베이 즈 정리는 우리가 할 수있는 절차 에 단지 A의 확률 분포하기 때문에 이벤트 A와 B의 확률 분포의 측면에서, 임의의 이벤트 주어진 B의 조건부 확률을 표현
이 정리는 B가 발생했음을 알고 이벤트 A가 발생할 확률과 반대가 발생할 확률, 즉 A가 주어진 경우 B가 발생할 확률을 관련시킬 수 있기 때문에 매우 유용합니다.
Bayes의 정리는 18 세기 영국 신학자이자 수학자 인 Thomas Bayes 목사의 은색 제안이었습니다. 그는 신학에서 여러 작품의 저자 였지만 오늘날 그는 몇 가지 수학적 논문으로 유명하며, 그중에서 앞서 언급 한 Bayes 정리가 주요 결과로 두드러집니다.
Bayes는 1763 년에 출판 된 "기회의 교리에서 문제를 해결하기위한 에세이"라는 제목의 논문에서이 정리를 다루었으며 많은 수가 개발되었습니다. 다양한 지식 영역에 적용되는 연구.
설명
첫째,이 정리를 더 잘 이해하려면 확률 이론의 몇 가지 기본 개념, 특히 조건부 확률에 대한 곱셈 정리가 필요합니다.
샘플 공간 S의 E 및 A 임의 이벤트의 경우.
그리고 파티션의 정의는 우리가 샘플 공간 S의 A 1 , A 2 , …, A n 이벤트를 가지고 있다면, A i 가 상호 배타적이고 그들의 합집합이 S 라면 S의 파티션을 형성 할 것임을 알려줍니다 .
이것을 감안할 때 B를 또 다른 사건으로하자. 그래서 우리는 B를
A i 가 B와 교차하는 경우 상호 배타적 인 이벤트입니다.
결과적으로
그런 다음 곱셈 정리를 적용하면
반면에 B가 주어진 Ai의 조건부 확률은 다음과 같이 정의됩니다.
적절하게 대체하면 우리는 어떤 i
베이 즈 정리의 응용
이러한 결과 덕분에 연구 그룹과 다양한 기업이 지식 기반 시스템을 개선 할 수있었습니다.
예를 들어, 질병 연구에서 Bayes의 정리는 질병의 전 세계 비율과 해당 특성의 유병률을 데이터로 사용하여 특정 특성을 가진 사람들 그룹에서 질병이 발견 될 확률을 식별하는 데 도움이 될 수 있습니다. 건강한 사람과 아픈 사람 모두.
반면에 첨단 기술의 세계에서는이 결과로 "지식 기반"소프트웨어를 개발 한 대기업에 영향을 미쳤습니다.
일상적인 예로 Microsoft Office 도우미가 있습니다. Bayes의 정리는 소프트웨어가 사용자가 제시하는 문제를 평가하고 그에게 제공 할 조언을 결정하여 사용자의 습관에 따라 더 나은 서비스를 제공 할 수 있도록 도와줍니다.
특히,이 공식은 최근까지 무시되었는데, 이는 주로이 결과가 200 년 전에 개발되었을 때 실용적이지 않았기 때문입니다. 그러나 우리 시대에는 엄청난 기술 발전 덕분에 과학자들은이 결과를 실제로 적용 할 수있는 방법을 찾았습니다.
해결 된 연습
연습 1
한 휴대 전화 회사에는 두 대의 컴퓨터 A와 B가 있습니다. 생산 된 휴대 전화의 54 %는 컴퓨터 A에서 만들어지고 나머지는 컴퓨터 B에서 만들어집니다. 생산 된 모든 휴대 전화가 양호한 상태는 아닙니다.
A가 만든 휴대폰 불량 비율은 0.2, B가 0.5이다. 그 공장의 휴대폰에 결함이있을 확률은 얼마입니까? 휴대 전화에 결함이 있음을 알면서 기기 A에서 나올 확률은 얼마입니까?
해결책
여기에 두 부분으로 이루어진 실험이 있습니다. 첫 번째 부분에서 이벤트가 발생합니다.
A : 기계 A에서 만든 셀.
B : 기계 B에서 만든 세포.
기계 A는 휴대 전화의 54 %를 생산하고 나머지는 기계 B에서 생산하므로 기계 B는 휴대 전화의 46 %를 생산합니다. 이러한 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.
P (A) = 0.54.
P (B) = 0.46.
실험의 두 번째 부분의 이벤트는 다음과 같습니다.
D : 휴대폰 결함.
E : 휴대 전화에 결함이 없습니다.
성명에서 언급했듯이 이러한 사건의 확률은 첫 번째 부분에서 얻은 결과에 따라 달라집니다.
P (DA) = 0.2.
P (DB) = 0.5.
이러한 값을 사용하여 이러한 이벤트의 보완 확률도 결정할 수 있습니다.
P (EA) = 1-P (DA)
= 1-0.2
= 0.8
과
p (EB) = 1-P (DB)
= 1-0.5
= 0.5.
이제 이벤트 D를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
조건부 확률 결과에 곱셈 정리 사용 :
그 결과 첫 번째 질문에 대한 답변이 제공됩니다.
이제 베이 즈 정리가 적용된 P (AD) 만 계산하면됩니다.
Bayes의 정리 덕분에 휴대 전화가 결함이 있음을 알고 기계 A가 휴대 전화를 만들 확률은 0.319라고 말할 수 있습니다.
연습 2
세 개의 상자에는 흑백 공이 들어 있습니다. 각각의 구성은 다음과 같습니다 : U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
상자 중 하나는 무작위로 선택되고 공은 무작위로 그려지며 흰색으로 판명됩니다. 선택되었을 가능성이 가장 높은 상자는 무엇입니까?
해결책
U1, U2 및 U3를 사용하여 선택한 상자도 나타냅니다.
이러한 이벤트는 S의 분할을 구성하며 상자 선택이 무작위이기 때문에 P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3임을 확인합니다.
B = {추첨 된 공이 흰색}이면 P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4이됩니다.
우리가 얻고 자하는 것은 Ui라는 공이 흰색이라는 것을 알면서 상자에서 공을 꺼낼 확률, 즉 P (Ui -B)이며, 세 값 중 어느 것이 가장 높은지 알 수 있습니다. 상자는 당구 공의 추출 가능성이 가장 높습니다.
첫 번째 상자에 베이 즈 정리 적용 :
그리고 다른 두 가지 :
P (U2-B) = 2/6 및 P (U3-B) = 1/6.
그런 다음 첫 번째 상자는 큐볼 추출을 위해 선택 될 확률이 가장 높은 상자입니다.
참고 문헌
- Kai Lai Chung. 확률 적 과정이있는 기본 확률 이론. Springer-Verlag New York Inc
- 케네스 H. Rosen 이산 수학 및 그 응용. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- 폴 L. 마이어. 확률 및 통계적 응용. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 년 이산 수학 문제 해결. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 이론 및 확률 문제. McGRAW-HILL.