CHEBYSHOV의 정리 : 정의, 응용 및 예 - 수학 - 2025

정리 체비 세프 (체비 세프 또는 불평등) 확률의 이론의 가장 중요한 고전의 결과 중 하나입니다. 랜덤 변수의 분포에 의존하지 않고 X의 분산에 의존하는 경계를 제공하여 랜덤 변수 X로 설명 된 사건의 확률을 추정 할 수 있습니다.

이 정리는 1867 년에 처음으로 증명을 제시 한 러시아 수학자 Pafnuty Chebyshov (Chebychev 또는 Tchebycheff로도 작성 됨)의 이름을 따서 명명되었습니다.

이 불평등 또는 특성으로 인해 Chebyshov의 불평등이라고 불리는 불평등은 주로 높이를 계산하여 확률을 근사화하는 데 사용됩니다.

무엇으로 구성되어 있습니까?

확률 이론 연구에서 확률 변수 X의 분포 함수를 알고 있으면 예상 값 또는 수학적 기대 E (X)와 분산 Var (X)을 계산할 수 있습니다. 그러한 금액이 존재합니다. 그러나 그 반대가 반드시 사실은 아닙니다.

즉, E (X) 및 Var (X)을 알면 X의 분포 함수를 반드시 얻을 수있는 것은 아니므로 일부 k> 0에 대한 P (-X-> k)와 같은 양은 얻기가 매우 어렵습니다. 그러나 Chebyshov의 부등식 덕분에 랜덤 변수의 확률을 추정 할 수 있습니다.

Chebyshov의 정리는 확률 함수가 p 인 표본 공간 S에 대해 랜덤 변수 X가 있고 k> 0이면 다음과 같이 말합니다.

응용 프로그램 및 예

Chebyshov 정리의 많은 응용 중에서 다음을 언급 할 수 있습니다.

확률 제한

이것은 가장 일반적인 응용 프로그램이며 확률 함수를 알지 못하고 분산 및 확률 변수 X의 기대 값 만 사용하여 k> 0 인 P (-XE (X) -≥k)에 대한 상한을 제공하는 데 사용됩니다. .

예 1

한 회사에서 한 주 동안 제조 된 제품 수가 평균 50 인 확률 변수라고 가정합니다.

생산 1주의 분산이 25와 같다면 이번 주 생산이 평균에서 10 이상 차이가 날 확률에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

해결책

Chebyshov의 불평등을 적용하면 다음과 같습니다.

이로부터 우리는 생산 주간에 기사 수가 평균을 10 개 이상 초과 할 확률이 최대 1/4임을 얻을 수 있습니다.

한계 정리 증명

Chebyshov의 불평등은 가장 중요한 극한 정리를 증명하는 데 중요한 역할을합니다. 예를 들어 다음이 있습니다.

많은 수의 약한 법칙

이 법칙은 동일한 평균 분포 E (Xi) = μ 및 분산 Var (X) = σ ² 및 알려진 평균 샘플을 갖는 독립 랜덤 변수의 시퀀스 X1, X2,…, Xn,…

그런 다음 k> 0의 경우 다음과 같습니다.

또는 동등하게 :

데모

먼저 다음 사항을 살펴 보겠습니다.

X1, X2,…, Xn은 독립적이므로 다음과 같습니다.

따라서 다음을 진술 할 수 있습니다.

그런 다음 Chebyshov의 정리를 사용하여 다음을 얻습니다.

마지막으로, 정리는 n이 무한대에 가까워짐에 따라 오른쪽의 한계가 0이라는 사실에서 비롯됩니다.

이 테스트는 Xi의 분산이 존재하는 경우에만 수행되었습니다. 즉, 분기되지 않습니다. 따라서 우리는 E (Xi)가 존재하면 정리가 항상 참임을 관찰합니다.

Chebyshov 극한 정리

X1, X2,…, Xn,…이 모든 자연 n에 대해 Var (Xn) ≤ C가되는 일부 C <무한대가 존재하는 독립 랜덤 변수 시퀀스 인 경우 모든 k> 0에 대해 :

데모

분산 시퀀스는 균일하게 경계가 지정되어 있으므로 모든 자연 n에 대해 Var (Sn) ≤ C / n이 있습니다. 그러나 우리는 다음을 알고 있습니다.

n을 무한대로 만들면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

확률은 1의 값을 초과 할 수 없으므로 원하는 결과를 얻습니다. 이 정리의 결과로 우리는 Bernoulli의 특별한 경우를 언급 할 수 있습니다.

실험이 두 가지 가능한 결과 (실패 및 성공)와 함께 독립적으로 n 번 반복되는 경우, 여기서 p는 각 실험의 성공 확률이고 X는 획득 한 성공 횟수를 나타내는 랜덤 변수입니다. 각 k> 0 당신은 :

표본의 크기

분산 측면에서 Chebyshov의 부등식을 사용하면 -Sn-μ-> = k가 발생할 확률이 원하는만큼 작다는 것을 보장하기에 충분한 표본 크기 n을 찾을 수 있으므로 근사값을 얻을 수 있습니다. 평균에.

특히, X1, X2,… Xn을 크기 n의 독립 확률 변수의 표본으로하고 E (Xi) = μ 및 분산 σ ² 라고 가정합니다 . 그런 다음 Chebyshov의 불평등에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

예

X1, X2,… Xn이 베르누이 분포를 갖는 독립 랜덤 변수의 표본이므로 확률 p = 0.5 인 값 1을 취한다고 가정합니다.

산술 평균 Sn과 예상 값 (0.1 이상 초과) 사이의 차이가 0.01보다 작거나 같을 확률이 0.01보다 작거나 같음을 보장 할 수있는 표본의 크기는 얼마입니까?

해결책

E (X) = μ = p = 0.5이고 Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25입니다. Chebyshov의 부등식에 의해 모든 k> 0에 대해 다음이 있습니다.

이제 k = 0.1과 δ = 0.01을 취하면 다음과 같습니다.

이런 식으로 사건의 확률 -Sn-0.5-> = 0.1이 0.01 미만임을 보장하기 위해 최소 2,500의 표본 크기가 필요하다는 결론을 내립니다.

Chebyshov 유형 불평등

Chebyshov의 불평등과 관련된 몇 가지 불평등이 있습니다. 가장 잘 알려진 것 중 하나는 마르코프 불평등입니다.

이 식에서 X는 k, r> 0 인 음이 아닌 랜덤 변수입니다.

마르코프 불평등은 다른 형태를 취할 수 있습니다. 예를 들어, Y를 음이 아닌 랜덤 변수 (따라서 P (Y> = 0) = 1)라고하고 E (Y) = μ가 존재한다고 가정합니다. (E (Y)) ^r = μ _r 이 일부 정수 r> 1에 대해 존재 한다고 가정하십시오 . 그래서:

또 다른 부등식은 Gaussian으로, 모드가 0 인 단봉 랜덤 변수 X가 주어지면 k> 0에 대해

참고 문헌

1. Kai Lai Chung. 확률 적 과정이있는 기본 확률 이론. Springer-Verlag New York Inc
2. 케네스 H. Rosen 이산 수학 및 그 응용. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. 폴 L. 마이어. 확률 및 통계적 응용. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 년 이산 수학 문제 해결. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. 이론 및 확률 문제. McGRAW-HILL.