Miletus의 Thales의 첫 번째 및 두 번째 정리는 유사한 삼각형 (첫 번째 정리) 또는 원 (두 번째 정리)에서 삼각형을 결정하는 데 기반합니다. 그들은 다양한 분야에서 매우 유용했습니다. 예를 들어, 첫 번째 정리는 정교한 측정 도구가 없을 때 큰 구조를 측정하는 데 매우 유용했습니다.
Miletus의 Thales는 기하학에 큰 공헌을 한 그리스 수학자였으며,이 두 가지 정리가 두드러지며 (일부 텍스트에서는 Thales로도 작성 됨) 유용한 응용 프로그램입니다. 이러한 결과는 역사 전반에 걸쳐 사용되었으며 다양한 기하학적 문제를 해결할 수있게되었습니다.
밀레투스의 탈레스
탈레스의 첫 번째 정리
Thales의 첫 번째 정리는 무엇보다도 이전에 알려진 다른 것과 유사한 삼각형을 구성 할 수있는 매우 유용한 도구입니다. 여기에서 여러 상황에 적용될 수있는 다양한 버전의 정리가 파생됩니다.
진술을하기 전에 삼각형의 유사성에 대한 몇 가지 개념을 기억해 봅시다. 기본적으로 두 삼각형은 각도가 합동 (동일한 측정 값)이면 유사합니다. 결과적으로 두 삼각형이 유사하면 해당 (또는 상동) 변이 비례합니다.
Thales의 첫 번째 정리는 주어진 삼각형에서 선이 그 변에 평행하게 그려지면 얻은 새로운 삼각형은 초기 삼각형과 비슷할 것이라고 말합니다.
다음 그림과 같이 형성된 각도 사이의 관계도 얻어집니다.
신청
많은 응용 분야 중에서 특히 주목할만한 것은 Thales가 살았고 현대적인 측정 장치가 없었던 고대에 대형 구조물을 측정하는 방법 중 하나와 관련이 있습니다. 그들은 지금 존재합니다.
이것이 Thales가 이집트에서 가장 높은 피라미드 인 Cheops를 측정 한 방법이라고합니다. 이를 위해 Thales는 태양 광선의 반사가지면에 닿아 평행선을 형성한다고 가정했습니다. 이 가정하에 그는 막대기 나 지팡이를 땅에 수직으로 못 박았습니다.
그런 다음 두 삼각형의 유사성을 사용했는데, 하나는 피라미드의 그림자 길이 (쉽게 계산할 수 있음)와 피라미드의 높이 (미지)로 형성되고 다른 하나는 그림자 길이로 형성되었습니다. 막대의 높이 (쉽게 계산할 수도 있음).
이 길이 사이의 비례를 사용하여 피라미드의 높이를 풀고 알 수 있습니다.
이 측정 방법은 높이의 정확도와 관련하여 상당한 근사 오차를 줄 수 있고 태양 광선의 평행도 (정확한 시간에 따라 달라짐)에 따라 달라 지지만 매우 독창적 인 아이디어라는 점을 인식해야합니다. 당분간 좋은 측정 대안을 제공했습니다.
예
각 경우에 x 값을 찾으십시오.
탈레스의 두 번째 정리
Thales의 두 번째 정리는 동일한 각 지점에서 원으로 새겨진 직각 삼각형을 결정합니다.
원주에 새겨진 삼각형은 꼭지점이 원주에 있으므로 그 안에 포함되어있는 삼각형입니다.
특히 Thales의 두 번째 정리는 다음과 같이 설명합니다. 중심이 O이고 직경이 AC 인 원이 주어지면 원주상의 각 점 B (A와 C 제외)는 직각을 가진 직각 삼각형 ABC를 결정합니다.
정당화를 위해 OA와 OB 및 OC는 모두 원의 반경에 해당합니다. 따라서 측정 값은 동일합니다. 이것으로부터 삼각형 OAB와 OCB는 이등변입니다.
삼각형 각도의 합은 180º와 같다고 알려져 있습니다. 이것을 삼각형 ABC와 함께 사용하면 다음과 같습니다.
2b + 2a = 180º.
