세트 이론 : 특성, 요소, 예, 연습 - 수학 - 2026

집합 이론은 수학적 논리 세트라는 엔티티 사이의 관계에 대한 연구에 대한 책임의 지점이다. 세트는 동일한 성격의 개체 컬렉션이 특징입니다. 상기 개체는 세트의 요소이며 숫자, 문자, 기하학적 도형, 개체를 나타내는 단어, 개체 자체 및 기타 일 수 있습니다.

집합 이론을 제안한 사람은 19 세기 말에 Georg Cantor였습니다. 20 세기의 다른 저명한 수학자들은 Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel 등을 공식화했습니다.

그림 1. 세트 A, B 및 교차점 A⋂ B의 벤 다이어그램 (자체 정교화).

벤 다이어그램은 세트를 나타내는 그래픽 방식이며 세트의 요소가 포함 된 닫힌 평면 그림으로 구성됩니다.

예를 들어, 그림 1에는 A와 B의 공통 요소 인 공통 요소가있는 두 세트 A와 B가 표시되어 있습니다. 이들은 A와 B의 교차 세트라는 새로운 세트를 형성하며 다음과 같은 형식으로 작성됩니다. 다음과 같이 상징 :

A ∩ B

형질

세트는 기하학에서 점, 선 또는 평면의 개념이므로 원시 개념입니다. 예를 지적하는 것보다 개념을 표현하는 더 좋은 방법은 없습니다.

스페인 국기의 색깔에 의해 형성된 세트 E. 집합을 표현하는 이러한 방식을 이해력이라고합니다. 확장으로 작성된 동일한 세트 E는 다음과 같습니다.

E = {빨간색, 노란색}

이 경우 빨간색과 노란색은 집합 E의 요소입니다. 요소는 중괄호로 나열되며 반복되지 않습니다. 스페인 국기의 경우 세 가지 색의 줄무늬 (빨강, 노랑, 빨강)가 있으며, 그중 두 개가 반복되지만 전체를 표현할 때 요소가 반복되지 않습니다.

처음 세 개의 모음 문자로 구성된 집합 V를 가정합니다.

V = {a, e, i}

P (V)로 표시되는 V의 거듭 제곱 집합은 V의 요소로 구성 할 수있는 모든 집합의 집합입니다.

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

세트의 종류

유한 세트

요소가 셀 수있는 세트입니다. 유한 집합의 예로는 스페인어 알파벳 문자, 스페인어 모음, 태양계 행성 등이 있습니다. 유한 집합의 요소 수를 카디널리티라고합니다.

무한 세트

무한 집합은 요소의 수가 아무리 많더라도 항상 더 많은 요소를 찾을 수 있기 때문에 요소의 수는 셀 수 없다는 모든 것으로 이해됩니다.

무한 집합의 예는 다음과 같이 광범위한 형식으로 표현되는 자연수 N 집합입니다.

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} 자연수가 아무리 크더라도 끝없는 과정에서 항상 다음으로 큰 숫자를 찾을 수 있기 때문에 분명히 무한 집합입니다. 분명히 무한 세트의 카디널리티는 ∞입니다.

빈 세트

요소를 포함하지 않는 세트입니다. 빈 세트 V는 Ø 또는 내부 요소가없는 키 쌍으로 표시됩니다.

V = {} = Ø.

빈 집합은 고유하므로 "빈 집합"이라고 말하는 것은 올바르지 않습니다. 올바른 형식은 "빈 집합"이라고 말하는 것입니다.

빈 집합의 속성 중에는 모든 집합의 하위 집합이 있습니다.

Ø ⊂ A

또한 세트가 빈 세트의 하위 집합이면 반드시 해당 세트가 진공 상태가됩니다.

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

단일 세트

단위 세트는 단일 요소를 포함하는 모든 세트입니다. 예를 들어 지구의 자연 위성 세트는 유일한 요소가 달인 단일 세트입니다. 2보다 작고 0보다 큰 정수 집합 B에는 요소 1 만 있으므로 단위 집합입니다.

바이너리 세트

집합은 두 개의 요소 만 있으면 이진입니다. 예를 들어, x는 x ^ 2 = 2의 실수 솔루션이되는 X 집합입니다.이 확장 집합은 다음과 같이 작성됩니다.

X = {-√2, + √2}

유니버설 세트

유니버설 세트는 동일한 유형 또는 성격의 다른 세트를 포함하는 세트입니다. 예를 들어, 자연수의 보편적 인 집합은 실수의 집합입니다. 그러나 실수는 정수와 유리수의 보편적 인 집합입니다.

핵심 항목

-세트 간의 관계

어셈블리에서는 어셈블리와 해당 요소간에 다양한 유형의 관계를 설정할 수 있습니다. 두 세트 A와 B가 둘 사이에 정확히 동일한 요소를 갖는 경우 다음과 같이 표시되는 동등 관계가 설정됩니다.

A = B

집합 A의 모든 요소가 집합 B에 속하지만 B의 모든 요소가 A에 속하지 않는 경우 이러한 집합 사이에 다음과 같이 표시되는 포함 관계가 있습니다.

A ⊂ B, 그러나 B ⊄ A

위의 표현식은 다음과 같습니다. A는 B의 하위 집합이지만 B는 A의 하위 집합이 아닙니다.

일부 요소 또는 요소가 집합에 속함을 나타 내기 위해 멤버십 기호 ∈가 사용됩니다. 예를 들어 x 요소 또는 요소가 집합 A에 속한다고 말하면 다음과 같이 기호로 작성됩니다.

x ∈ A

요소가 집합 A에 속하지 않는 경우이 관계는 다음과 같이 작성됩니다.

