스타이너 의 법칙 역시 평행 축 정리로 알려진, 물체의 무게 중심을 통한 다른 패스에 평행 한 축에 대하여, 확장 된 본체의 관성 모멘트를 평가한다.
그것은 스위스에 의해 발견되었다 야콥 슈타이너 (1796 -1863)을 수학자와 다음 상태 : I하자 CM이 될 대량 CM 및 I의의 중심을 통과하는 축에 대하여 물체의 관성 모멘트 Z 또 다른 축에 대한 관성 모멘트를 이것과 평행합니다.
그림 1. 경첩에서 회전하는 직사각형 문에는 슈타이너의 정리를 적용하여 계산할 수있는 관성 모멘트가 있습니다. 출처 : Pixabay.
두 축을 분리하는 거리 D와 해당 물체의 질량 M을 알면 미지 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.
관성 모멘트는 물체가 특정 축을 중심으로 회전하는 것이 얼마나 쉬운지를 나타냅니다. 그것은 몸의 질량뿐만 아니라 그것이 어떻게 분포되어 있는지에 달려 있습니다. 이러한 이유로 회전 관성이라고도하며 국제 시스템 Kg의 단위입니다. m 2 .
정리는 관성 모멘트 I z 가 항상 관성 모멘트 I CM 보다 MD 2로 주어진 양만큼 크다는 것을 보여줍니다 .
응용
물체는 여러 축을 중심으로 회전 할 수 있고 테이블에서는 일반적으로 중심을 통과하는 축에 대해 관성 모멘트 만 주어지기 때문에 Steiner의 정리는 축에서 물체를 회전해야 할 때 계산을 용이하게합니다. 일치하지 않습니다.
예를 들어 문은 일반적으로 질량 중심을 통과하는 축을 중심으로 회전하지 않고 힌지가 부착되는 측면 축을 중심으로 회전합니다.
관성 모멘트를 알면 상기 축을 중심으로 한 회전과 관련된 운동 에너지를 계산할 수 있습니다. K가 운동 에너지, I는 해당 축 주위의 관성 모멘트이고 ω는 각속도이면 다음과 같습니다.
이 방정식은 속도 v : K = ½ Mv 2로 이동하는 질량 M 물체의 운동 에너지에 대한 매우 익숙한 공식과 매우 유사합니다 . 그리고 그것은 관성 모멘트 또는 회전 관성 I이 회전에서 평행 이동에서 질량 M과 동일한 역할을한다는 것입니다.
Steiner의 정리 증명
확장 된 물체의 관성 모멘트는 다음과 같이 정의됩니다.
나는 = ∫ r 2 dm
여기서 dm은 질량의 극소 부분이고 r은 dm과 회전축 z 사이의 거리입니다. 그림 2에서이 축은 질량 CM의 중심을 가로 지르지 만 어떤 것이 든 될 수 있습니다.
그림 2. 두 개의 평행 한 축을 중심으로 회전하는 개체. 출처 : F. Zapata.
또 다른 z '축 주위의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.
나는 z = ∫ (r ') 2 dm
이제 벡터 D , r 및 r ' (오른쪽 그림 2 참조 )에 의해 형성된 삼각형에 따라 벡터 합계가 있습니다.
r + r ' = D → r' = D - r
세 벡터는 xy가 될 수있는 객체의 평면에 있습니다. 좌표계 (0,0)의 원점은 다음 계산을 용이하게하기 위해 CM에서 선택됩니다.
이런 식으로 벡터 r ' 의 제곱 모듈 은 다음과 같습니다.
이제이 전개는 관성 모멘트 I z 의 적분으로 대체되고 밀도 dm = ρ.dV의 정의가 사용됩니다.
Steiner의 정리에 나타나는 용어 M. D 2 는 첫 번째 적분에서 비롯되고 두 번째는 CM을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트입니다.
세 번째와 네 번째 적분은 정의에 따라 좌표계 (0,0)의 원점으로 선택된 CM의 위치를 구성하기 때문에 0의 가치가 있습니다.
해결 된 운동
-해결 운동 1
그림 1의 직사각형 문의 질량은 23kg, 너비 1.30, 높이 2.10m입니다. 문이 얇고 균일하다고 가정하고 힌지를 통과하는 축에 대한 문의 관성 모멘트를 결정합니다.
그림 3. 작업 예제의 회로도 1. 출처 : Pixabay에서 수정 됨.
해결책
관성 모멘트 표에서 질량 M과 치수 a 및 b의 직사각형 판에 대해 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다. I CM = (1/12) M (a 2 + b 2 ).
균질 한 게이트가 가정됩니다 (그림의 게이트는 그렇지 않을 수 있으므로 근사치). 이러한 경우 질량 중심은 기하학적 중심을 통과합니다. 그림 3에서는 질량 중심을 통과하는 축이 그려져 있으며 경첩을 통과하는 축과도 평행합니다.
나는 CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 2 +2.10 2 ) m 2 = 11.7 Kg.m 2
녹색 회전축에 슈타이너의 정리 적용 :
나는 = 나는 CM + MD 2 = 11.7Kg.m 2 + 23Kg x 0.652m 2 = 21.4Kg.
-해결 된 운동 2
끝 중 하나를 통과하는 축을 중심으로 회전 할 때 균질 한 얇은 막대의 관성 모멘트를 찾습니다 (그림 참조). 중심을 중심으로 회전 할 때 관성 모멘트보다 크거나 작습니까? 왜?
그림 4. 해결 된 예제의 계획 2. 출처 : F. Zapata.
해결책
관성 모멘트 표에 따르면 질량 M과 길이 L의 얇은 막대의 관성 모멘트 I CM 은 다음과 같습니다. I CM = (1/12) ML 2
그리고 Steiner의 정리는 한쪽 끝 D = L / 2를 통과하는 축을 중심으로 회전 할 때 다음과 같이 유지됩니다.
막대의 나머지 절반 (그림에서 음영 처리되지 않음)이 더 큰 반경을 설명하기 때문에 단순히 두 번이 아니라 4 배 더 큽니다.
회전축까지의 거리의 영향은 선형이 아니라 2 차입니다. 거리의 두 배인 질량은 (2D) 2 = 4D 2에 비례하는 관성 모멘트를 갖습니다 .
참고 문헌
- Bauer, W. 2011. 공학 및 과학 물리학. 볼륨 1. Mc Graw Hill. 313-340.
- 조지아 주립 대학. 회전 운동. 출처 : phys.nthu.edu.tw.
- 평행 축 정리. 출처 : hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
- Rex, A. 2011. 물리학의 기초. 피어슨. 190-200.
- Wikipedia. 평행 축 정리. 출처 : en.wikipedia.org