 요소에 대한 선택 기준을 제어하는 ​​시스템 프로토콜에 구조를 제공합니다.

-서비스 메커니즘

서비스가 각 사용자에게 제공되는 프로세스입니다.

-고객

서비스를 요구하는 잠재적 인 인구에 속하는 모든 요소입니다. 클라이언트의 진입률과 소스가 클라이언트를 생성 할 확률을 아는 것이 중요합니다.

-큐 용량

제공 대기 할 수있는 품목의 최대 용량을 나타냅니다. 그것은 유한하거나 무한한 것으로 간주 될 수 있으며, 대부분의 경우 실용성의 기준에 따라 무한합니다.

-큐의 징계

고객에게 서비스를 제공하는 순서가 결정되는 프로토콜입니다. 사용자를위한 처리 및 주문 채널 역할을하며 대기열 내에서 처리 및 이동을 담당합니다. 기준에 따라 다른 유형이 될 수 있습니다.

-FIFO : 영어 약어에서 선입 선출 (FCFS라고도 함) 선착순 제공. 즉, 각각 선입 선출과 선입 선출이 제공됩니다. 두 양식 모두 첫 번째로 도착한 고객이 가장 먼저 서비스를 받는다는 것을 나타냅니다.

-LIFO : 스택 (stack) 또는 LCFS 라스트 인 선입 선출 (Last in First Out)은 선착순으로 제공됩니다. 마지막에 도착한 고객이 먼저 서비스를 제공합니다.

-RSS : SIRO 서비스라고도하는 무작위 서비스를 무작위 순서로 선택하여 무작위 또는 무작위 기준에 따라 고객을 선택합니다.

모델

고려할 대기열 모델을 제어하는 ​​3 가지 측면이 있습니다. 다음은 다음과 같습니다.

-도착 사이의 시간 분포 : 단위가 대기열에 추가되는 비율을 나타냅니다. 그것들은 기능적 가치이며 그 성격에 따라 다른 변수의 영향을받습니다.

-서비스 시간 분포 : 서버가 클라이언트가 요청한 서비스를 처리하는 데 사용한 시간. 설정된 작업 또는 절차의 수에 따라 다릅니다.

이 두 가지 측면은 다음 값을 취할 수 있습니다.

M : 지수 지수 분포 (Markoviana).

D : 퇴화 분포 (일정 시간).

E _k : 형상 매개 변수 k를 사용한 얼랭 분포.

G : 일반 배포 (모든 배포).

-서버 수 : 서비스 게이트가 열리고 클라이언트를 처리 할 수 ​​있습니다. 이는 각 대기열 모델의 구조적 정의에 필수적입니다.

이러한 방식으로 대기열 모델이 정의되고 먼저 도착 시간 분포와 서비스 시간 분포의 대문자로 된 이니셜을 사용합니다. 마지막으로 서버 수를 조사합니다.

매우 일반적인 예는 단일 서버로 작업하면서 기하 급수적 유형의 도착 및 서비스 시간 분포를 나타내는 MM 1입니다.

다른 유형의 대기열 모델은 MM s, MG 1, ME 1, DM 1 등입니다.

큐잉 시스템의 유형

여러 변수가 제시된 시스템 유형의 지표로 사용되는 여러 유형의 대기열 시스템이 있습니다. 그러나 기본적으로 큐 수와 서버 수에 의해 제어됩니다. 사용자가 서비스를받는 선형 구조도 적용됩니다.

-대기열과 서버. 도착 시스템을 통해 사용자가 대기열에 들어가는 일반적인 구조로, 대기열의 규율에 따라 대기를 완료 한 후 유일한 서버에서 처리합니다.

-하나의 대기열과 여러 서버. 사용자는 대기 시간이 끝날 때 동일한 프로세스의 실행자가 될 수있는 다른 서버로 이동할 수있을뿐만 아니라 다른 절차에 대해 비공개가 될 수도 있습니다.