및 ∉ A

구성원 관계는 집합의 요소와 집합 사이에서 발생합니다. 단, 전원 집합은 예외이며, 전원 집합은 해당 집합의 요소로 형성 될 수있는 모든 가능한 집합의 모음 또는 집합입니다.

V = {a, e, i}라고 가정하고, 전력 집합은 P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}입니다. , {a, e, i}},이 경우 집합 V는 집합 P (V)의 요소가되며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

V ∈ P (V)

-포함 속성

포함의 첫 번째 속성은 모든 세트가 그 자체에 포함되어 있음, 즉 자체의 하위 집합임을 설정합니다.

A ⊂ A

포함의 다른 속성은 전이성입니다. A가 B의 하위 집합이고 B가 C의 하위 집합이면 A는 C의 하위 집합입니다. 기호 형식에서 전이 관계는 다음과 같이 작성됩니다.

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

다음은 포함의 전이성에 해당하는 벤 다이어그램입니다.

그림 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

-세트 간 작업

교차로

교차점은 처음 두 세트와 동일한 유니버설 세트에 속하는 새 세트를 생성하는 두 세트 간의 작업입니다. 그런 의미에서 그것은 닫힌 작업입니다.

상징적으로 교차 연산은 다음과 같이 공식화됩니다.

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

예는 다음과 같습니다. "elements"라는 단어의 문자 집합 A와 "repeated"라는 단어의 문자 집합 B, A와 B 사이의 교차는 다음과 같이 작성됩니다.

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. A, B 및 A⋂B의 범용 집합 U는 스페인어 알파벳 문자 집합입니다.

노동 조합

두 세트의 합집합은 두 세트의 공통 요소와 두 세트의 비 공통 요소로 구성된 세트입니다. 집합 간의 통합 연산은 다음과 같이 상징적으로 표현됩니다.

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

차

세트 A 마이너스 세트 B의 차이 연산은 AB로 표시됩니다. AB는 A에 있고 B에 속하지 않는 모든 요소로 구성된 새로운 집합입니다. 상징적으로 다음과 같이 작성됩니다.

A-B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

그림 3. A-B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

대칭 차이

대칭 적 차이는 결과 집합이 두 집합에 공통되지 않은 요소로 구성되는 두 집합 간의 작업입니다. 대칭 차이는 다음과 같이 상징적으로 표현됩니다.

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

예

예 1

벤 다이어그램은 세트를 나타내는 그래픽 방식입니다. 예를 들어, 단어 집합의 문자 집합 C는 다음과 같이 표시됩니다.

예 2

아래의 Venn 다이어그램은 "set"이라는 단어의 모음 집합이 "set"이라는 단어의 문자 집합의 하위 집합이라는 것을 보여줍니다.

예제 3

스페인어 알파벳 문자의 집합 Ñ 은 유한 집합이며,이 확장 집합은 다음과 같이 작성됩니다.

N = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z}이고 카디널리티는 27입니다.

예 4

설정된 V 스페인어 모음의이 세트 n의 하위 집합입니다 :

따라서 V ⊂ Ñ 는 유한 집합입니다.

광범위한 형태 의 유한 집합 V 는 다음과 같이 작성됩니다. V = {a, e, i, o, u} 및 카디널리티는 5입니다.

예 5

세트 A = {2, 4, 6, 8} 및 B = {1, 2, 4, 7, 9}가 주어지면 AB와 BA를 결정합니다.

A-B는 B에없는 A의 요소입니다.

A-B = {6, 8}

B-A는 A에없는 B의 요소입니다.

B-A = {1, 7, 9}

해결 된 운동

연습 1

기호 형식으로 그리고 확장하여 10보다 작은 자연수의 집합 P를 씁니다.

솔루션 : P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

연습 2

210의 요소 인 자연수로 구성된 집합 A와 9보다 작은 자연수로 형성된 집합 B를 가정 해 보겠습니다. 두 집합을 확장하여 결정하고 두 집합 사이에 어떤 관계가 있는지 확인합니다.

솔루션 : 집합 A의 요소를 결정하려면 먼저 자연수 210의 인수를 찾아야합니다.

210 = 2 * 3 * 5 * 7

그런 다음 세트 A가 작성됩니다.

A = {2, 3, 5, 7}

이제 우리는 9보다 작은 소수 인 집합 B를 고려합니다. 1은 소수의 정의를 충족하지 않기 때문에 소수가 아닙니다. "숫자는 정확히 두 개의 제수, 1과 숫자 자체가있는 경우에만 소수입니다." 2는 짝수이고 동시에 소수의 정의를 충족하기 때문에 소수이고 9 미만의 다른 소수는 3, 5 및 7입니다. 따라서 집합 B는 다음과 같습니다.

B = {2, 3, 5, 7}

따라서 두 세트는 동일합니다 : A = B.

연습 3

요소 x가 x와 다른 집합을 결정합니다.

솔루션 : C = {x / x ≠ x}

모든 요소, 숫자 또는 객체는 자신과 동일하므로 집합 C는 빈 집합이 아닐 수 없습니다.

C = Ø

연습 4

N의 자연수 집합과 Z를 정수 집합이라고합니다. N ⋂ Z 및 N ∪ Z를 결정합니다.

해결책:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z N ⊂ Z이기 때문입니다.

참고 문헌

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6. Wikipedia. 이론을 설정하십시오. 출처 : es.wikipedia.com