녹색 의 정리 연결 라인 적분 이중 적분이나 표면적 계산하는데 사용되는 방법이다. 관련된 함수는 벡터 필드로 표시되고 경로 C 내에 정의되어야합니다.
예를 들어, 선 적분 표현식은 해결하기가 매우 어려울 수 있습니다. 그러나 Green의 정리를 구현함으로써 이중 적분은 매우 기본이됩니다. 궤적의 양의 방향을 존중하는 것이 항상 중요합니다. 이것은 반 시계 방향을 나타냅니다.
Green의 정리는 벡터 함수의 투영이 xy 평면에서 수행되는 Stokes 정리의 특별한 경우입니다.
정의
Green 's Theorem의 표현은 다음과 같습니다.
첫 번째 항은 벡터 함수 "F"와 벡터 "r"사이의 스칼라 곱의 경로 "C"로 정의 된 선 적분을 보여줍니다.
C : 벡터 함수가 해당 평면에 대해 정의되어있는 한 투영 될 정의 된 경로입니다.
F : 벡터 함수. 여기서 각 구성 요소는 함수 (f, g)로 정의됩니다.
r : 적분이 정의되는 영역 R에 접하는 벡터입니다. 이 경우 우리는이 벡터의 미분으로 작동합니다.
두 번째 용어에서 우리는 그린의 정리가 개발 된 것을 볼 수 있는데, 여기서 g와 f의 편도 함수 차이의 영역 R에서 정의 된 이중 적분이 x와 y에 대해 각각 관찰됩니다. 두 2 차원 미분 (dx.dy)의 곱에 지나지 않는 면적 미분에 의해.
이 정리는 공간 및 표면 적분에 완벽하게 적용됩니다.
데모
그린의 정리를 간단한 방법으로 증명하기 위해이 작업은 두 부분으로 나뉩니다. 우선, 벡터 함수 F가 versor i 에만 정의되어 있다고 가정합니다 . 반면 j에 해당하는 함수 "g" 는 0과 같습니다.
저자
F = F (x, y)로 I + g (X, Y) J = F (x, y)로 I + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
먼저 경로 C에 대한 선 적분을 개발합니다. 경로는 먼저 a에서 b로, 그리고 b에서 a로가는 2 개의 섹션으로 구분됩니다.
미적분의 기본 정리의 정의는 명확한 적분에 적용됩니다.
식은 단일 적분으로 재 배열되고 음수는 공통 요소가되고 요소의 순서는 역전됩니다.
이 표현을 자세히 관찰하면 원시 함수 기준을 적용 할 때 y에 대해 f에서 파생 된 표현의 적분이 존재한다는 것이 분명해집니다. 매개 변수에서 평가
이제 벡터 함수 F가 g (x, y) j에 대해서만 정의된다고 가정하면 충분합니다 . 이전 사례와 유사한 방식으로 작동 할 때 다음을 얻습니다.
끝내기 위해 벡터 함수가 두 가지 모두에 대해 값을 취하는 경우 두 가지 증명을 취하고 결합합니다. 이러한 방식으로 1 차원 궤도로 정의되고 고려 된 후 적분 된 선이 어떻게 평면과 공간에 대해 완전히 전개 될 수 있는지 보여줍니다.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
이런 식으로 Green의 정리가 증명됩니다.
응용
그린 정리의 적용은 물리학과 수학 분야에서 광범위합니다. 이는 라인 통합에 제공 될 수있는 모든 애플리케이션 또는 용도로 확장됩니다.
경로 C를 통과하는 힘 F에 의해 수행되는 기계적 작업은 Green의 정리에 의해 영역의 이중 적분으로 표현되는 선 적분에 의해 개발 될 수 있습니다.
다양한 적용 지점에서 외부 힘을받는 많은 물체의 관성 모멘트는 Green의 정리로 개발할 수있는 선 적분에도 반응합니다.
이것은 사용중인 재료의 저항 연구에서 여러 기능을 가지고 있습니다. 다양한 요소를 개발하기 전에 외부 값을 정량화하고 고려할 수있는 경우.
일반적으로 Green의 정리는 경로를 따라 영역에 대해 벡터 함수가 정의되는 영역의 이해와 정의를 용이하게합니다.
역사
영국의 수학자 George Green이 쓴 전기 및 자기 이론에 대한 수학적 분석 작업에서 1828 년에 출판되었습니다. 여기에서는 잠재적 기능의 개념, Green의 기능 및 그의 자기 제목 정리의 적용과 같은 물리학에서 미적분을 적용하는 데있어 매우 결정적인 섹션을 탐색합니다.
George Green은 40 세에 학생 경력을 공식화했으며 지금까지 완전히 독학 한 수학자였습니다. 케임브리지 대학교에서 공부 한 후 그는 연구를 계속하여 오늘날까지도 유효한 음향, 광학 및 유체 역학에 기여했습니다.
다른 정리와의 관계
Green의 정리는 특별한 경우이며 미적분 분야의 다른 두 가지 매우 중요한 정리에서 발생합니다. 이것들은 Kelvin-Stokes 정리와 발산 또는 Gauss Ostrogradski 정리입니다.
두 개의 정리 중 하나에서 시작하여 그린 정리에 도달 할 수 있습니다. 이러한 증명을 개발하려면 특정 정의와 제안이 필요합니다.
식
-다음 연습에서는 영역 R에 대해 선 적분을 이중 적분으로 변환하는 방법을 보여줍니다.
원래 표현은 다음과 같습니다.
해당 기능 af 및 g가 취해지는 곳에서
F (X, Y) = X 3 G (X, Y) = YX
df / dy = 0 dg / dx = y
Green의 정리를 적용 할 때 통합의 한계를 정의하는 단일 방법은 없습니다. 그러나 정의 된 후 적분이 더 간단해질 수있는 방법이 있습니다. 따라서 통합 한계의 최적화는 주목할 가치가 있습니다.
적분을 풀 때 우리는 다음을 얻습니다.
이 값은 벡터 함수 아래 영역과 C로 정의 된 삼각형 영역에 대한 입방 단위로 해당합니다.
Green의 방법을 수행하지 않고 선 적분의 경우 영역의 각 섹션에서 기능을 매개 변수화해야했습니다. 즉, 분해능에 대해 3 개의 매개 변수화 된 적분을 수행합니다. 이것은 Robert Green이 그의 정리와 함께 미적분학에 가져온 효율성에 대한 충분한 증거입니다.
참고 문헌
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