-여러 대기열 및 여러 서버. 구조는 서로 다른 프로세스에 대해 분할되거나 공통 서비스에 대한 높은 수요를 처리하기 위해 넓은 채널 역할을 할 수 있습니다.

-순차 서버가있는 대기열. 사용자는 여러 단계를 거칩니다. 그들은 대기열에 들어가서 자리를 차지하고 첫 번째 서버에서 서비스를 받으면 첫 번째 서비스에서 이루어진 이전 이행이 필요한 새로운 단계로 넘어갑니다.

술어

-λ :이 기호 (Lambda)는 큐잉 이론에서 시간 간격 당 예상되는 입력 값을 나타냅니다.

-1 / λ : 시스템에 진입하는 각 사용자의 도착 시간 사이의 예상 값에 해당합니다.

-μ : Mu 기호는 단위 시간당 서비스를 완료하는 예상 클라이언트 수에 해당합니다. 이것은 모든 서버에 적용됩니다.

-1 / μ : 시스템에서 예상되는 서비스 시간.

-ρ : Rho 기호는 서버의 사용률을 나타냅니다. 서버가 사용자를 처리하는 데 얼마나 많은 시간이 소요되는지 측정하는 데 사용됩니다.

ρ = λ / sμ

p> 1이면 서버의 유틸리티 비율이 시스템에 들어가는 사용자 수보다 적기 때문에 시스템이 일시적으로 증가하는 경향이 있습니다.

p <1이면 시스템이 안정적으로 유지됩니다.

이론은 무엇입니까

전화 서비스 제공 프로세스를 최적화하기 위해 만들어졌습니다. 이것은 대기 라인 현상과 관련하여 유틸리티를 구분하며, 여기서 시간 값을 줄이고 사용자와 운영자의 프로세스를 늦추는 모든 유형의 재 작업 또는 중복 프로세스를 취소하려고합니다.

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입력 및 서비스 변수가 혼합 된 값을 취하는 더 복잡한 수준에서 대기열 이론 외부에서 수행되는 계산은 거의 상상할 수 없습니다. 이론이 제공하는 공식은이 분야에서 고급 미적분학을 열었습니다.

수식에있는 요소

-Pn : "n"단위가 시스템 내에있을 확률을 나타내는 값입니다.

-Lq : 대기열 길이 또는 대기열에있는 사용자의 평균 값입니다.

-Ls : 시스템의 평균 단위.

-Wq : 대기열의 평균 대기 속도.

-Ws : 시스템의 평균 대기 율.

-_λ : 서비스에 들어가는 평균 클라이언트 수.

-Ws (t) : 고객이 시스템에 "t"단위 이상 남아있을 확률을 나타내는 값입니다.

-Wq (t) : 고객이 대기열에 "t"단위 이상 남아있을 확률을 나타내는 값입니다.

예

레지스트리에는 오는 사용자의 여권을 처리하는 단일 서버가 있습니다. 시간당 평균 35 명의 사용자가 레지스트리에 참석합니다. 서버는 시간당 45 명의 사용자에게 서비스를 제공 할 수 있습니다. 이전에는 사용자가 대기열에서 평균 5 분을 보내는 것으로 알려져 있습니다.

넌 알고 싶어하다:

1. 각 사용자가 시스템에서 보내는 평균 시간
2. 대기열에있는 평균 고객 수

λ = 35/45 고객 / 분

μ = 45/60 클라이언트 / 분

Wq = 5 분

파트 A

시스템의 평균 시간은 Ws로 계산할 수 있습니다.

Ws = Wq + 1 / μ = 5 분 + 1.33 = 6.33 분

이러한 방식으로 사용자가 시스템에 머무르는 총 시간이 정의됩니다. 여기서 5 분은 대기열에 있고 1.33 분은 서버에 있습니다.

파트 B

Lq = λ x Wq

Lq = (0.78 클라이언트 분) x (5 분) = 3.89 클라이언트

대기열에 동시에 3 개 이상의 클라이언트가있을 수 있습니다.

참고 문헌

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2. 대기열 또는 대기 줄의 이론. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
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