마찬가지로 b + a = 90º 및 b + a =
Thales의 두 번째 정리가 제공하는 직각 삼각형은 빗변이 원주의 지름과 같은 것임을 유의하십시오. 따라서 삼각형의 점을 포함하는 반원에 의해 완전히 결정됩니다. 이 경우 위쪽 반원입니다.
또한 Thales의 두 번째 정리를 통해 얻은 직각 삼각형에서 빗변이 OA와 OC (반지름)에 의해 두 개의 동일한 부분으로 나뉩니다. 차례로이 측정 값은 B에 의한 삼각형 ABC의 중앙값에 해당하는 세그먼트 OB (반경이기도 함)와 같습니다.
즉, 정점 B에 해당하는 직각 삼각형 ABC의 중앙값 길이는 빗변의 절반으로 완전히 결정됩니다. 삼각형의 중앙값은 꼭지점 중 하나에서 반대쪽의 중간 점까지의 세그먼트라는 것을 기억하십시오. 이 경우 BO 세그먼트입니다.
외접 둘레
Thales의 두 번째 정리를 보는 또 다른 방법은 직각 삼각형으로 둘러싸인 원주를 사용하는 것입니다.
일반적으로 다각형에 둘러싸인 원주는 그릴 수있을 때마다 각 정점을 통과하는 원주로 구성됩니다.
Thales의 두 번째 정리를 사용하여 직각 삼각형이 주어지면 반경이 빗변의 절반과 같고 둘레 중심 (원주의 중심)이 빗변의 중간 점과 같도록 항상 둘레를 구성 할 수 있습니다.
신청
Thales의 두 번째 정리의 매우 중요한 응용, 그리고 아마도 가장 널리 사용되는 것은 (알려진) 외부 점 P를 통해 주어진 원에 대한 접선을 찾는 것입니다.
원 (아래 그림에서 파란색으로 그려 짐)과 외부 점 P가 주어지면 P를 통과하는 원에 접하는 두 개의 선이 있습니다. T와 T '를 접선 점, r은 원의 반경, 아니면 센터.
원의 중심에서 같은 접선 점까지가는 선분이이 접선에 수직 인 것으로 알려져 있습니다. 그래서 각도 OTP가 맞습니다.
Thales의 첫 번째 정리와 다른 버전에서 앞서 본 것에서 OTP 삼각형을 다른 원 (빨간색)으로 새길 수 있음을 알 수 있습니다.
유사하게, 삼각형 OT'P는 동일한 이전 원주 내에 새겨질 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
Thales의 두 번째 정리에 의해 우리는 또한이 새로운 원주의 지름이 삼각형 OTP의 빗변 (삼각형 OT'P의 빗변과 동일)이고 중심이이 빗변의 중간 점이라는 것을 알 수 있습니다.
새로운 원주의 중심을 계산하려면 초기 원주의 중심 (예 : M)과 점 P (우리도 알고 있음) 사이의 중간 점을 계산하는 것으로 충분합니다. 그러면 반경은이 점 M과 P 사이의 거리가됩니다.
반경과 빨간색 원의 중심으로 우리가 기억하는 데카르트 방정식은 (xh) 2 + (yk) 2 = c 2입니다 . 여기서 c는 반경이고 점 (h, k)는 원주의 중심.
이제 두 원의 방정식을 알았으므로 두 원에 의해 형성된 방정식 시스템을 풀고 접선 T와 T '의 점을 구하여 교차 할 수 있습니다. 마지막으로 원하는 접선을 알기 위해서는 T와 P를 통과하고 T '와 P를 통과하는 선의 방정식을 찾는 것으로 충분합니다.
예
직경 AC, 중심 O 및 반경 1cm의 둘레를 고려하십시오. B가 AB = AC가되는 원주상의 한 점이라고합시다. AB의 키는 얼마입니까?
해결책
Thales의 두 번째 정리에 따르면 삼각형 ABC가 맞고 빗변이 직경에 해당하며,이 경우에는 2cm (반경은 1cm)를 측정합니다. 그런 다음 피타고라스 정리에 따르면 다음과 같습니다.
참고 문헌
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